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1、第二章 一元二次函数、方程和不等式A知识点一：等式性质与不等式性质1等式的基本性质性质1如果，那么.；性质2如果，那么.；性质3如果，那么.；性质4如果，那么.；性质5如果，.，那么.2不等式的性质性质1 如果，那么.；如果，那么.即.（对称性）性质2 如果，那么.即，.（传递性）性质3 如果，那么.（加法法则）性质4 如果，那么.；如果，那么.（乘法法则）性质5 如果，那么.（加法法则）性质6 如果，那么.（乘法法则）性质7 如果，那么.（）（乘方法则）例1.2.1 对于实数中，给出下列命题中正确的有：_若，则； 若，则； 若，则； 若，则；若，则； 若，则；若，则； 若，则；若，则； 若，
2、则.变式练习：1.设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列命题为真命题的是（ ）A若，则B若，则C若，则D若，则3.（多选题）已知均为实数，则下列命题正确的是（ ）A若，则 B若，则C若则 D若则4.（多选题）设，则下列不等式中恒成立的是（ ）A BCD例1.2.2 已知，.试求:（1） 的取值范围；（2） 的取值范围；（3） 的取值范围变式练习： 1. 已知，求的取值范围2.已知，求的取值范围.知识点二：基本不等式1.重要不等式：，有，当且仅当.时，等号成立；2.基本不等式：.，有，当且仅当.时，等号成立； 其中.叫做正数的算术平均数；.叫做正数的几何平
3、均数3.基本不等式求最值的条件：(1)必须是.；（一正）(2)求积的最大值时，应看和是否为.,若(和为定值)，则当.时，积有最.值，且这个值为.；求和的最小值时，应看积是否为. ，若(积为定值),则当.时，和有最.值，且这个值为.（二定）(3)等号成立的条件是否满足.（三相等）4.常用不等式（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用)；（2）若，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）；（4）若，则（当且仅当时等号成立）；拓展：对于个正数，满足（当且仅当时，等号成立）题型一：对基本不等式的理解例2.1.1 给出下面三个推导过程：因为，所以； 因为，所以；因为，所以其中正确的推导过程
4、为_变式练习：1.下列命题中正确的是()A当时， B当时，C当时， D当时，2. 已知都是正数，且，求证：（1） ；（2） .题型二：利用基本不等式求最值1.“一正、二定、三相等”的应用例2.2.1 已知函数，求值域的取值范围变式练习：1. 在下列函数中,最小值是2的是（ ） 2. 已知，若不等式恒成立，则的最大值等于() 3. 已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（ ） 4. 若都是正数，则的最小值为( ). 2. 配凑项与系数例2.2.2 (1) 已知，求的最大值；(2) 已知，求的最小值；(3) 已知，求函数的最小值.变式练习：1. 求的最大值.2. 已知，求的最大值.3.
5、若，求函数的最大值4. 已知，求的最小值.3.已知求的最小值问题（乘“1”法）例2.2.3 （1）已知且，求的最小值；（2）已知正数满足，求的最小值；（3）若正数满足，求的最小值（4）已知正实数，满足，则的最小值为（ ） （5）知正实数、满足，则的最小值为（ ） 变式练习：1. 已知，则的最小值为（） 2. 已知，则的最小值为（） 3. 已知非负数满足，则的最小值是（ ） 4. 已知，且，则的最小值为（ ） 5.（2022宣城市二模11） 已知正实数满足，则的最小值是（ ） 6. 已知正数满足，则的最小值是（ ） 7. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） 8. （2022合肥一六八中学最后一卷
6、7）已知正数满足，则的最小值为（ ） 9. 已知均为正实数，且，则的最小值为_10. 已知正实数满足，则的最小值为_11. 已知，则取到最小值为 12. 若，且，则的最小值为_13. 若正实数满足，则的最小值是_4.型如，求或取值范围问题（整体思想的运用）例2.2.4 若：(1)求的取值范围；(2)求的取值范围.变式练习：1. 若实数满足，则的最小值为( )A. B. 2 C. 2 D. 42. 已知，且，则的最小值为（） 3. 已知，则（ ） 的最大值为2 的最小值为4 的最小值为3 的最小值为4. 设为正实数，若,求的取值范围为_.5. 已知都是正数，且满足，则的最大值为_6. 已知，且，
7、则的最小值为_7. 非负实数满足，则的最小值为_.8. 已知，且，则的最小值等于_9. 已知，且，则的最小值是_10. 已知，且，则的最小值等于_5.消元法例2.2.5 已知正数，满足，则的最大值为_变式练习：1.已知，且，则的最小值为（ ）A BC D2.若正数，满足，则的最小值是_，此时_.3.若正实数满足，则的最小值为_.6.同时平方法例2.2.6 已知为实数，求函数的最值变式练习：1. 求函数的最值2. 设都是正数，且使，求实数的最大值.题型三：利用基本不等式解决实际问题例2.3 如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成(1)现有可围 36
8、m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？变式练习：1. 某工厂要建造一个长方体形无盖蓄水池，其容积为，深为，如果池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？2. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为万元和万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少处，才能使
9、两项费用之和最小？3. 设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设 ，求的最大面积及相应的值.知识点三：二次函数与一元二次方程、不等式 二次函数的图像一元二次方程的根 一元二次不等式的解集 一元二次不等式的解集 题型一：解一元二次不等式例3.1 当时，不等式的解集为（ ） 变式练习：1. 若，则不等式的解集为（ ） 2. 关于的不等式的解集为_.3. 不等式的解集为_.题型二：已知一元二次不等式的解集求参变量的取值范围例3.2 （1）已知关于的不等式的解集是，求的值（2）不等式的解集为，求实数的取值范围（3）已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 （4）如果方程的两个实根一个小于1，另一
10、个大于1，求实数的取值范围变式练习:1.已知不等式的解集为或，则实数_.2已知关于的不等式的解集为，则等于（ ） 1 33设，则关于的不等式的解集是_4. 已知不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）或 或 5. 已知的解是，求关于的不等式的解集.6. 设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围.题型三：解含参变量的一元二次不等式例3.2.1 （1）解关于的不等式；（2）解关于的不等式；（3）解关于的不等式；（4）解关于正数的不等式；变式练习：1. 解关于的不等式；2. 解关于的不等式；3. 解关于的不等式；4. 解关于的不等式；题型四：二次方程根的分布例3.4 求实数的取值范围，使关于的方程
11、： （1）有两个实根，且一个比大，一个比小； （2）有两个实根，且满足； （3）至少有一个正根.变式练习：1. 若方程在区间内恰有一解，则实数的取值范围为（ ） 2. 关于的方程在区间上有唯一实根，则实数的取值范围为（ ） 3. 若关于的方程在内有解，则实数的取值范围为（ ） 4. 一元二次方程的两个根都是正数，则实数的取值范围为（ ） 或 5. 已知二次方程有一正根和一负根，则实数的取值范围为（ ） 或 6. 若关于的方程有两个不相等的负实数根，则实数的取值范围为（ ） 7. 已知方程有两根，且，则实数的取值范围为（ ） 8. 关于的方程在区间内有两个不等实根，则实数的取值范围为（ ） 题型
12、五：恒成立、能成立问题例3.5（1）已知关于的不等式对任意恒成立，求的取值范围（2） 对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围（3）若存在实数，使不等式成立，求的取值范围（4）已知不等式若对于所有实数，不等式恒成立，求的取值范围；若对于，不等式恒成立，求的取值范围变式练习：1.当时，不等式恒成立则的取值范围是_2.若对任何实数恒成立，求实数的取值范围3设，若关于的不等式在上有解，则（ ）A B CD4已知不等式对任意的恒成立的的取值集合为，不等式对任意的恒成立的取值集合为，则有（ ）A B C D题型六 ：综合问题例3.6.1 （1) 已知函数在上为增函数，求的取值范围；（2）已知函数在上的值域
13、为，求的取值范围；（3）已知函数在上的最小值为3，求的值；（4）已知函数在区间上的值域为，求；（5）已知为实数，不等式有解，且它的解集是不等式的解集的子集，求的取值范围。例3.6.2 ，若，（1）证明：方程有实根； （2）证明：；（3）设方程的两个实根，求的范围。拓展知识点四：高次不等式、分式不等式的解法1.标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的.，并使每一个因式中最高次项的系数为.；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从.根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；2.分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为.，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用.求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。例4.1 若且，则不等式的解集为 .例4.2 不等式的解集是_.变式练习：1. 解关于的不等式；2. 解关于的不等式；3. 解关于的不等式；2. 解关于的不等式；24学科网（北京）股份有限公司