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1、人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、在直角ABC中，AC2，则tanA的值为（ ）ABCD2、三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则tan
2、的值是（ ）A12B43C35D453、某人沿坡度的斜坡向上前进了10米，则他上升的高度为（ ）A5米BCD4、如图，琪琪一家驾车从地出发，沿着北偏东的方向行驶，到达地后沿着南偏东的方向行驶来到地，且地恰好位于地正东方向上，则下列说法正确的是（ ）A地在地的北偏西方向上B地在地的南偏西方向上CD5、在正方形网格中，ABC在网格中的位置如图，则sinB的值为（）ABCD6、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知的顶点位于正方形网格的格点上，且，则满足条件的是（ ）ABCD7、如图1所示，DEF中，DEF90，D30，B是斜边DF上一动点，过B作ABDF于B，交边DE（或边EF）于
3、点A，设BDx，ABD的面积为y，图2是y与x之间函数的图象，则ABD面积的最大值为（ ）A8B16C24D488、如图，E是正方形ABCD边AB的中点，连接CE，过点B作BHCE于F，交AC于G，交AD于H，下列说法：；点F是GB的中点；SAHG=SABC其中正确的结论的序号是（ ）ABCD9、如图，若的半径为R，则它的外切正六边形的边长为（ ）ABCD10、将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若，则的值为（ ）ABCD第卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区，登陆时
4、强度为台风级，中心最大风速38米/秒此时一艘船以27nmile/h的速度向正北航行，在A处看烟花S在船的北偏东15方向，航行40分钟后到达B处，在B处看烟花S在船的北偏东45方向（1）此时A到B的距离是 _；（2）该船航行过程中距离烟花S中心的最近距离为 _（提示：sin15）2、当0时，将二次函数yx2x（0x）的图象G，绕原点逆时针旋转得到图形G均是某个函数的图象，则的最大值为 _3、如图，直线MN过正方形ABCD的顶点A，且NAD30，AB2，P为直线MN上的动点，连BP，将BP绕B点顺时针旋转60至BQ，连CQ，CQ的最小值是 _4、如图，等边的边长为2，点O是的中心，绕点O旋转，分别
5、交线段于D，E两点，连接，给出下列四个结论：；四边形的面积始终等于；周长的最小值为3其中正确的结论是_（填序号）5、矩形ABCD中，E为边AB上一点，将沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN若，（1）矩形ABCD的面积为_；（2）的值为_三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、计算：2、平面直角坐标系中，过点M的O交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C、D两点，交OM的反向延长线于点N（1）求经过A、N、B三点的抛物线的解析式（2）如图，点E为（1）中抛物线的顶点，连接EN，判断直线EN与O的位置关系，并说明理由（3）如图，连接MD、
6、BD，过点D的直线交抛物线于点P，且，直接写出直线DP的解析式3、如图，在中，（1）尺规作图：作的垂直平分线交于点（保留痕迹，不写作法）（2）在（1）的作图下，试求的值（结果保留根号）4、如图，已知抛物线（为常数，且0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D（1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与ABC相似，求的值；（3）在（1）的条件下，直线BD上是否存在点E，使AEC=45？若存在，请直接写出点E的横坐标；若不存在，请说明理由5、在O中，四边形ABCD是平行四边形（
7、1）求证：BA是O的切线；（2）若AB6，求O的半径；求图中阴影部分的面积-参考答案-一、单选题1、B【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再求tanA的值【详解】解：在RtABC中，AB=3，AC2，BC= tanA=故选：B【点睛】本题考查锐角三角形的三角函数和勾股定理，需要注意求三角函数时，一定要是在直角三角形当中2、A【分析】根据在直角三角形中，正切值等于对边比上邻边进行求解即可【详解】解：如图所示，在直角三角形ABC中ACB=90，AC=2，BC=4，tan=ACBC=24=12，故选A【点睛】本题主要考查了求正切值，解题的关键在于能够熟练掌握正切的定义3、B【分析】由坡度定义可得
8、位置升高的高度即为坡角所对的直角边根据题意可得BC：AC=1：2，AB=10m，可解出直角边BC，即得到位置升高的高度【详解】解：由题意得，BC：AC=1：2 设BC=x，则AC=2xAB=10， BC2+ AC2=AB2，x2+ (2x)2=102，解得：x=故选：B【点睛】本题主要考查了坡度的定义和解直角三角形的应用，注意画出示意图会使问题具体化4、B【分析】根据题意可知，由此即可得到即可判断A；由可以判断B；由可以判断C；求出即可判断D【详解】解：如图所示：由题意可知，即在处的北偏西，故A不符合题意；，地在地的南偏西方向上，故B不符合题意；，故C错误，故D不符合题意故选B【点睛】本题考查
9、的是解直角三角形和方向角问题，熟练掌握方向角的概念是解题的关键5、A【分析】利用勾股定理先求出AB的长度，最后利用正弦值的定义得到，进而得到最终答案【详解】解：如图所示在中，由勾股定理可得： 故选：A【点睛】本题主要是考察了勾股定理和锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键6、B【分析】先构造直角三角形，由求解即可得出答案【详解】A.，故此选项不符合题意；B.，故此选项符合题意；C.，故此选项不符合题意；D.，故此选项不符合题意；故选：B【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握在直角三角形中，是解题的关键7、C【分析】由图得点A到达点E时，面积最大，此时，由三角函数算出AB，由三角形面
10、积公式即可求解【详解】由图可得：点A到达点E时，面积最大，此时，故选：C【点睛】本题考查二次函数图像问题以及解直角三角形，由题判断点A运动到哪里能使面积最大是解题的关键8、D【分析】先证明ABHBCE，得AH=BE，则，即，再根据平行线分线段成比例定理得：即可判断；设BF=x，CF=2x，则BC=x，计算FG= 即可判断；根据等腰直角三角形得：AC=AB，根据中得：即可判断；根据，可得同高三角形面积的比，然后判断即可【详解】解：四边形ABCD是正方形，AB=BC，HAB=ABC=90，CEBH，BFC=BCF+CBF=CBF+ABH=90，BCF=ABH，ABHBCE，AH=BE，E是正方形A
11、BCD边AB的中点，BE=AB，即AH/BC，故正确；设BF=x，CF=2x，则BC=x，AH=x，故不正确；四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=90，AC=AB，故正确；，故正确故选D【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识点成为解答本题的关键9、B【分析】如图连结OA，OB，OG，根据六边形ABCDEF为圆外切正六边形，得出AOB=60AOB为等边三角形，根据点G为切点，可得OGAB，可得OG平分AOB，得出AOC=，根据锐角三角函数求解即可【详解】解：如图连结OA，OB，OG，六边形ABCDEF为圆外切正六边
12、形，AOB=3606=60，AOB为等边三角形，点G为切点，OGAB，OG平分AOB，AOC=，cos30=，故选择B【点睛】本题考查圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数，掌握圆与外切正六边形性质，等边三角形性质，锐角三角形函数是解题关键10、D【分析】由AFECFD90得，根据折叠的定义可以得到CBCF，则，即可求出的值，继而可得出答案【详解】AFECFD90，由折叠可知，CBCF，矩形ABCD中，ABCD，故选：D【点睛】本题考查了折叠变换的性质及锐角三角函数的定义，解题关键是得到CBCF二、填空题1、 18 nmile nmile# nmile【解析】【分析】如图，过作于
13、 先由路程等于速度乘以时间求解 再利用sin15求解 再设 而 再利用建立方程，再解方程，从而可得答案.【详解】解：如图，过作于 由题意可得： 设 则 设 而 解得： 经检验符合题意；所以：该船航行过程中距离烟花S中心的最近距离为： nmile.故答案为：18 nmile， nmile.【点睛】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练的利用的值求解是解本题的关键.2、【解析】【分析】根据题意，找到图象G的切线，进而根据旋转的性质即可求得的最大值【详解】解：将二次函数yx2x（0x）的图象G，逆时针旋转得到图形G均是某个函数的图象，设过原点的直线当yx2x，存在唯一交点时即解得设为上一点，过点作
14、轴，则当图象旋转时，与轴相切，符合函数图象，故即故答案为：30【点睛】本题考查了旋转的的性质，抛物线与直线交点问题，解直角三角形，理解题意求得直线与轴的夹角是解题的关键3、#【解析】【分析】如图，连接交于 则 先证明 把绕顺时针旋转得到 证明 可得三点共线，在上运动，过作于 则重合时，最短，再求解 从而可得答案.【详解】解：如图，连接PQ交于 则 是等边三角形， 正方形 把绕顺时针旋转得到 则 三点共线， 在上运动，过作于 则重合时，最短， 是等边三角形，记交于 所以CQ的最小值是，故答案为：【点睛】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，得到的运动轨迹是解本题的关键.
15、4、【解析】【分析】如图：连接OB、OC，利用等边三角形的性质得ABO=OBC=OCB=30，再证明BOD=COE，可证BODCOE，即BD=CE、OD=OE，则可对进行判断；利用 SBOD=SCOE得到四边形ODBE的面积 =13SABC=33，则可对进行判断；再作OHDE，则DH=EH，计算出SDOE=34OE2,利用SDOE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对进行判断；由于BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+OE，根据垂线段最短，当OEBC时，OE最小，BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对进行判断【详解】解：连接OB、OC，如图，等边ABC=ACB=60,点O是A
16、BC的中心，OB=OC，OB、OC分别平分ABC和ACB，ABO=OBC=OCB=30BOC=120，即BOE+COE=120，而DOE=120，即BOE+BOD=120，BOD=COE,在BOD和COE中BOD=COEBO=COOBD=OCE BODCOE,BD=CE，OD=OE，所以正确；SBOD=SCOE四边形ODBE的面积 =SOBC=13SABC=133422=33，故正确；如图：作OHDE，则DH=EH，DOE=120,ODE=_OEH=30, OH=12OE，HE =3OH=32OE, DE=3OE, SODE=1212OE3OE=34OE2,即SDOE随OE的变化而变化，而四边
17、形ODBE的面积为定值， SODESBDE;所以错误；BD=CE,BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=2+DE=2+OE当OEBC时，OE最小，BDE的周长最小，此时 OE=33,BDE周长的最小值=2+1=3,所以止确故填【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键5、 【解析】【分析】（1）矩形ABCD中，由折叠可得DF=AD=3，在中，用勾股定理求得，即可求得矩形ABCD的面积；（2）由折叠可得，矩形ABCD中，四点共圆，故，设，在中，由勾股定理得： ，即可求的值.【详解】（1）矩形ABCD中
18、，由折叠可得DF=AD=3，在中，矩形ABCD的面积=，故答案为：；（2）将沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，矩形ABCD中，四点共圆，设，则，在中，由勾股定理得：，即，解得，=.故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、锐角三角函数等知识，掌握相应的定理是解答此题的关键.三、解答题1、0【解析】【分析】先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即可求解【详解】解：【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角锐角三角函数值是解题的关键2、（1）；（2）直线EN与O相切，理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）结合题意，根据圆和勾股定理的性质，计
19、算得圆的半径，从而得，；根据抛物线轴对称的性质，得经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为：；通过列二元一次方程组并求解，即可得到答案；（2）根据抛物线的性质，计算得；根据勾股定理的性质，得，；根据圆的性质，得；根据勾股定理的逆定理，通过，推导得，结合圆的切线的定义，即可得到答案；（3）结合（2）的结论，根据特殊角度三角函数的性质，得，分当点P纵坐标大于0和小于0两种情况，根据圆周角、圆心角的性质，推导得；根据含角直角三角形和勾股定理的性质，计算得点坐标，再通过待定系数法求解一次函数解析式，即可得到答案【详解】（1）O过点M O交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧）， ， 经过A、N、B三点的抛物
20、线，对称轴为： O交OM的反向延长线于点N 设经过A、N、B三点的抛物线为： 经过A、N、B三点的抛物线，对称轴为： 经过A、N、B三点的抛物线为：；（2）经过A、N、B三点的抛物线为：，且对称轴为：当时，抛物线取最小值，即 ， 直线EN与O相切；（3） 如图，当点P纵坐标大于0时，直线交O于点Q，连接，过点Q作，交OB于点K ， 设直线DP的解析式为： ；如图，当点P纵坐标小于0时，直线交O于点Q，连接，过点Q作，交OB于点K， 设直线DP的解析式为： ；直线DP的解析式为：或【点睛】本题考查了圆、二次函数、一次函数、勾股定理、直角三角形、轴对称、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称
21、性、圆周角、圆心角、二次函数图像、勾股定理及其逆定理、切线、特殊角度三角函数的性质，从而完成求解3、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）作线段的垂直平分线即可；（2）由垂直平分线的性质求出，设，在三角形中利用三角函数即可求解【详解】（1）作图如下，（2）根据垂直平分线的性质知，在三角形中，设，在三角形中，【点睛】本题考查的是作图基本作图、线段垂直平分线的性质、三角函数，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键4、（1）：y=x2-x-2；（2）a=或；（3）在直线BD上不存在点E，使AEC=45理由见解析【解析】【分析】（1）令y=0可得A和B两点的坐标，把点B的坐标代入直线y=-x+b
22、中可得b的值，根据点D的横坐标为-5，可得点D的坐标，将点D的坐标代入抛物线的解析式中可得答案；（2）因为点P在第一象限内的抛物线上，所以ABP为钝角因此若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCPAB如图1和图2，按照以上两种情况进行分类讨论，分别计算；（3）根据OA=OC=2，AOC=90画圆O，半径为2，可知若优弧上存在一点E与A，C构建的AEC=45，再证明BD与O相离，圆外角小于圆上角，可得结论【详解】解：（1）抛物线y=a（x+2）（x-4），令y=0，解得x=-2或x=4，A（-2，0），B（4，0），把B（4，0）代入直线y=x+b中，b=3，直线的解析式为y=-x+3，当
23、x=-5时，y=-（-5）+3=，D（-5，），点D（-5，）在抛物线y=a（x+2）（x-4）上，a（-5+2）（-5-4）=，a=，抛物线的函数表达式为：y=（x+2）（x-4）=x2-x-2；（2）由抛物线解析式，令x=0，得y=-8a，C（0，-8a），OC=8a点P在第一象限内的抛物线上，ABP为钝角若两个三角形相似，只可能是ABCAPB或ABCPAB过点P作PNx轴于点N，若ABCAPB，则有BAC=PAB，如图1所示，设P（x，y），则ON=x，PN=y，tanBAC=tanPAB，即：，y=4ax+8a，P（x，4ax+8a），代入抛物线解析式y=a（x+2）（x-4），得a（
24、x+2）（x-4）=4ax+8a，整理得：x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2（与点A重合，舍去），P（8，40a），ABCAPB，即，解得：a=；若ABCPAB，则有ABC=PAB，如图2所示，与同理，可求得：y=2ax+4a，P（x，2ax+4a），代入抛物线解析式y=a（x+2）（x-4），得a（x+2）（x-4）=2ax+4a，整理得：x2-4x-12=0，解得：x=6或x=-2（与点A重合，舍去），P（6，16a），ABCPAB，即，解得：a=；综上所述，a=或；（3）在（1）的条件下，二次函数的解析式为：y=x2-x-2；当x=0时，y=-2，C（0，-2），OA=OC=2
25、，如图3，以O为圆心2为半径画圆，在上取一点E1，过点O作OFBD于F，AOC=90，AE1C=45，在直线y=-x+3中，OM=3，OB=4，BM=5，SOBM=34=5OF，OF=2，直线BD与O相离，AEC45，在直线BD上不存在点E，使AEC=45【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，解直角三角形，直线和圆的位置关系，圆周角的性质，坐标和图形的性质等知识，解（1）的关键是确定点D的坐标，解（2）的关键是利用分类讨论的思想；解（3）的关键是作出辅助线，是一道难度比较大的中考常考题5、（1）证明见解析；（2），【解析】【分析】（1）连接AO，由，四边形ABC
26、D是平行四边形，即得推得为等边三角形，即可得BAO=BAC+CAO=90，即BA是O的切线（2）由（1）有A0=将阴影面积拆为相等的两部分，其中左侧部分为扇形ACO面积减去三角形ACO面积，由扇形面积公式，等边三角形面积公式计算后乘2即可【详解】（1）证明：连接OA四边形ABCD是平行四边形AD/BEADC=DCO又ACD=ADCACO=ACD +DCO=2ADC又2ADC=AO=AC又OC=AO为等边三角形ACO=CAO=60，ACD =DCO=30又AB/CDBAC=ACD=30BAO=BAC+CAO=30+60=90BA是O的切线（2）由（1）可知BAO=90，BOA=60AO=连接AO，与CD交于点MAC=，OAC=60CM=AO=，AOC=60【点睛】本题是一道圆内的综合问题，考察了证明某线是切线、平行四边形性质、等弧的性质、解直角三角形、等边三角形性质、勾股定理、扇形面积公式等，需熟练掌握这些性质及定理，而作出正确的辅助线是解题的关键