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1、高中数学函数知识点总结.8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：表达式相同；定义域一致(两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？例：函数的定义域是yxxx432lg（答：，）022334函数定义域求法：分式中的分母不为零；偶次方根下的数（或式）大于或等于零；指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。正切函数xytankkxRx,2,且余切函数xycotkkxRx,且反三角函数的定义域函数 yarcsinx 的定义域是 1, 1，值域是，函数 yarccosx 的定义域是1, 1 ，值域是0,
2、 ，函数 yarctgx 的定义域是R ，值域是.，函数 yarcctgx 的定义域是R ，值域是(0, ) .当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？如：函数的定义域是，则函数的定f xabbaF(xf xfx( )( )()0义域是 _。（答：，）aa复合函数定义域的求法：已知)(xfy的定义域为nm,，求)(xgfy的定义域，可由nxgm)(解出 x 的范围，即为)(xgfy的定义域。11、函数值域的求法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
3、- - - -第 1 页，共 13 页1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 求函数 y=x1的值域2、配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数y=2x-2x+5 ，x-1 ， 2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面下面，我把这一类型的详细写出来，希望大家能够看懂.112.22222222ba y型：直接用不等式性质k+xbxb. y型, 先化简，再用均值不等式xmxnx1例： y1+xx+xxmxnc y型 通常用判别式xmxnxmxnd. y型x
4、n法一：用判别式法二：用换元法，把分母替换掉xx1 （x+1） （x+1） +1 1例： y（x+1）1211x1x1x16、函数单调性法7、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+1x的值域。8 数形结合法例求函数y=)2(2x+)8(2x的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页解：原函数可化简得：y=x-2 +x+8 上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（ 2） ，B（
5、 -8）间的距离之和。由上图可知：当点P在线段 AB上时，y=x-2 +x+8=AB =10 当点 P在线段 AB的延长线或反向延长线上时，y=x-2 +x+8 AB =10 故所求函数的值域为：10 ，+）多种方法综合运用总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。12. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？切记：做题，特别是做大题时，一定要注意附加条件，如定义域、单位等东西要记得协商，不要犯我当年的错误，与到手的满分失之交臂如：，求fxexf x
6、x1( ).令，则txt10 xt21f tett( )2121f xexxx( )2121015 . 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）判断函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：根据定义，设任意得x1,x2，找出 f(x1),f(x2) 之间的大小关系可以变形为求1212()()f xf xxx的正负号或者12()()f xf x与 1 的关系(2) 参照图象：若函数f(x) 的图象关于点 (a ，b) 对称，函数f(x) 在关于点 (a，0)的对称区间具有相同的单调性；（特例：奇函数）若函数 f(x) 的图象关于直线xa 对称，则函数f(x) 在关于点 (a ，0) 的对
7、称区间里具有相反的单调性。 （特例：偶函数）(3) 利用单调函数的性质：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页函数 f(x) 与 f(x)c(c 是常数 )是同向变化的函数 f(x) 与 cf(x)(c是常数 ) ，当 c0 时，它们是同向变化的；当c0 时，它们是反向变化的。如果函数f1(x) ，f2(x) 同向变化，则函数f1(x) f2(x)和它们同向变化；（函数相加）如果正值函数f1(x) ，f2(x)同向变化，则函数f1(x)f2(x)和它们同向变化；如果负值函数f1(2) 与 f2(x) 同向变化， 则函数
8、 f1(x)f2(x)和它们反向变化；（函数相乘）函数 f(x) 与1( )f x在 f(x) 的同号区间里反向变化。 若 函 数u (x) ， x ， 与 函 数y F(u) ， u ( ) ， ( ) 或u ( ), ( ) 同向变化，则在 ， 上复合函数yF (x)是递增的；若函数 u(x),x， 与函数 yF(u) ，u ( ) ，( ) 或 u ()，( ) 反向变化，则在 ， 上复合函数yF(x) 是递减的。（同增异减）若函数 yf(x) 是严格单调的， 则其反函数xf1(y) 也是严格单调的， 而且，它们的增减性相同。如：求的单调区间yxxlog1222（设，由则uxxux220
9、02且，如图：log12211uuxu O 1 2 x 当，时，又，xuuy(log0112当，时，又，xuuy)log1212）16. 如何利用导数判断函数的单调性？f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 都是正数增增增增增增减减/ / 减增减/ / 减减增减减精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页在区间，内，若总有则为增函数。（在个别点上导数等于abfxf x()( )0零，不影响函数的单调性），反之也对，若呢？fx( )0如：已知，函数在，上是单调增函数，则的最大af xxaxa0
10、13( )值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 fxxaxaxa()333302则或xaxa33由已知在，上为增函数，则，即f xaa( )1313a 的最大值为3）17. 函数 f(x) 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（f(x)定义域关于原点对称）若总成立为奇函数函数图象关于原点对称fxf xf x()( )( )若总成立为偶函数函数图象关于轴对称fxf xf xy()( )( )注意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（）若是奇函数且定义域中有原点，则。2f(x)f(0)0判断函数奇偶
11、性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. . 二、奇偶函数定义法在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)( xf，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)1 偶函数f(-x)f(x)1 奇函数f(-x)三、复合函数奇偶性18. 你熟悉周期函数的定义吗？（若存在实数（）
12、，在定义域内总有，则为周期TTf xTf xf x0( )( )函数， T 是一个周期。 ）如：若，则f xaf x( )（答：是周期函数，为的一个周期）f xTaf x( )( )2我们在做题的时候， 经常会遇到这样的情况：告诉你 f(x)+f(x+t)=0, 我们要马上反应过来，这时说这个函数周期2t. 推导：()()0()(2 )()(2 )0fxfxtfxfxtfxtfxt，同时可能也会遇到这种样子：f(x)=f(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x). 其实这都是说同样一个意思：函数f(x) 关于直线对称，对称轴可以由括号内的2 个数字相加再除以2 得到。比如，f(x)=f
13、(2a-x), 或者说 f(a-x)=f(a+x) 就都表示函数关于直线x=a 对称。( )()()()()( )(2)(2)(2)( )(2)2,222 ,( )(22 )( )(22 ),( )2|(,f xxaxbf axf axf bxf bxf xfaxfaxfbxf xfbxtaxbxtba f tf tbaf xf xbaf xbaa b又如：若图象有两条对称轴，即，令则即所以 函数以为周期 因不知道的大小关系为保守起见 我加了一个绝对值如：f(g) g(x) fg(x) f(x)+g(x) f(x)*g(x) 奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶精选学习资料 -
14、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页19. 你掌握常用的图象变换了吗？f xfxy( )()与的图象关于轴 对称联想点（ x,y） ,(-x,y) f xf xx( )( )与的图象关于轴 对称联想点（ x,y）,(x,-y) f xfx( )()与的图象关于 原点 对称联想点（ x,y）,(-x,-y) f xfxyx( )( )与的图象关于 直线对称1联想点（ x,y）,(y,x) f xfaxxa( )()与的图象关于直线对称2联想点（ x,y）,(2a-x,y) f xfaxa( )()()与的图象关于 点，对称20联想点（
15、 x,y）,(2a-x,0) 将图象左移个单位右移个单位yf xa aa ayf xayf xa( )()()()()00上移个单位下移个单位b bb byf xabyf xab()()()()00（这是书上的方法，虽然我从来不用，但可能大家接触最多，我还是写出来吧。对于这种题目，其实根本不用这么麻烦。你要判断函数y-b=f(x+a) 怎么由 y=f(x) 得到，可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标。看点和原点的关系，就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。 ）注意如下“翻折”变换：()|() |x()( | )yfxfxfxfx把 轴下方的图像翻到上面把 轴右方的图像翻到上面如：
16、f xx( )log21作出及的图象yxyxloglog2211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页y y=log2x O 1 x 19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗？(k0) y=b O (a,b)O x x=a （ ）一次函数：10ykxb k(k 为斜率， b 为直线与y 轴的交点 ) （ ）反比例函数：推广为是中心，200ykxkybkxakO ab()的双曲线。（ ）二次函数图象为抛物线30244222yaxbxc aa xbaacba顶点坐标为，对称轴baacbaxba24422开口方向：，向上，
17、函数ayacba0442minayacba0442，向下，max1212122,|bxabcxxxxxxaaa根的关系：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页2212121212( )()( )()(mn( )()()(,2( )()()(, )(, )f xaxbxcf xa xmnf xa xxxxx xf xa xxxxhx h xh二次函数的几种表达形式：一般式顶点式，（， ）为顶点是方程的个根）函数经过点（应用：“三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程axbxcxxyaxbxcx2122
18、00，时，两根、为二次函数的图象与轴的两个交点，也是二次不等式解集的端点值。axbxc200()求闭区间m， n上的最值。2m a x() ,m i n()2m ax() ,m i n()2224m i n,m a xm a x () ,() )4m , n0bnffmffnabmffnffmabnmacbafff mf naa区间在对称轴左边（）区间在对称轴右边（）区间在对称轴边 （）也可以比较和对称轴的关系， 距离越远，值越大( 只讨论的情况）求区间定（动） ，对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。如：二次方程的两根都大于axbxckbakf k20020( )y (a0)
19、O k x1x2x 一根大于，一根小于kkf k( )0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页0mn22( )0( )0mn()( )0bmnaf mf nf m f n在区间（， ）内有 根在区间（， ）内有 1根（ ）指数函数：，401yaaax（ ）对数函数，501yx aaalog由图象记性质！（注意底数的限定！ ）y y=ax(a1) (0a1) 1 O 1 x (0a0 时，f(x)0，f(1) 2 求 f(x)在区间 2,1上的值域 . 分析：先证明函数f（ x）在 R 上是增函数（注意到f（x2） f（
20、x2x1） x1f（x2x1） f（x1） ） ；再根据区间求其值域. 例 2 已知函数f（x）对任意实数x、y 均有 f（xy） 2f（x） f（y） ，且当 x0 时，f(x)2，f(3) 5，求不等式f（a22a2）3 的解 . 分析：先证明函数f（ x）在 R 上是增函数（仿例1） ；再求出 f（1） 3；最后脱去函数符号 . 例 3 已知函数f（x）对任意实数x、y 都有 f（xy）f（x）f（y） ，且 f（ 1）1，f（27）9，当 0 x1 时， f（x） 0， 1. （1）判断 f（x）的奇偶性；（2）判断 f（x）在 0， 上的单调性，并给出证明；（3）若 a0 且 f（a
21、1）39，求 a 的取值范围 . 分析： （ 1）令 y 1；（ 2）利用 f（x1） f（21xxx2） f（21xx）f（x2） ；（ 3）0a2. 例 4 设函数 f（x）的定义域是（，），满足条件：存在x1x2，使得 f（x1）f（x2） ；对任何x 和 y，f（xy） f（x）f（y）成立 .求：（1）f（0） ；（2）对任意值x，判断 f（x）值的符号 . 分析： （ 1）令 x= y0； （2）令 yx 0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页例 6 设 f（x）是定义在（ 0，）上的单调增函数，满足
22、f（ xy） f（x） f（y） ，f（3） 1，求：（1）f（1） ；（2）若 f（x） f（x8） 2，求 x 的取值范围 . 分析： （ 1）利用 313；（2）利用函数的单调性和已知关系式. 对于抽象函数的解答题，虽然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解题意.有些抽象函数问题，对应的特殊模型不是我们熟悉的基本初等函数.因此，针对不同的函数要进行适当变通，去寻求特殊模型，从而更好地解决抽象函数问题. 例 9 已知函数 f（x） （x0）满足 f（xy） f（ x） f（y） ，（1）求证： f（1） f（ 1） 0；（2）求证： f（x）为偶函数；（3）若 f（x）在（ 0，）上是
23、增函数，解不等式f（x） f（x21） 0. 分析：函数模型为：f（x） loga|x|（a0）（1）先令 xy1，再令 x y 1；（2）令 y 1；（3）由 f（x）为偶函数，则f（x） f（|x|）. 例 10 已知函数f（x）对一切实数x、y 满足 f（0） 0，f（xy） f（ x） f（y） ，且当x0 时， f（ x） 1，求证：（1）当 x0 时， 0 f（x） 1；（2）f（x）在 xR 上是减函数 . 分析： （1）先令 xy0 得 f（0） 1，再令 y x；（3）受指数函数单调性的启发：由 f（xy） f（x）f（y）可得 f（x y）)()(yfxf，进而由 x1x2
24、，有)()(21xfxff（ x1 x2） 1. 练习题：1.已知： f（xy） f（x） f（ y）对任意实数x、y 都成立，则（）（A） f（0） 0 （B）f（ 0） 1 （C）f（0） 0 或 1 （D）以上都不对2. 若对任意实数x、y 总有 f（xy） f（ x） f（y） ，则下列各式中错误的是（）（A） f（1） 0 （B）f（x1）f（x）（C）f（yx）f（x） f（y）（D）f（xn） nf（x） （n N）3.已知函数f（x）对一切实数x、y 满足： f（0） 0，f（xy） f（x）f（y） ，且当 x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
25、 - - - - - -第 12 页，共 13 页0 时， f（x） 1，则当 x0 时， f（x）的取值范围是（）（A） （1，）（B） （， 1）（C） （0，1）（D） （ 1，）4.函数 f（x）定义域关于原点对称，且对定义域内不同的x1、x2都有f（x1x2）)()(1)()(2121xfxfxfxf，则 f（x）为（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数5.已知不恒为零的函数f（ x）对任意实数x、y 满足 f（xy） f（xy） 2f（ x） f（y），则函数f（x）是（）（A）奇函数非偶函数（B）偶函数非奇函数（C）既是奇函数又是偶函数（D）非奇非偶函数参考答案：1A 2B 3C 4A 5B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页