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1、课程基本信息课题旋转全章复习教科书书名：义务教育教科书数学九年级上册 出版社：人民教育出版社 出版日期： 2014年 3月教学目标教学目标：梳理本章知识结构，进一步理解旋转及中心对称的概念和性质，并应用这些知识解决相关问题； 体会从特殊到一般、转化等数学思想方法.教学重点：构建本章知识体系，深入理解旋转的实质.教学难点：从旋转的变换角度思考问题.教学过程时间教学环节主要师生活动结构梳理本章我们学习了一种新的图形变换旋转，下面我们来对这一章节进行简要的梳理.首先我们遵循几何变换的一般研究思路，从定义、性质、应用几个方面对旋转进行了细致、深入的学习.然后我们又对其中一种特殊的旋转中心对称进行了研究
2、.最后结合之前学过的图形变换平移和轴对称，利用这三种图形之间的变化关系，以及它们变化前后只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小的共性，进行了图案设计.下面我们通过具体问题，来对本章一些具体的知识和方法进行复习和回顾.复习回顾：图形的旋转例如图所示， 把一个直角三角尺ACB顺时针旋转到EDB的位置， 使得点A落在CB的延长线上的点E处，则旋转中心是_， 旋转角等于_度，BDC的度数为_度设计意图：通过本题复习旋转的定义及性质.图形：定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度.性质：1.对应点到旋转中心的距离相等.2.对应点与旋转中
3、心所连线段的夹角等于旋转角.3.旋转前、后的图形全等.例： 已知：点A与点B. （1）画出点A绕点B逆时针旋转30得到点C，并简述作图步骤；（2）连接点A，B，C，能得到什么图形？为什么？ （3）如果想得到等边三角形和等腰直角三角形，应该旋转怎样的角度呢？设计意图：复习旋转作图，通过作图过程挖掘旋转变换中可挖掘的结论旋转作图的步骤： 明确旋转中心、旋转方向、旋转角； 找出关键点； 将图形的关键点与旋转中心连结起来，然后按旋转方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此点的对应点； 按原图形顺序连结这些对应点，得到旋转后的图形.例：如图，小明发现线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即线段AB绕着某点旋转
4、一个角度可以得到另一条线段CD，请在图中确定旋转中心点E的位置及旋转角度设计意图：应用旋转的性质确定旋转中心.分析：上一道题是已知旋转中心和初始图形，做出旋转后的图形，本题则需要根据旋转前后的图形，确定旋转中心及旋转角度.首先，我们考虑如何确定旋转中心.根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，以及到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，我们可以得到，旋转中心在每对对应点所连线段的垂直平分线上.因此，我们只需确定两对对应点，取它们垂直平分线的交点即可确定旋转中心.在本题的叙述中，我们无法确定两条线段的端点是如何对应的，因此需要分类讨论.情况1：点A与点D对应，点B与点C对应. 做
5、线段AD与BC的垂直平分线，交于点E1，则点E1即为所求. 进而A E1D、BE1C为旋转角.根据网格，可计算得出AED的三边符合勾股定理逆定理，因此AE1D=90，同理也可计算出BE1C=90.因此线段DC可以看成是线段AB绕点E逆时针旋转90得到的.情况2：点A与点C对应，点B与D对应. 与情况1完全同理，可以确定此时点E2的位置如图所示，根据网格，可根据勾股定理逆定理得到旋转角AE2D=BE2D=90.所以线段CD可以看成线段AB绕点E顺时针旋转90得到的.复习回顾：中心对称例：如图，ABC与ABC关于点O成中心对称，下列结论中不一定成立的是( ). （A）OC=OC（B） OA=OA（
6、C）BC=BC（D） ABC=ACB设计意图：复习中心对称的定义及性质.图形：定义：把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称.性质：（1）对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.（2）中心对称的两个图形是全等图形.例：如图，DEF是ABC经过某种变换后得到的图形ABC内任意一点M的坐标为(x,y)，点M经过这种变换后得到点N，点N的坐标是( ).（A） (-y,-x)（B）( x,-y)（C） (-x,y)（D）(-x,-y)设计意图：中心对称、关于原点对称的点的坐标.例：下列图案中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（
7、 ） （A） （B） （C） （D）设计意图：1.辨析轴对称图形与中心对称图形. 轴对称图形判断的关键是寻找对称轴，对称轴两旁部分折叠后可重合;中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合综合应用例： 在四边形ABCD中，ABC=30，ADC=60，AD=DC.求证：BD2=AB2+BC2.设计意图：从变换的角度出发，应用旋转相关的知识解决问题一题多解分析：定方向：从图形变换的角度解决问题.求证的这个等式的结构符合勾股定理形式，故需要将三条线段构造到一个直角三角形中，即改变它们的位置，但不改变大小.因此，我们从图形变换的角度来思考解决这个问题.结合已知给出的图形，下面我们就从旋转的角
8、度出发，考虑如何添加辅助线，才能实现把三条目标线段构造到同一直角三角形中.【方法一】旋转三角形由例2我们可以看到，共端点的等线段是旋转变换的一个重要基本元素，存在共端点的等线段，我们就可以以此为基础，旋转以其中一条线段为边的三角形，使它旋转到与另一条等线段重合的位置，这样通过旋转三角形，达到旋转目标线段的目的.由已知图形我们可以看到，既包含共端点的等线段中的一条，又包含部分求证需要用到的线段这样的三角形共有两个，它们分别是ABD和DCB.ABD包含的共端点等线段是DA，包含求证中的目标线段是BA和BD，DCB中包含的共端点等线段是DC，求证中的目标线段是BC、BD，因此可以理解为它们所包含的已
9、知信息是一样的，那我们就任选其中一个三角形来进行分析.不妨选取第一个三角形ADB.由已知，线段AD需绕点D顺时针旋转60才能与DC重合，因此将ADB也进行相应的旋转变换，达到DCE的位置.此时，AB旋转到了CE，又由于旋转了60，连接BE，易得等边BDE，故BE=DB，只需证1=90，问题就得解了.证明：将ADB绕点D顺时针旋转60到DCE的位置，连接BE.这时AB=CE，A=3，DB=DE，BDE=60. BDE为等边三角形. BD=BE. ABC=30，ADC=60， A+2=360ABCADC=270.又 A=3 3+2=270. 1=36023=90.在RtBCE中，由勾股定理，得BE
10、2= BC2+CE2. BD2=AB2+BC2.归纳反思：1.从哪个信息考虑到旋转？怎样确定旋转图形？怎样确定旋转中心、旋转方向、旋转角度？.2. 已知条件连接AC可得等边三角形ADC，由于等边三角形三边相等，所以题目中含有三对共端点的等线段：AD与AC、DA与DC、CA与CD. 用我们刚才总结的结论可以发现既包含共端点的等线段中的一条，又包含部分求证需要用到的线段这样的三角形共有三个，它们分别是ACB，DCB和ABD.那么将它们进行适当的旋转，能证明求证的等式吗？有兴趣的同学可以课下进行进一步深入思考.【方法二】旋转线段AB与BC作为两条直角边，它们所夹的角度应该是90，而题目中给出的是30
11、，因此考虑将其中一条线段继续旋转60，以达到目标图形.不妨固定线段AB，旋转线段BC，则需要将线段BC以点B为旋转中心，逆时针旋转60，点C的对应点记为点E.此时易得，只需连接AE，证明线段AE=BD即可.根据例2的结论，在旋转线段BC 60后，连接CE，即可得到等边BCE.再由已知条件易推出ADC也是等边三角形，此时易证BDCEAC了，从而可得BD=AE了.证明：将线段BC绕点B逆时针旋转60到BE的位置，连接AE、CE. BCE为等边三角形. 1=60，CB=CE. ADC=60，AD=DC， ADC为等边三角形. 2=60，CD=CA. 1=2. 1+3=2+3.即 DCB=ACE. D
12、CBACE. BD=AE. ABC=30，CBE=60， ABE=ABC+CBE=90.在RtABE中，由勾股定理，得AE2=AB2+BE2. BD2=AB2+BC2.课堂小结1.梳理了本章知识脉络，能运用旋转和中心对称的性质，解决简单的推理、计算问题.2.从变换的角度出发解决问题.3.怎样应用旋转变换解题.布置作业1.下列图形中，是轴对称图形而不是中心对称图形的是（ ）.（A）等边三角形 （B）矩形（C）平行四边形 （D）菱形2.如图，在ABC中，CAB=70. 在同一平面内，将ABC绕点A旋转到ABC的位置，使得CC/AB，则BAB等于 .3.如图，四边形ABCD中， CAB = C = 90， AB=AD，AEBC，垂足是E，若线段AE=5，则S四边形ABCD= .10 / 10