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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数同步测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，ABC的顶点在正方形网格的格点上，则cosACB的值为（ ）ABCD2、已知锐角满足tan（+10
2、）=1， 则锐角用的度数为（ ）A20B35C45D503、小金将一块正方形纸板按图1方式裁剪，去掉4号小正方形，拼成图2所示的矩形，若已知AB9，BC16，则3号图形周长为（）A B C D4、如图要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，点P位于点A正北方向，点C位于点A的北偏西46，若测得PC50米，则小河宽PA为（）A50sin44米B50cos44C50tan44米D50tan46米5、如图，在平面直角坐标系系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接若，则的值是（ ）ABCD6、在直角ABC中，AC2，则tanA的值为（ ）ABCD7、已知，在矩形中，于
3、，设，且，则的长为（ ）ABCD8、如图，某停车场入口的栏杆，从水平位置绕点O旋转到的位置，已知的长为5米若栏杆的旋转角，则栏杆A端升高的高度为（ ）A米B米C米D米9、如图，琪琪一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是（ ）A地在地的北偏西方向上B地在地的南偏西方向上CD10、在中，C=90，A、B、C的对边分别为、，则下列式子一定成立的是（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，矩形ABCD中，AB4，AEAD，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交CD于F
4、点，若F为CD中点，则BC的长为 _2、在正方形ABCD中，AB2，点E是BC边的中点，连接DE，延长EC至点F，使得EFDE，过点F作FGDE，分别交CD、AB于N、G两点，连接CM、EG、EN，下列正确的是_tanGFBMNNC；S四边形GBEM3、构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15时，如图，在RtABC中，C90，ABC30，延长CB至D，使BDAB，连接AD，得D15，所以tan152类比这种方法，计算tan22.5的值为 _4、如图，在菱形ABCD中，DEAB，则tanDBE_5、若一个小球由桌面沿着斜坡向上前进了10cm，此时小球距离桌面的高度为5
5、cm，则这个斜坡的坡度为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为ykx12（k0），ACBC，线段OA的长是方程x215x160的根请解答下列问题：（1）求点A、点B的坐标（2）若直线l经过点A与线段BC交于点D，且tanCAD，双曲线y（m0）的一个分支经过点D，求m的值（3）在第一象限内，直线CB下方是否存在点P，使以C、A、P为顶点的三角形与ABC相似若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由2、如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边
6、AB在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数y13x的图象经过点D，反比例函数的图象经过点D，且与边BC交于点E，连接OE，已知AB3（1）点D的坐标是 ；（2）求tanEOB的值；（3）观察图象，请直接写出满足y23的x的取值范围；（4）连接DE，在x轴上取一点P，使，过点P作PQ垂直x轴，交双曲线于点Q，请直接写出线段PQ的长3、抛物线与 轴相交于两点 (点在点左侧), 与轴交于点, 其顶点的纵坐标为 4 （1）求该抛物线的表达式；（2）求 的正切值；（3）点在线段的延长线上, 且 , 求 的长4、在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点在第三象限的抛物线上，直
7、线经过点、点，点的横坐标为（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，直线交轴于点，过点作轴，交轴于点，交抛物线于点，过点作，交直线于点，求线段的长；（3）在（2）的条件下，点在上，直线交于点，点在第二象限，连接交于点，连接，点在的延长线上，点在直线上，且点的横坐标为5，连接，求点的纵坐标 5、在ABC中，ABAC，BAC，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，连接DB，DC（1）如图1，当60时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由；（2）如图2，当120时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由-参考答案-一、单选题1、D【分析】根据图形得
8、出AD的长，进而利用三角函数解答即可【详解】解：过A作ADBC于D，DC=1，AD=3，AC=，cosACB=，故选：D【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理逆定理及余弦函数的定义2、B【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可；【详解】tan（+10）=1，且，；故选B【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，准确计算是解题的关键3、B【分析】设 而AB9，BC16，如图，由（图1）是正方形，（图2）是矩形，4号图形为小正方形，得到 再证明再建立方程求解，延长交于 则 再利用勾股定理求解 从而可得答案.【详解】解：如图，由题意得：（图1）是正方形，（图2）是矩形，4号图形为
9、小正方形， 设 而AB9，BC16， 结合（图1），（图2）的关联信息可得： 整理得： 解得： 经检验：不符合题意，取 延长交于 则 四边形是矩形， 所以3号图形的周长为： 故选B【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的性质，锐角三角函数的应用，一元二次方程的应用，从（图形1）与（图形2）中的关联信息中得出图形中边的相等是解本题的关键.4、C【分析】先根据APPC，可求PCA=90-46=44，在RtPCA中，利用三角函数AP=米即可【详解】解：APPC，PCA+A=90，A=46，PCA=90-46=44，在RtPCA中，tanPCA=，PC=50米，AP=米故选C【点睛】本题考查测量
10、问题，掌握测量问题经常利用三角函数求边，熟悉锐角三角函数定义是解题关键5、B【分析】首先根据直线求得点C的坐标，然后根据BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论【详解】解：直线yk1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，点C的坐标为（0，2），OC2，SOBC1，BD1，tanBOC，OD3，点B的坐标为（1，3），反比例函数y在第一象限内的图象交于点B，k2133故答案为：B【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标6、B【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再求tanA的值【详解】解：在Rt
11、ABC中，AB=3，AC2，BC= tanA=故选：B【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中7、B【分析】根据同角的余角相等求出ADE=ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得BAC=ACD，然后求出AC，再利用勾股定理求出BC，然后根据矩形的对边相等可得AD=BC【详解】解：DEAC，ADE+CAD=90，ACD+CAD=90，ACD=ADE=，矩形ABCD的对边ABCD，BAC=ACD，cos=，AC=4=，由勾股定理得，BC=，四边形ABCD是矩形，AD=BC=故选：B【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角
12、的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC是解题的关键8、C【分析】过点A作ACAB于点C，根据锐角三角函数的定义即可求出答案【详解】解：过点A作ACAB于点C，由题意可知：AO=AO=5，sin=，AC=5sin，故选：C【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型9、B【分析】根据题意可知，由此即可得到即可判断A；由可以判断B；由可以判断C；求出即可判断D【详解】解：如图所示：由题意可知，即在处的北偏西，故A不符合题意；，地在地的南偏西方向上，故B不符合题意；，故C错误，故D不符合题意故选B【点睛】本题考查的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的
13、概念是解题的关键10、B【分析】根据题意，画出直角三角形，再根据锐角三角函数的定义对选项逐个判断即可【详解】解：由题意可得，如下图：，则，A选项错误，不符合题意；，则，B选项正确，符合题意；，则，C选项错误，不符合题意；，则，D选项错误，不符合题意；故选B，【点睛】此题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是画出图形，根据锐角三角函数的定义进行求解二、填空题1、4【解析】【分析】延长BF交AD的延长线于点H，证明BCFHDF（AAS），由全等三角形的性质得出BC=DH，由折叠的性质得出A=BGE=90，AE=EG，设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，得出EH=5x，由锐角三角函数的定义及
14、勾股定理可得出答案【详解】解：延长BF交AD的延长线于点H，四边形ABCD是矩形，AD=BC，ADBC，A=BCF=90，H=CBF，在BCF和HDF中，BCFHDF（AAS），BC=DH，将ABE沿BE折叠后得到GBE，A=BGE=90，AE=EG，EGH=90，AE=AD，设AE=EG=x，则AD=BC=DH=3x，ED=2x，EH=ED+DH=5x，在RtEGH中，sinH=，sinCBF=，AB=CD=4，F为CD中点，CF=2，BF=10，经检验，符合题意，BC=4，故答案为：4【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握折叠的性
15、质是解题的关键2、【解析】【分析】证明，由可得；结合，证明；证明，得；求出和的面积，进而由它们的差可得【详解】解：，故正确，由可得：，故正确，故不正确，故正确，故答案是：【点睛】本题考查了正方形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形判定和性质等知识，解题的关键是层层递进，下一问要有意识应用前面解析3、或【解析】【分析】在等腰直角ABC中，C=90，延长CB至点D，使得AB=BD，则BAD=D设AC=1，求出CD，可得结论【详解】解：如图，在等腰直角ABC中，C=90，延长CB至点D，使得AB=BD，则BAD=DABC=45，45=BAD+D=2D，D=22.5，设AC=1，则BC=1，故答案为
16、：【点睛】本题考查解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性质，三角函数等知识，解题的关键是学会利用特殊直角三角形解决问题4、3【解析】【分析】根据DEAB，cosA，设AE4x，AD5x，根据勾股定理DE，根据四边形ABCD为菱形，可得菱形的边ABAD5x，可求BE=AB-AE=5x-4x=x，根据正切定义求tanDBE=即可【详解】解：DEAB，cosA，设AE4x，AD5x，在RtADE中， DE，四边形ABCD为菱形，菱形的边ABAD5x，BE=AB-AE=5x-4x=x，tanDBE=故答案为：3【点睛】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，根据根据菱形的四条边都相等求出菱
17、形的边长是解题的关键，利用A的余弦设AE=4x，AD=5x使求解更加简便5、【解析】【分析】过B作BC桌面于C，由题意得AB=10cm，BC=5cm，再由勾股定理求出AC的长度，然后由坡度的定义即可得出答案【详解】如图，过B作BC桌面于C，由题意得：AB=10cm，BC=5cm，这个斜坡的坡度，故答案为：【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题以及勾股定理；熟练掌握坡度的定义和勾股定理是解题的关键三、解答题1、（1）A（16，0），B（-9，0）；（2）-24；（3）存在，（16，12）或（25，12）或（32，）或（）【解析】【分析】（1）解一元二次方程x215x160，对称点A（
18、16，0），根据直线BC的解析式为ykx12，求出与y轴交点C为（0，12），利用三角函数求出tanBCO= tanOAC=，求出OB=即可；（2）过点D作DEy轴于E，DFx轴于F，利用勾股定理求出AC=，BC=，根据三角函数求出tanCAD，求出，利用三角函数求出DE= CDsinBCO=，再利用勾股定理求出点D（-3，8）即可；（3）过点A作AP1与过点C与x轴平行的直线交于P1，先证四边形COAP1为矩形，求出点P1（16，12），再证P1CACAB，作P2AAC交CP1延长线于P2，可得CAP2=BCA=90，P2CA=CAB，可证CAP2ACB，先求三角函数值cosCAO=，再利用
19、三角函数值cosP2CA= cosCAO=，求出，得出点P2（）作P3CA=OCA，在射线CP3截取CP3=CO=12，连结AP3，先证CP3ACOA（SAS）再证P3CACAB，设P3（x，y）利用勾股定理列方程，解方程得出点P3（），延长CP3与延长线交P4，过P4作PHx轴于H，先证CAP4ACB，再证P4P3AP4HA（ASA），利用cosP3CA=，求得即可【详解】解：（1）x215x160，因式分解得，解得，点A在x轴的正半轴上，OA=16，点A（16，0），直线BC的解析式为ykx12，与y轴交点C为（0，12），tanOAC=，OCA+OAC=90，ACBC，BCO+OCA=9
20、0，BCO=OAC，tanBCO= tanOAC=，OB=，点B（-9，0）；（2）过点D作DEy轴于E，DFx轴于F，在RtAOC中，AC=，在RtBOC中BC=，tanCAD，sinBCO=，DE= CDsinBCO=，CE=，OE=OC-EC=12-4=8，点D（-3，8），双曲线y（m0）的一个分支经过点D，;（3）过点A作AP1与过点C与x轴平行的直线交于P1，则CP1A=P1CO=COA=90，四边形COAP1为矩形，点P1（16，12），当点P1（16,12）时，CP1OA，P1CA=CAB，ACB=CP1A，P1CACAB，作P2AAC交CP1延长线于P2，CAP2=BCA=9
21、0，P2CA=CAB，CAP2ACB，cosCAO=，cosP2CA= cosCAO=，点P2的横坐标绝对值=，纵坐标的绝对值=OC=12，点P2（），作P3CA=OCA，在射线CP3截取CP3=CO=12，连结AP3，在CP3A和COA中，CP3ACOA（SAS），AP3=OA=16，P3CACAB，设P3（x，y），整理得，解得：，点P3（），延长CP3与延长线交P4，过P4作PHx轴于H，P4CA=CAB，P4AC=BAC=90，CAP4ACB，BAC+HAP4=CAP3+P3AP4=90，CAP3=BAC，HAP4=P3AP4，P4P3A=180-CP3A=180-90=90=P4HA
22、，在P4P3A和P4HA中，P4P3AP4HA（ASA），AP3=AH=16，P3P4=P4H，cosP3CA=，OH=OA+AH=OA+AP3=16+16=32，点，综合直线CB下方，使以C、A、P为顶点的三角形与ABC相似点P的坐标（16，12）或（）或或()【点睛】本题考查一元二次方程的解法，直线与y轴的交点，反比例函数解析式，锐角三角形函数，勾股定理，三角形全等判定与性质，矩形判定与性质，三角形相似，图形与坐标，解方程组，本题难度大，综合性强，涉及知识多，利用动点作出准确图形是解题关键2、（1）；（2）；（3）；（4）或【解析】【分析】（1）根据D点纵坐标为3，代入正比例函数即可求解；
23、（2）求出EB，根据正切的性质即可求解；（3）根据函数图象即可直接求解；（4）分当点P在线段AB上时和当点P在线段AB的延长线时，分别求出AP的长，故可求解【详解】解：（1）正方形ABCD的边长AB=3AD=3D点在正比例函数y13x上设D（x，3），代入y13x得3=3x解得x=1D故答案为：；（2）反比例函数的图象经过点D，k=13=3E点的横坐标为1+3=4E（4，y），代入得到EB=tanEOB=（3）如图，根据图象可得3时，图象在直线y=3的上方，x的取值为0x1（4）当点P在线段AB上时，如图1，设AP=m，则PB=3-mSPDE=S梯形ABED-SADP-SPBE=解得m=3OP
24、=1+3=4点P（4，0）当x=4时，Q（4，）PQ=当点P在线段AB的延长线时，如图2，设AP=m，则PB=m-3SPDE=SADP-S梯形ABED-SPBE=解m=5OP=1+5=6点P（6，0）当x=6时，Q（6，）PQ=综上，PQ的长为或【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合、解直角三角形，解题的关键是熟知待定系数法的应用、正切的性质3、（1）抛物线的表达式为；（2）；（3）【解析】【分析】（1）点代入即可得出c的值，再根据点D的纵坐标得出a的值，由此得出点D的坐标；（2）过点B作，求出交点坐标，得出，；由面积公式列出方程计算出BE、EC的长度，即可得出 的正切值；（3）过点D作轴，
25、过点A作，得出；证明，根据相似比得出NB、NA的长度，根据线段加减推论出CF的长度【详解】解：（1）把点代入得：当时，顶点的纵坐标为 4故抛物线的表达式为（2）过点B作交于E点，令则 故， （3）过点D作轴，过点A作， 当点F在CB延长线上，F只能在第四象限，故【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理逆定理，锐角三角函数，相似三角形的性质，解题关键是确定出抛物线解析式，是一道中等难度的中考常考题4、（1）抛物线的解析式为：；（2）；（3）点N的纵坐标为5【解析】【分析】（1）根据题意可得一次函数图象经过A、D两点，所以当及当时，可确定A、D两点坐标，然后代入抛物线解析式求解
26、即可确定；（2）根据题意当时，代入抛物线解析式确定点P的坐标，求得，然后求出直线与y轴的交点T，利用勾股定理确定，由平行可得三角形相似，利用相似三角形的性质即可得出结果；（3）过点P作轴，且，即，利用相似三角形的性质可确定，求出直线GF的函数解析式，过点M作轴，设且，可求得MF的长度，设直线MP的函数解析式为：，将点，代入即可确定点的坐标，求出，根据题意即可确定点，设点R、点N在如图所示位置：过点N作轴，过点M作，过点R作，利用相似三角形及勾股定理即可得出结果【详解】解：（1）经过A、D两点，当时，解得，当时，将A、D两点代入抛物线解析式可得：，解得：，抛物线的解析式为：；（2）当时，解得：，
27、直线解析式，当时，在中，轴，轴，即；（3）如图所示：过点P作轴，且，即，设直线GF的函数解析式为：，可得：，解得：，直线GF的函数解析式为：，过点M作轴，设且，即，设直线MP的函数解析式为：，将点，代入可得：可得：，解得：，点，解得：，点，设点R、点N在如图所示位置：过点N作轴，过点M作，过点R作，设，则，代入化简可得：，联立求解可得：，点N的纵坐标为5【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键5、（1），理由见解析；（2），理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件证明即得到；（2）过点作于，过点作，进而可得，同理可得证明进而证明，根据相似三角形的性质列出比例式即可求得【详解】（1），理由如下，是等边三角形，线段绕点P逆时针旋转后得到线段，是等边三角形，；（2）理由如下，如图，过点作于，过点作，即，【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，特殊角的三角函数值，等腰三角形的性质，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键