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1、6 1 高中数学函数知识点梳理1.函数的单调性(1)设2121,xxbaxx那么1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是增函数；1212()()()0 xxf xf xbaxfxxxfxf,)(0)()(2121在上是减函数.(2)设函数)(xfy在某个区间内可导，如果0)(xf，则)(xf为增函数；如果0)(xf，则)(xf为减函数.注：如果函数)(xf和)(xg都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(xgxf也是减函 数;如 果 函 数)(ufy和)(xgu在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数,则 复 合 函 数)(x
2、gfy是增函数.2.奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数注：若函数)(xfy是偶函数，则)()(axfaxf；若函数)(axfy是偶函数，则)()(axfaxf.注：对于函数)(xfy(Rx),)()(xbfaxf恒成立,则函数)(xf的对称轴是函数2bax;两个函数)(axfy与)(xbfy的图象关于直线2bax对称.注：若)()(axfxf,则 函 数)(xfy的 图 象 关 于 点)0,2(a对 称;若)()(axfxf,则函数)(xfy
3、为周期为a2的周期函数.3.多项式函数110()nnnnP xa xaxa的奇偶性多项式函数()P x是奇函数()P x的偶次项(即奇数项)的系数全为零.多项式函数()P x是偶函数()P x的奇次项(即偶数项)的系数全为零.23.函数()yf x的图象的对称性(1)函数()yf x的图象关于直线xa对称()()f axf ax(2)()faxf x.(2)函数()yf x的图象关于直线2abx对称()()f amxf bmx()()f abmxf mx.4.两个函数图象的对称性(1)函数()yf x与函数()yfx的图象关于直线0 x(即y轴)对称.(2)函数()yf mxa与函数()yf
4、bmx的图象关于直线2abxm对称.(3)函数)(xfy和)(1xfy的图象关于直线y=x 对称.25.若将函数)(xfy的图象右移a、上移b个单位，得到函数baxfy)(的图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 3 页 -6 2 象；若将曲线0),(yxf的图象右移a、上移b个单位，得到曲线0),(byaxf的图象.5.互为反函数的两个函数的关系abfbaf)()(1.27.若 函 数)(bkxfy存 在 反 函 数,则 其 反 函 数 为)(11bxfky,并 不 是)(1bkxfy,而函数)(1bkxfy是)(1bxfky的反函数.6.几个常见的函数方程(1)正比
5、例函数()f xcx,()()(),(1)fxyf xfyfc.(2)指数函数()xf xa,()()(),(1)0f xyf x f yfa.(3)对数函数()logaf xx,()()(),()1(0,1)f xyf xfyf aaa.(4)幂函数()f xx,()()(),(1)f xyf x f yf.(5)余弦函数()cosf xx,正弦函数()sing xx，()()()()()f xyf x f yg x g y，0()(0)1,lim1xg xfx.7.几个函数方程的周期(约定 a0)（1）)()(axfxf，则)(xf的周期 T=a；（2）0)()(axfxf，或)0)()(
6、1)(xfxfaxf，或1()()f xaf x()0)f x,或21()()(),()0,1)2f xfxf xaf x,则)(xf的周期 T=2a；(3)0)()(11)(xfaxfxf，则)(xf的周期 T=3a；(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf且1212()1()()1,0|2)f af xf xxxa，则)(xf的周期 T=4a；(5)()()(2)(3)(4)f xf x af xa f xaf xa()()(2)(3)(4)f x f x a f xa f xa f xa,则)(xf的周期 T=5a；(6)()()(axfxfaxf，则)(xf的周期
7、T=6a.8.分数指数幂(1)1mnnmaa（0,am nN，且1n）.(2)1mnmnaa（0,am nN，且1n）.9.根式的性质（1）()nnaa.（2）当n为奇数时，nnaa；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 3 页 -6 3 当n为偶数时，,0|,0nna aaaa a.10.有理指数幂的运算性质(1)(0,)rsrsaaaar sQ.(2)()(0,)rsrsaaar sQ.(3)()(0,0,)rrraba b abrQ.注：若 a0，p 是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.33.指数式与对数式的互化
8、式logbaNbaN(0,1,0)aaN.34.对数的换底公式logloglogmamNNa(0a,且1a,0m,且1m,0N).推论loglogmnaanbbm(0a,且1a,0m n,且1m,1n,0N).11.对数的四则运算法则若 a0，a1，M 0，N0，则(1)log()loglogaaaMNMN;(2)logloglogaaaMMNN;(3)loglog()naaMnM nR.注：设函数)0)(log)(2acbxaxxfm,记acb42.若)(xf的定义域为R,则0a，且0;若)(xf的值域为R,则0a，且0.对于0a的情形,需要单独检验.12.对数换底不等式及其推论若0a,0b,0 x,1xa,则函数log()axybx(1)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为增函数.(2)(2)当ab时,在1(0,)a和1(,)a上log()axybx为减函数.推论:设1nm，0p，0a，且1a，则（1）log()logmpmnpn.（2）2logloglog2aaamnmn.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 3 页 -