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1、 课题4: 双曲线与方程第1课：双曲线的标准方程一 学习目标二 知识梳理1.定义：平面内与两定点、的距离的差的绝对值是常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点、叫做双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距注：若定义中“差的绝对值”中的“绝对值”去掉的话,点的轨迹成为双面线的一支。设为双曲线上的任意一点,若点在双曲线右支上,则；若在双曲线的左支上,则；因此得.2.标准方程：焦点在轴上:焦点在轴上:,可以看出,如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上；如果项的系数是正的,那么焦点就在轴上.3.标准方程中的三个量满足4.方程表示的曲线为双曲线,它包含焦点在轴上或在轴上两种情形。若将方程变形为,则当，时
2、,方程为，它表示焦点在轴上的双曲线,此时；当时,方程为,它表示焦点在轴上的双曲线,此时。 因此,在求双曲线的标准方程时,若焦点的位置不确定,则常考虑上述设法.三例题分析题型1 双曲线的定义及应用例1.双曲线上一点到右焦点的距离是5,则下列结论正确的是 （ ）A.到左焦点的距离为8 B.到左焦点的距离为15C.到左焦点的距离不确定 D.这样的点不存在【变式】双曲线上一点到左焦点的距离,求点到右焦点的距离.题型2.求双曲线方程 例2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:（1），经过点；（2）经过点、；（3）与双曲线有相同的焦点，且经过点. 题型3.判断曲线类型例3.（1）已知方程表示焦点在轴上的双
3、曲线,求的取值范围； （2）研究方程表示何种曲线.题型4.焦点三角形例4.双曲线的左、右焦点分别为、,点在双曲线上,且,求的面积.例5.（1）双曲线,过焦点的直线与该双曲线的同一支交于、两点,且，另一焦点为,则的周长为 （ ） A. B. C. D. （2）设与是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且满足,则的面积是 （ ）A.1 B. C.2 D.题型5 双曲线的轨迹例6. 在ABC中，直线AB、AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹.例7.已知圆和圆，动圆同时与圆,及圆相外切,求动圆圆心的轨迹方程.题型6 双曲线的最值问题例8.(1).为双曲线右支上一点，分别是圆和圆上的点，则的最大值为_.(2).
4、设与是双曲线的两个焦点,点为双曲线内一点，点在双曲线的右支上，则的最小值为_.四练习题1设是双曲线上一点，分别是双曲线左、右两个焦点，若，则等于（ ）A1B17C1或17D以上答案均不对2已知双曲线满足,且与椭圆有公共焦点，则双曲线的方程为（ ）ABCD3方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）ABCD或4若椭圆和双曲线的共同焦点为，是两曲线的一个交点，则的值为（ ）AB84C3D215已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为（ ）ABCD6已知是双曲线的右焦点，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为（ ）ABCD第2课：双曲线的几何性质一 学习目标二 知识梳理1
5、.范围、对称性 2.顶点 顶点：，特殊点：. 实轴：长为，叫做半实轴长；虚轴：长为，叫做虚半轴长.3.渐近线 如上图所示，过双曲线的两顶点，作轴的平行线，经过作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线方程是，这两条直线就是双曲线的渐近线.4.离心率:焦点在轴：. 焦点在轴:_.5.焦点到渐近线的距离:到直线的距离为.三 典例分析例1.求双曲线的实半轴长，虚半轴长，焦点坐标，顶点坐标，离心率，渐近线方程.例2. 求与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的方程.方法指导（1）与双曲线有共同渐近线的双曲线方程可设为的形式，的值为正时焦点在轴上，为负时焦点在轴上.例3. 如果双曲线
6、的渐近线方程是，求离心率.例4. 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程.（1）过点，离心率.（2）已知双曲线C： (a0，b0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）ABCD例5双曲线的一个焦点为，过点作双曲线的渐近线的垂线，垂足为，且交轴于，若为的中点，则双曲线的离心率为ABC2D四练习题1.双曲线的顶点坐标是 （ ）A. B.或C. D.或2.双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，那么它的离心率为（ ）A. B. C.2 D.33.过点(2，-2)且与有公共渐近线的双曲线方程是 （ ）A. B.C. D.4若双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（ ）ABCD5
7、已知双曲线的焦点到渐近线的距离为1，则渐近线方程是ABCD6若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2则双曲线C的离心率为（ ）ABCD7已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过左焦点引渐近线的垂线，垂足为，的面积是，则双曲线的方程为（ ）ABCD8在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是_9直线经过双曲线的一个焦点和虚轴的一个端点，则双曲线C的离心率为_10已知双曲线的左右焦点分别为，实轴长为6，渐近线方程为，动点在双曲线左支上，点为圆上一点，则的最小值为_11双曲线：的左、右焦点分别是，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的取值范围为_12设分别为双曲线
8、的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，满足，则该双曲线的渐近线方程为 第3课：直线与双曲线的位置关系一 学习目标：类比直线与椭圆的位置关系的研究，尝试探究直线与双曲线的位置关系，进一步体会用坐标法研究几何问题的思路.二 知识梳理:1. 直线与椭圆的位置关系有哪些？是如何研究的？2. 当直线与椭圆相交时，如何求弦长？3. 涉及弦的中点问题，如何解决？三 典例分析例1.试讨论直线与双曲线的位置关系？【变式】1.若双曲线与直线无交点，求离心率的范围.2.若双曲线与直线相交于不同的两点，求离心率的范围.例2.过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，求.例3.已知双曲线的中心在原点，且一
9、个焦点为，直线与其相交于两点，中点的横坐标为，则此双曲线的方程为A B. C. D. 四练习题1已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）ABCD2已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（ ）ABC6D3已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为( )ABCD4分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于两点若为等边三角形，则的面积为（ ）A8BCD165已知双曲线的离心率为，过右焦点F的直线与两条渐近线分别交于A，B，且，则直线AB的斜率为（ ）A或B或C2D6斜率为2的直线 过双曲线 的右焦点，且与双曲线的左
10、右两支都相交，则双曲线的离心率的取值范围是（）ABCD7.已知双曲线：及直线：（1）若与有两个不同的交点，求实数的取值范围；（2）若与交于两点，是坐标原点，且的面积为，求实数值.8已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点，（1）求双曲线的方程，并写出其离心率与渐近线方程；（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的取值.第4课：双曲线的离心率计算一. 学习目标： 能够在常见情境下计算双曲线的离心率，初步尝试在复杂情境下计算离心率.二. 知识梳理：回顾椭圆离心率的计算方法，归纳总结双曲线的离心率计算方法.三：典例分析：例1. 已知双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，求其离心
11、率.【变式】1. 双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为_ 2. 设双曲线的焦点在轴上，两条渐近线为，则该双曲线的离心率（ ）A B C D例2已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点若，则C的离心率为_【变式】1.设双曲线的一条准线与两条渐近线交于A、B两点，相应的焦点为F，若以AB为直径的圆恰过点F，则双曲线的离心率为_（）. 2.设是双曲线（）的左，右焦点，是坐标原点过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为AB2CD 例3已知点分别为双曲线的左右焦点，直线是其中一条渐近线，若双曲线右支上存在一点，点在上的射影为，使得成立，求
12、双曲线离心率的取值范围.四练习题1已知双曲线的焦点到它的渐近线的距离为，点是双曲线上的一点，则双曲线的离心率为（ ）ABCD2双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30的直线，与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段，则该双曲线的离心率是（ ）ABCD3在直角坐标系中，设为双曲线：的右焦点，为双曲线的右支上一点，且为正三角形，则双曲线的离心率为ABCD4已知双曲线的左、右焦点为、，在双曲线上存在点P满足,则此双曲线的离心率e的取值范围是（ ）ABCD5斜率为2的直线l过双曲线的右焦点，且与双曲线的左右两支分别相交，则双曲线的离心率e的取值范围是ABCD6设为双曲线的
13、右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线的左.右支交于点，若，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD7设点分别是双曲线的右顶点、右焦点,直线交该双曲线的一条渐近线于点,若是等腰三角形,则此双曲线的离心率为（ ）ABCD8已知双曲线的两条渐近线分别为直线，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，且，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD9已知双曲线的两条渐近线分别为直线，经过右焦点且垂直于的直线分别交，于两点，若，成等差数列，且，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD10已知分别是双曲线的左、右焦点，过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点，若点在以线段为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ）ABCD11已知双曲线的左、右点分别为，过的直线与C的两条渐近线分别交于两点，若，则C的离心率为_.12过双曲线的焦点且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于两点，若，则双曲线的离心率为_13已知双曲线：，过双曲线的右焦点作的渐近线的垂线，垂足为，延长与轴交于点，且，则双曲线的离心率为_学科网（北京）股份有限公司