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1、9.3 专题九、双曲线及其性质知识梳理基础篇考点一双曲线的定义及标准方程1.定义把平面内与两个定点 F1,F2的距离之差的绝对值等于常数2 a(02 a0,b0);焦点在 y 轴上:-=1(a0,b0).3.焦点三角形问题1)P 为双曲线上的点,F1,F2为双曲线的两个焦点,且 F1PF2=,则=c|yP|.2)过焦点 F1的直线与双曲线的一支交于 A、B 两点,则 A、B 与另一个焦点F2构成的 ABF2的周长为4 a+2|AB|.3)若 P 是双曲线右支上一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,则|PF1|min=a+c,|PF2|min=c-a.4)P 是双曲线-=1(a0,b0)右支
2、上不同于实轴端点的任意一点,F1、F2分别为双曲线的左、右焦点,I 为 PF1F2内切圆的圆心,则圆心 I 的横坐标恒为定值 a.考点二双曲线的几何性质焦点在x 轴上 焦点在y 轴上标准方程-=1(a0,b0)-=1(a0,b0)图形范围|x|a|y|a焦点F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c)顶点A1(-a,0)、A2(a,0)A1(0,-a)、A2(0,a)对称性关于x 轴、y 轴对称,关于原点对称实、虚轴长实轴长为2a,虚轴长为2b离心率双曲线的焦距与实轴长的比e=渐近线方程y=x y=x常见结论1.等轴双曲线:中心在原点,以坐标轴为对称轴,实轴长和虚轴长相等的
3、双曲线叫做等轴双曲线.等轴双曲线的离心率 e=,两条渐近线互相垂直.2.共轭双曲线的性质:如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴,那么这两条双曲线互为共轭双曲线.它们有共同的渐近线;它们的四个焦点共圆;它们的离心率的倒数的平方和等于1.3.焦点到渐近线的距离为 b.考点三直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系主要是指公共点问题,相交弦问题及其他综合问题,常用下面的方法解题:联立双曲线 C 的方程-=1(a0,b0)与直线 l 的方程 y=kx+m(m 0),消去y,整理得(b2-a2k2)x2-2 a2mkx-a2m2-a2b2=0.1)当 b2-a2k2=0,即 k=
4、时,直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线平行,直线 l 与双曲线 C 只有一个交点.2)当 b2-a2k20,即 k 时,一元二次方程根的判别式为,当 0 时,直线与双曲线有两个公共点 M(x1,y1),N(x2,y2),则可结合根与系数的关系,利用|MN|=求弦长;若=0,则 l 与 C 相切;若 0,则 l 与 C 相离.综合篇考法一求双曲线的标准方程1.定义法:由已知条件,若所求轨迹满足双曲线的定义,则利用双曲线的定义求出参数 a,b 的值,从而得到所求的轨迹方程,求轨迹方程时,满足条件“|PF1|-|PF2|=2 a(02 a0,b0)渐近线相同的双曲线方程可设为-=(0);2)过两个
5、已知点的双曲线方程可设为 mx2+ny2=1(mn0).例1(2022 辽宁鞍山一中月考,13)与椭圆+=1 有公共焦点,且离心率e=的双曲线方程为.解析由题意得焦点坐标为(0,-5),(0,5).由题意设双曲线方程为-=1(a0,b0),则 得 所以 b2=c2-a2=25-16=9,所以双曲线方程为-=1.答案-=1例2(2022 广东茂名调研三,14)若双曲线经过点(1,),其渐近线方程为 y=2 x,则双曲线的方程是.解析 若双曲线的焦点在 x 轴上,则设-=1(a0,b0),则-=1 且=2,联立解得 a=,b=1,则双曲线的方程为4 x2-y2=1;若双曲线的焦点在 y 轴上,则设
6、-=1(a0,b0),则-=1,且=2,此时无解.综上,双曲线的方程为4 x2-y2=1.答案4 x2-y2=1考法二求双曲线的离心率(或范围)求双曲线离心率的值或取值范围的常用方法1.利用公式 e=求解.2.列出含有 a,b,c 的齐次方程(或不等式),借助 b2=c2-a2消去 b,然后转化为关于 e 的方程(或不等式)求解.3.构造焦点三角形,利用定义转化为焦点三角形三边的关系,如图,e=.例3(2019 课标 理,16,5 分)已知双曲线 C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点.若=,=0,则 C 的离心率为.解
7、析双曲线 C 的渐近线方程为 y=x.=0,F1B F2B,点 B 在 O:x2+y2=c2上,如图所示,不妨设点 B 在第一象限,由得点 B(a,b),=,点 A 为线段 F1B 的中点,A,将其代入 y=-x 得=-.解得 c=2 a,故 e=2.答案29.3 专题九、双曲线及其性质习题精练基础篇考点一双曲线的定义及标准方程1.(2021 湖北十堰月考,3)方程-=1 表示的曲线是双曲线,则 m 的取值范围是()A.-2 m1C.m-2 D.-1 m2答案A2.(2021 河北衡水中学联考二,6)已知双曲线-=1(a0,b0)的焦点 F(c,0)到渐近线的距离为 c,且点(2,)在双曲线上
8、,则双曲线的方程为()A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案D3.(2020 浙江,8,4 分)已知点 O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点 P 满足|P A|-|PB|=2,且 P为函数 y=3 图象上的点,则|OP|=()A.B.C.D.答案D4.(2017 课标 理,5,5 分)已知双曲线 C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y=x,且与椭圆+=1 有公共焦点,则 C 的方程为()A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案B5.(2023 届海南琼海嘉积中学月考,13)双曲线 x2-my2=1 的渐近线方程为 y=2 x,则 m=.答案考点二双曲线的几
9、何性质1.(2021 全国甲文,5,5 分)点(3,0)到双曲线-=1 的一条渐近线的距离为()A.B.C.D.答案A2.(2023 届长春六中月考,8)若双曲线 C:-=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=2 x B.y=xC.y=x D.y=x答案A3.(2019 课标 理,10,5 分)双曲线 C:-=1 的右焦点为 F,点 P 在 C 的一条渐近线上,O 为坐标原点.若|PO|=|PF|,则 PFO 的面积为()A.B.C.2 D.3答案A4.(2020 课标,文9,理8,5 分)设 O 为坐标原点,直线 x=a 与双曲线 C:-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交
10、于 D,E 两点.若 ODE 的面积为8,则 C 的焦距的最小值为()A.4 B.8 C.16 D.32答案B5.(多选)(2023 届河北邯郸摸底,10)已知双曲线 C:-=1(a0)的左、右焦点分别为 F1,F2,离心率为2,P 为 C 上一点,则()A.双曲线 C 的实轴长为2B.双曲线 C 的一条渐近线方程为 y=xC.|PF1|-|PF2|=2D.双曲线 C 的焦距为4答案ABD6.(多选)(2023 届重庆八中入学考,11)定义:以双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.以下关于共轭双曲线的结论正确的是()A.与-=1(a0,b0)共轭的双曲线是-=1(a0
11、,b0)B.互为共轭的双曲线的渐近线不相同C.互为共轭的双曲线的离心率为 e1、e2,则 e1e22D.互为共轭的双曲线的4 个焦点在同一圆上答案CD7.(多选)(2021 广东揭阳4 月联考,9)已知一组直线 x 2 y=0,则以该组直线为渐近线的双曲线的方程可能是()A.x2-4 y2=1 B.4 y2-x2=1C.x2-=1 D.-y2=1答案ABD8.(2022 河北邯郸一中开学考,8)已知双曲线-=1(a0,b0)的离心率为,O 为坐标原点,右焦点为 F,过点 F 作一条渐近线的垂线,垂足为 P,若 OPF 的周长为12,则双曲线的实轴长为()A.8 B.4 C.2 D.2答案A9.
12、(多选)(2020 新高考,9,5 分)已知曲线 C:mx2+ny2=1.()A.若 m n0,则 C 是椭圆,其焦点在 y 轴上B.若 m=n0,则 C 是圆,其半径为C.若 mn0,则 C 是两条直线答案ACD10.(2023 届安徽十校联考,14)已知双曲线 E:-=1(a0)的渐近线方程为y=x,则双曲线 E 的焦距等于.答案411.(2021 新高考,13,5 分)已知双曲线 C:-=1(a0,b0),离心率 e=2,则双曲线 C 的渐近线方程为.答案 y=x12.(2021 全国乙理,13,5 分)已知双曲线 C:-y2=1(m0)的一条渐近线为 x+my=0,则 C 的焦距为.答
13、案413.(2020 北京,12,5 分)已知双曲线 C:-=1,则 C 的右焦点的坐标为;C 的焦点到其渐近线的距离是.答案(3,0)14.(2021 全国乙文,14,5 分)双曲线-=1 的右焦点到直线 x+2 y-8=0 的距离为.答案15.(2022 北京,12,5 分)已知双曲线 y2+=1 的渐近线方程为 y=x,则 m=.答案-3考点三直线与双曲线的位置关系1.(2022 河北沧州一中月考,8)已知 F1,F2分别是双曲线 C:-y2=1 的左,右焦点,点 M 在直线 x-y+3=0 上,则|MF1|+|MF2|的最小值为()A.2 B.6 C.D.5答案C2.(2021 湘豫名
14、校4 月联考,10)已知双曲线 C:-=1 的右焦点为 F,过原点O 的直线与双曲线 C 交于 A,B 两点,且 AFB=60,则 OBF 的面积为()A.B.C.D.答案D3.(多选)(2023 届湖北摸底联考,12)已知双曲线 C:-=1(a0,b0)的右焦点为 F,左、右顶点分别为 A1,A2,则()A.过点 A2与 C 只有一个公共点的直线有2 条B.若 C 的离心率为,则点 F 关于 C 的渐近线的对称点在 C 上C.过 F 的直线与 C 的右支交于 M,N 两点,则线段 MN 的长度有最小值D.若 C 为等轴双曲线,点 P 是 C 上异于顶点的一点,且|A1A2|=|P A2|,则
15、 P A1A2=答案BCD4.(2023 届浙江嘉兴一中期中,21)已知双曲线-=1(a0,b0),O 为坐标原点,离心率 e=2,点 M(,)在双曲线上.(1)求双曲线的方程;(2)如图,若直线 l 与双曲线的左、右两支分别交于点 Q,P,且=0,求|OP|2+|OQ|2的最小值.解析(1)由离心率 e=2,点 M(,)在双曲线上,可得=2,-=1,结合 a2+b2=c2,解得 a=2,b=2,c=4,则双曲线的方程为-=1.(2)由=0,可得 OP OQ,设 OP 的方程为 y=kx,则 OQ 的方程为 y=-x,由 解得 x2=,y2=,则|OP|2=,将 k 换为-,可得|OQ|2=,
16、k23,所以|OP|2+|OQ|2=,令1+k2=t,则 k2=t-1,所以|OP|2+|OQ|2=,当 t=2,即 k2=1 时,|OP|2+|OQ|2取得最小值24.5.(2021 新高考,21,12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 F1(-,0),F2(,0),点 M 满足|MF1|-|MF2|=2.记 M 的轨迹为 C.(1)求 C 的方程;(2)设点 T 在直线 x=上,过 T 的两条直线分别交 C 于 A,B 两点和 P,Q 两点,且|T A|TB|=|TP|TQ|,求直线 AB 的斜率与直线 PQ 的斜率之和.解析(1)由题意知|F1F2|=2,因为|MF1|-|MF2
17、|=20,b0,x a),则2 a=2,2 c=2,解得 a=1,c=,则 b2=c2-a2=()2-12=16,所以 M 的轨迹 C 的方程为 x2-=1(x 1).(2)如图,设 T,直线 AB 的方程为 y-m=k1,由得(16-)x2+(-2 k1m)x-+k1m-m2-16=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=,x1x2=,则|T A|=,|TB|=,所以|T A|TB|=(1+)=.设直线 PQ 的方程为 y-m=k2,同理得|TP|TQ|=,因为|T A|TB|=|TP|TQ|,所以=,所以=,即=,由题意知 k1 k2,所以 k1+k2=0,即直线 AB
18、 的斜率与直线 PQ 的斜率之和为0.6.(2022 新高考,21,12 分)已知点 A(2,1)在双曲线 C:-=1(a1)上,直线 l 交 C 于 P,Q 两点,直线 AP,AQ 的斜率之和为0.(1)求 l 的斜率;(2)若tan P AQ=2,求 P AQ 的面积.解析(1)点 A 在双曲线上,-=1,解得 a2=2.C 的方程为-y2=1.设直线 l:y=kx+m.联立,消去 y 得(1-2 k2)x2-4 kmx-2(m2+1)=0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 x1+x2=,x1x2=-,kP A=,kQA=,由 kP A+kQA=0,得+=0,化简得2 kx1x2
19、+(m-2 k-1)(x1+x2)-4(m-1)=0,即2 k+(m-2 k-1)-4(m-1)=0,化简得(2 k+m-1)(k+1)=0,2 k+m-1=0 或 k+1=0.若2 k+m-1=0,则 l:y=k(x-2)+1,这时直线 l 过点 A,不合题意,k+1=0,k=-1.(2)由(1)知 k=-1,从而 l:y=-x+m,不妨设直线 P A 的倾斜角为,直线 QA 的倾斜角为,则 P AQ=-,tan(-)=2,即=2,由题意知 kQA=-kP A,解得 kP A=-或 kP A=(舍去).直线 P A 的方程为 y=-(x-2)+1,联立 得 x1=,同理,x2=,|P A|=
20、|x1-2|=,|QA|=|x2-2|=,由tan P AQ=2 得sin P AQ=,S P AQ=|P A|QA|sin P AQ=.7.(2022 新高考,21,12 分)已知双曲线 C:-=1(a0,b0)的右焦点为F(2,0),渐近线方程为 y=x.(1)求 C 的方程;(2)过 F 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A,B 两点,点 P(x1,y1),Q(x2,y2)在 C上,且 x1 x20,y10.过 P 且斜率为-的直线与过 Q 且斜率为 的直线交于点 M.从下面 中选取两个作为条件,证明另外一个成立.M 在 AB 上;PQ AB;|MA|=|MB|.注:若选择不同的组合分
21、别解答,则按第一个解答计分.解析(1)由题意知解得 C 的方程为 x2-=1.(2)易知直线 PQ 的斜率存在,设其方程为 y=kx+b(k),由 消y 得(3-k2)x2-2 kbx-b2-3=0,由 0,得 b2+3-k20,由根与系数的关系得 x1+x2=,x1x2=,x1-x2=,设点 M 的坐标为(x0,y0),则直线 PM、QM 的方程分别为 y-y0=-(x-x0),y-y0=(x-x0),故(*)-(*)得 y1-y2=-(x1+x2-2 x0),即 k(x1-x2)=-(x1+x2-2 x0),解得 x0=,又(*)+(*)得 y1+y2-2 y0=(x2-x1),而 y1+
22、y2=k(x1+x2)+2 b,k(x1+x2)+2 b-2 y0=(x2-x1),解得 y0=x0.故点 M 的轨迹方程为 y=x,其中 k 为直线 PQ 的斜率.若选择 作为条件,作为结论,设直线 AB 的方程为 y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨设点 A 在渐近线 y=x上,则由 得 A,同理 B,又由 得 M,xM=,yM=,即 M 为 AB 的中点,|MA|=|MB|.若选择 作为条件,作为结论,当直线 AB 的斜率不存在时,点 M 即为 F(2,0),此时 M 不在直线 y=x 上,不符合题意,舍去;当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=m
23、(x-2),m 0,.不妨设点 A 在渐近线 y=x 上,且 A(xA,yA),B(xB,yB).由 得 A,同理 B,此时 xM=,yM=,点 M 在直线 y=x 上,=,解得 k=m,故 PQ AB.若选择,作为条件,作为结论,设直线 AB 的方程为 y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),不妨设点 A 在渐近线 y=x上,则 解得 xA=,yA=,同理,得 xB=,yB=-,设线段 AB 的中点为 C(xC,yC),则 xC=,yC=,由于|MA|=|MB|,故点 M 在线段 AB 的中垂线上,即点 M 在直线 y-yC=-(x-xC)上,将该直线方程与 y=x 联立,得
24、xM=xC,yM=yC,即点 M 恰为线段AB 的中点,故点 M 在直线 AB 上.综合篇考法一求双曲线的标准方程1.(2022 天津河西期末,4)已知双曲线的一个焦点与抛物线 x2=20 y 的焦点重合,且双曲线上的一点 P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为()A.-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案C2.(2022 海南琼海嘉积三中月考,5)双曲线-=1 的离心率为,且过 A(4,4),则双曲线方程为()A.x2-=1 B.-=1C.-=1 D.-=1答案D3.(2020 天津,7,5 分)设双曲线 C 的方程为-=1(a0,b0),过抛物线 y2=
25、4 x的焦点和点(0,b)的直线为 l.若 C 的一条渐近线与 l 平行,另一条渐近线与 l 垂直,则双曲线 C 的方程为()A.-=1 B.x2-=1C.-y2=1 D.x2-y2=1答案D4.(2022 天津和平模考,4)在平面直角坐标系中,双曲线 C 过点 P(1,1),且其两条渐近线的方程分别为2 x+y=0 和2 x-y=0,则双曲线 C 的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1 或-=1D.-=1答案B5.(2021 湖南永州二模,15)已知 O 为坐标原点,双曲线 C:-=1(a0,b0)的离心率为,从双曲线 C 的右焦点 F 引渐近线的垂线,垂足为 A,若 AFO 的面积为,
26、则双曲线 C 的方程为.答案-=16.(2022 广州二模,13)写出一个同时满足下列性质 的双曲线方程:.中心在原点,焦点在 y 轴上;一条渐近线方程为 y=2 x;焦距大于10.答案-=1(答案不唯一)7.(2023 届湖北起点考试,21)已知双曲线 C 与双曲线-=1 有相同的渐近线,且过点 A(2,-1).(1)求双曲线 C 的标准方程;(2)已知 D(2,0),E,F 是双曲线 C 上不同于 D 的两点,且=0,DG EF于 G,证明:存在定点 H,使得|GH|为定值.解析(1)因为双曲线 C 与双曲线-=1 有相同的渐近线,所以设双曲线C 的方程为 x2-4 y2=(0).因为双曲
27、线 C 过点 A(2,-1),所以(2)2-4(-1)2=,解得=4,所以双曲线 C 的标准方程为-y2=1.(2)证明:(i)当直线 EF 的斜率存在时,设 EF:y=kx+m,E(x1,y1),F(x2,y2),联立 消 y 整理得(4 k2-1)x2+8 kmx+4(m2+1)=0,由=(8 km)2-4(4 m2+4)(4 k2-1)0,得4 k2-m2-10,由根与系数的关系得因为 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,=(x1-2)(x2-2)+y1y2=0,所以(k2+1)x1x2+(km-2)(x1+x2)+m2+4=0,所以(k2+1
28、)+(km-2)+m2+4=0,化简,得3 m2+16 km+20 k2=0,即(3 m+10 k)(m+2 k)=0,所以 m1=-2 k,m2=-k,均满足4 k2-m2-10,当 m=-2 k 时,直线 l 的方程为 y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知矛盾,当 m=-k 时,直线 l 的方程为 y=k,过定点 M.(ii)当直线 EF 的斜率不存在时,由对称性不妨设直线 DE:y=x-2,联立 解得 xE=xF=,此时直线 EF 也过点 M.综上,直线 EF 过定点 M.因为 DG EF,所以点 G 在以 DM 为直径的圆上,H 为该圆圆心,|GH|为该圆半径,所以存在定点
29、H,使得|GH|为定值.考法二求双曲线的离心率(或范围)1.(2022 广州调研,5)双曲线 C:-=1(a0,b0)的一条渐近线方程为 x+2 y=0,则 C 的离心率为()A.B.C.2 D.答案A2.(2019 课标 文,10,5 分)双曲线 C:-=1(a0,b0)的一条渐近线的倾斜角为130,则 C 的离心率为()A.2sin40 B.2cos40 C.D.答案D3.(2021 全国甲理,5,5 分)已知 F1,F2是双曲线 C 的两个焦点,P 为 C 上一点,且 F1PF2=60,|PF1|=3|PF2|,则 C 的离心率为()A.B.C.D.答案A4.(2022 江苏百校大联考,
30、4)图1 所示的为陕西历史博物馆收藏的国宝金筐宝钿团花纹金杯,杯身曲线内收,玲珑娇美,巧夺天工,是唐代金银细作的典范之作.如图2,该杯的主体部分可以近似看作是由双曲线 C:-=1(a0,b0)的右支、y 轴及平行于 x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕 y 轴旋转一周得到的几何体.若该金杯主体部分的上杯口外直径为,下底座外直径为,杯高为6,且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2 倍,则双曲线 C 的离心率为()A.2 B.C.3 D.4答案A5.(2022 江苏海门开学考,7)从某个角度观察篮球(如图1),可以得到一个对称的平面图形,如图2 所示,篮球的外轮廓为圆 O,将篮球表
31、面的线看成坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆 O 的交点将圆 O 的周长八等分,AB=BC=CD,则该双曲线的离心率为()A.B.C.D.答案D6.(2020 江苏,6,5 分)在平面直角坐标系 xOy 中,若双曲线-=1(a0)的一条渐近线方程为 y=x,则该双曲线的离心率是.答案7.(2023 届广东佛山顺德教学质量检测一,15)已知双曲线 C:-=1(a0,b0)的一条渐近线为 l:y=x,左、右焦点分别是 F1,F2,过点 F2作 x 轴的垂线与渐近线 l 交于点 A,若 AF1F2=,则双曲线 C 的离心率为.答案8.(2023 届湖北名校联盟联合测评,14)已知双曲线-=1(a0
32、,b0)的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1作圆 O:x2+y2=a2的切线 l,l 与圆 O 切于点 B,并与双曲线的右支交于点 C,若|BC|=|CF2|,则双曲线的离心率为.答案9.(2023 届广西北海一模,15)如图,已知双曲线 M:-=1(a0,b0)的左,右焦点分别为 F1,F2,正六边形 ABF2CDF1的一边 AF1的中点恰好在双曲线 M上,则双曲线 M 的离心率是.答案10.(2022 浙江,16,4 分)已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为 F,过 F 且斜率为 的直线交双曲线于点 A(x1,y1),交双曲线的渐近线于点 B(x2,y2)且 x10 x2.若|FB
33、|=3|F A|,则双曲线的离心率是.答案11.(2020 课标 理,15,5 分)已知 F 为双曲线 C:-=1(a0,b0)的右焦点,A 为 C 的右顶点,B 为 C 上的点,且 BF 垂直于 x 轴.若 AB 的斜率为3,则 C 的离心率为.答案212.(2022 长沙雅礼中学月考一,15)已知 F 为双曲线-=1(a0,b0)的右焦点,过 F 作与 x 轴垂直的直线交双曲线于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆过坐标原点,则该双曲线的离心率为.答案13.(2021 广州一模,15)已知圆(x-1)2+y2=4 与双曲线 C:-=1(a0,b0)的两条渐近线相交于四个点,按顺时针排列依次记为 M,N,P,Q,且|MN|=2|PQ|,则 C 的离心率为.答案14.(2021 东北三省三校第一次联考,15)双曲线 C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1、F2,过 F1的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P、Q两点(P 在第二象限,Q 在第一象限),=2,=0,则双曲线 C 的离心率为.答案4