《2022年高考数学二轮复习专题《数列》.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学二轮复习专题《数列》.docx（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20XX 年高考数学二轮复习 数列数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础,所以在高考中占有重要的位置；高考对本章 的考查比较全面,等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏；解答题多为中等以上难度的试题,突出考 查考生的思维才能,解决问题的才能,试题大多有较好的区分度；有关数列的试题常常是综合题,常常把 数列学问和指数函数、对数函数和不等式的学问综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数 学归纳法综合在一起；探干脆问题也是高考的热点,常在数列解答题中显现；本章中仍包蕴着丰富的数学 思想,在主观题中着重考查函数与方
2、程、转化与化归、分类争论等重要思想,以及配方法、换元法、待定 系数法等基本数学方法；应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化,常需构造数列模型,将现实问题 转化为数学问题来解决；一、教学要求本专题的教学要求有以下几点；1、明白数列的概念和几种简洁的表示方法（列表、图象、通项公式）解数列的通项公式的意义；,明白数列是一种特别函数,理2、懂得等差数列的概念；把握等差数列的通项公式、前 n 项和公式,能运用公式解决一些简洁问题；能在详细的问题情境中发觉数列的等差关系,并能用有关学问解决相应的问题；明白等差数列与一次函数的关系；3、懂得等比数列的概念；把握等比数列的通项公式、前n 项和公式,能运用公式
3、解决一些简洁问题；能在详细的问题情境中发觉数列的等比关系,并能用有关学问解决相应的问题；明白等比数列与指数函数 的关系；探究等差、等比数列的通项公式和前 n 项和公式；4、数列教学,要留意的问题：1 教学中,应使同学明白数列是一种特别函数；2 会依据简洁数列的前几项写出数列的一个通项公式；3 教学中,要把握数列中各量之间的基本关系但训练要掌握难度和复杂程度,防止繁琐的运算、人为技巧化的难题；4 等差数列和等比数列有着广泛的应用,教学中应重视在详细的问题情境中,发觉数列的等差关系 或等比关系；这样做,既突出了问题意识,也有助于同学懂得数列的本质；二、考纲要求江西省 20XX 年高考仍按训练部考试
4、中心颁布的大纲实施,其中有关数列的部分是这样写的：考试内容：数列等差数列及其通项公式等差数列前 n 项和公式等比数列及其通项公式等比数列前 n 项和公式考试要求：1 懂得数列的概念,明白数列通项公式的意义,明白递推公式是给出数列的一种方法,并能依据递 推公式写出数列的前几项2 懂得等差数列的概念,把握等差数列的通项公式与前 3 懂得等比数列的概念,把握等比数列的通项公式与前三、试题特点1、考情统计n 项和公式,并能解决简洁的实际问题；n 项和公式,并能解决简洁的实际问题；20XX 年高考各地的 16 套试卷中,每套试卷均有 1 道数列解答题试题,处于压轴位置的有 6 道；数列解答题属于中档题或
5、难题；其中,涉及等差数列和等比数列的试题有 11 道,有关递推数列的有 8 道,关于不等式证明的有 6 道；另外,等比求和的错位相减法,广东卷的概率和数列的交汇,湖北卷的不等式型的递推数列关系都是高考试题中呈现的亮点；20XX 年高考各地的 18 套试卷中 ,有 18 道数列解答试题；其中与函数综合的有 6 道,涉及数列不等式证明的有 8 道,北京仍命制了新奇的“ 肯定差数列 ”；值得一提的是,其中有 8 道属于递推数列问题,这在高考中是一个重点；名师归纳总结 20XX 年高考各地的各套试卷中都有数列题,有7 套试卷是在压轴题的位置,有9 套是在倒数其次道第 1 页,共 11 页- - - -
6、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的位置,其它的一般在其次、三的位置,几乎每道题涉及到递推数列,有 的综合问题,安徽省仍显现了一道数列应用题；9 道涉及到数列、不等式或函数20XX 年高考各地的各套试卷中都有数列题,也都是几乎每道题涉及到递推数列,数的综合问题；数列、不等式或函综上可知,数列解答题是高考命题的一个每年必考且难度较大的题型,其命题热点是与不等式交汇、出现递推关系的综合性试题；其中,以函数迭代、解析几何中曲线上的点列为命题载体,有着高等数学背 景的数列解答题仍将是将来高考命题的亮点,而以考查同学归纳、猜想、数学试验等才能争论性试题也将
7、成为高考命题的一个新亮点；2、主要特点 数列是高中代数的重要内容之一,也是与高校连接的内容,由于在测试同学规律推理才能和理性思维 水平,以及考查同学创新意识和创新才能等方面有不行替代的作用,所以在历年高考中占有重要位置,近 几年更是有所加强；数列解答题大多以数列为考查平台,综合运用函数、方程、不等式等学问,通过运用递推思想、函数 与方程、归纳与猜想、等价转化、分类整合等各种数学思想方法,考查同学敏捷运用数学学问分析问题和 解决问题的才能,其难度属于中、高档难度；高考对本章的考查比较全面,等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏一般情形下都是一个客观 题和一个综合解答题；数列的综合题难度都很大,甚
8、至很多都是试卷的压轴题,它不仅考查函数与方程、转化与化归、分类争论等重要思想,仍涉及了配方法、换元法、待定系数法、放缩法等基本数学方法其 中的高考热点 探干脆问题也显现在近年高考的数列解答题中；3、考查学问 1 考查数列、等差数列、等比数列等基本学问、基本技能；2 与函数、方程、不等式、解析几何等学问相结合,考查同学在数学学习和争论过程中学问的迁移、组合、融会,进而考查同学的学习潜能和数学素养；3 以应用题或探究题的形式显现,为考生呈现其创新意识和发挥制造才能供应宽阔的空间；四、试题类型下面我以 20XX 年高考试题为例,大致概括一下高考数列试题的常见类型；只谈数列本身,不涉及数 列与向量、三
9、角或解析几何等学问的交汇；类型一：考查等差、等比数列的基本问题等差、等比数列是两类最基本的数列,它们是数列部分的重点,也是高考考查的热点；等差、等比数名师归纳总结 - - - - - - -列的定义、通项公式、前n 项的和等基本学问始终是高考考查的重点,这方面考题的解法敏捷多样,技巧性强,考查的目的在于测试考生敏捷运用学问的才能,这个“ 敏捷 ” 就集中在 “ 转化 ” 的水平上；江西卷 5 在数列 an中,a 1n2,a n1a nln11 nn ln,就an nlnnA 2ln nB 21lnnC 2nD 1解：选 A；a 2a 1ln11 1,a 3a 2ln11, ,a na n1ln
10、1n1 12a na 1ln234nn12lnn123江西卷19 数列 an为等差数列,a 为正整数,其前n 项和为S ,数列 nb为等比数列,且a 13,b 11,数列 b a n是公比为 64 的等比数列,b S 264；1 求an,b ；2 求证1113；S 1S 2S n4解：（1）设 an的公差为 d ,nb的公比为 q ,就 d 为正整数,a n3n1 d ,b nqn1,依题意有b ann1qq3nnddqd6426b a3 1S b 26d q64第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载8, 故由 6d q64知 q 为 正 有
11、 理 数 , 故 d 为 6 的 因 子 1,2,3,6 之 一 , 解 得d2,qa n32 n1n 2b 1,n1 8；2S n352n1n n2,11112143151S 1S 2S n1 3n n211111111n12111n11n123；232435n224nn 21；全国 文 19 在数列a n中,a 11,an12a n2n；1 设b nan1,证明：数列nb是等差数列； 2 求数列a n的前 n 项和S ；2n解：（1）a n122a n2na n,n21na nn211,b n1b n11,就nb 为等差数列,b 11, n bn ,an2 S n10221n1nn 22n
12、22n,2S n11 2222n12n1两式相减,得S nn2n10 21 2n 21n2n2n1；S 20；全国文 18 等差数列a n中,a410且a 3,a 6,a 10成等比数列,求数列a n前 20 项的和解 ： 设 数 列a n的 公 差 为 d, 就a3a 4d10d,a 6a42 d102d,a 10a 46d106d ；0,解由a3,a6,a 10成等比数列得a a 102 a ,即10d106 102 2,整理得10d210d得d0或d1；于是当d0时,S 202 042 0 0 当d1时,a 1a43d103 17,S 2020a 120219d207 190330；类型
13、二：考查递推数列的通项公式问题对于由递推式所确定的数列的通项公式问题,通常可对递推式进行变形,从而转化为等差、等比数列问题来解决,这类问题始终是高考久考不衰的题型；名师归纳总结 - - - - - - -天津卷 20 在数列 a n中,a 11,a22,且an11q a nqan1（n2,q0）第 2问：求数列 a n的通项公式；解：由（）得an1a nq ana n1,是首项为 1,公比为 q 的等比数列；a 2a 11, 3 aa2q , anan1qn2n2；将以上各式相加,得ana 11qqn2n2所以当n2时,a n111qn1,q1,qn,q1.上式对n1明显成立四川卷 20 设数
14、列a n的前 n 项和为S ,已知ba nn 2b1S ；第 2问：求na的通项公式；解：当b2时,由（） 知,annn 21n 21,即a n n1 2n1；当b2时,由：anban12n1,两边同时除以2 n 得a nba n11；n 2n 2 212可设a nban1a nb12ba n1b12,anb1 2是等比数列,公比为b ,首 22n22n12n2n 212n项为1b12b1；b2第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - anb12b1 2 2n12an学习必备1欢迎下载b11b n 2n2b12,2nb2nb 2n1 ba n2nb1b 2n1b
15、12 b；b2b2类型三：考查数列与不等式的综合问题数列与不等式都是高中数学重要内容,一些常见的解题技巧和思想方法在数列与不等式的综合问题中都得到了比较充分的表达以两者的交汇处为主干,构筑成学问网络型代数推理题,在高考中显现的频率相当高,占据着令人瞩目的位置；名师归纳总结 陕西卷 22 已知数列 a n的首项a 13,an123a n1,n1 2, 112 3,11,5an1 求 a n的通项公式；2 证明：对任意的x0,an11x1122x,n1 2, ；x3n3 证明：a 1a 2a nn21；n解：（1）a n123 an1,1121n,111111,又1 a na na n3a na
16、nan33 a是以2 3为首项,1 3为公比的等比数列112112,a n33n2an3 3nn 3n2 由（ 1）知ann 320,n 311x1122x11x112211xxn 3x 3n2x11x11211x 111212xx a na nx 111xa n2a na n；a n3 由（ 2）知,对任意的x0,有a 1a 2a n11x1122x11x1122x11x1122 3n 3x 3x x 1nx112222nxx332n 3取x1222211111,就3n 3n332n 311n3naa2ann3a 1a 2a n11n1n2 n12 n1n11n 3n 3n浙江卷 22 已知
17、数列an,an0,a 10,a n2a n11a n2nN*,记S n1第 4 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载a ；1得；T n111a11a21a1 111an；求证：a1 1a21 anan1；2 Snn2；3 Tn3；解： 1证明：用数学归纳法证明当n1时,由于a 是方程x2x10的正根,所以a 1 假 设 当nk kN*时 ,a kak1, 因 为ak2 1a2 kak22ak21a k12ak1a k2a k1ak2a k11,所以ak1a k2即当nk1时,anan1也成立；依据和,可知ana n1对任何
18、nN*都成立；2证明：由a k12ak11ak2,k1 2, ,n1（n2） ,2 a na 2a3a nn12 a 由于a 10,所以S nn12 a 由a nan1及a n11a22a n21得an1,所以S nn2n13证明：由ak2a k11a k22a k,得11k1a k1k2 3, ,n1,n3,所以1a2a k1a3111ann 2a na 2a3,于是a 421a2111an2n2a na 2an2212n3a3a2 22nn故当n3时,T n1 11123,又由于T 1T 2T ,所以T n3；2n 2类型四：考查存在性和探干脆问题这类题突出了对同学的探究、发觉和制造才能的
19、考查,有的试题对此考查全面且达到了肯定的深度,表达了争论性学习思想；江苏卷19 1 设a a2,a 是各项均不为零的等差数列（n4）,且公差d0,如将此数列删去某一项得到的数列按原先的次序是等比数列；当n = 4 时,求1a的数值；求n 的全部可能值；d2 求证：对于一个给定的正整数n n 4,存在一个各项及公差都不为零的等差数列b b 2,b ,其中任意三项 按原先次序 都不能组成等比数列；解： 1 当 n=4 时, a a2,a a 中不行能删去首项或末项,否就等差数列中连续三项成等比数列,就推名师归纳总结 - - - - - - -出 d=0；如删去a ,就a 32da a4a 1,即a
20、 12 2a a13 0化简得a 14d0,得a 14; 如删去3a ,d2a 13 d 化简得a 1d,得a 1d就a22a 1a ,即a 11 . 综上,得a 14或a 11；dd当n=5 时, a a2,a a4,a 中同样不行能删去a a a4,a ,否就显现连续三项；如删去a ,就a 1a 5a2a ,即a a 14 a1d a13 化简得3 d20,由于d0,所以a 不能删去； 当 n6时,不存在这样的等差数列；事实上,在数列a a2,a 3,an2,a n1,a中,由于不能删去首项或末项,如删去a ,就必有a 1a na3a n2,这与d0冲突；同样如删去an1也有a 1ana
21、3an2,这与d0 冲突；如删去a 3,a n2中任意一个,就必有a 1ana2an1,这与d0冲突； 或者说：当n6时,无论删去第 5 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载哪一项,剩余的项中必有连续的三项 . 综上所述,n 4；2 假 设 对 于 某 个 正 整 数 n , 存 在 一 个 公 差 为 d 的 n 项 等 差 数 列 b 1 , b 2 ,. b n, 其 中b x 1 , b y 1 , b z 1 0 x y z n 1 为 任 意 三 项 成 等 比 数 列 , 就 b 2y 1 b x 1 b , 即2 2 2 b 1
22、y d 1 b x d 1 b,化简得 z d y xz d x z 2 y b d（*）由 b d 0 知,y 2xz与 x z 2 y 同时为 0 或同时不为 0；当 y 2xz 与 x z 2 y 同时为 0 时,有2x y z 与题设冲突；故 y 2xz与 x z 2 y 同时不为 0,所以由（* ）得 b 1 y xz,由于d x z 2 y0 x y z n 1,且 x、y、z 为整数,所以上式右边为有理数,从而 1b 为有理数；于是,对于任意的d正整数 n n 4,只要 1b 为无理数,相应的数列就是满意题意要求的数列；例如 n 项数列 1, 1 2 ,d1 2 2, , 1 n
23、 1 2 满意要求；湖北卷 21 已知数列 a n 和 b n 满意：1a , a n 1 2 a n n 4, b n 1 n a n 3 n 21, 其中3为实数, n 为正整数；2 试判定数列 b n 是否为等比数列,并证明你的结论；3 设 0 a b, S 为数列 nb 的前 n 项和 .是否存在实数,使得对任意正整数 n ,都有 a S n b .如存在,求 的取值范畴；如不存在,说明理由；解： 2解：由于 bn+1=-1 n+1an+1-3n-1+21=-1 n+1 2an-2n+14= 2-1 n （an-3n+21）= 2bn,又3 3 3b1x-+18, 所以当 18 时,
24、bn=0 n N+,此时 bn不是等比数列；当 18 时, b1=+18 0,由上可知 bn 0,所以 b n 1 2nN+；b n 3故当 18 时,数列 bn是以 18为首项,2 为公比的等比数列；33 由2知,当 18,bn=0,Sn=0,不满意题目要求； 18,故知 bn= -+18 2 n-1,于3是可得 Sn=-3 18 1（2）n. 要使 aSnb 对任意正整数 n 成立,即 a-3+18 1 2 n5 3 5 3b nN+ 1a2n3 5181b2n5bfn,1 fn的最大值为33令f n 12,当n 为正奇数时,1fn5;当n为正偶数时,339f1=5,fn的最小值为f2=
25、5,于是,由式得5a-3+18,3b183 a18.39955当 a3a 存在实数 ,使得对任意正整数n,都有 aSnb,且 的取值范畴是 b-18,-3a-18；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载五、复习建议在二轮复习中, 如何做到有针对性,高效率, 是每个老师都应仔细摸索的问题；就数列这一部分而言,我个人有以下几点想法或体会；1、基础题要确保,难题要有所为有所不为基础题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和等内容,对基本的运算技能要求不是很高,建议要强化方程思想在解题中的作用
26、基本量 ,知道前n 项和与通项的关系；对中等及偏下的同学不必介绍过多解题技巧,对基础较好的同学,可适当介绍；S 40例 5.1.1 设数列 an是各项均为实数的等比数列,S 为其前 n 项和,如S 1010,S3 070,就 A. 150 q1B. 200C. 150 或 200q 1；于是D. 400 或500方法一：当时,明显不合题意,故a 1110 q10110 q20 q710 q210 q301qa 11q 30701q解得：10 q2,1a 1q10；所以,S 40a 11q40150,选 A. 1q方法二：设S 20x S 40y ,易知S 10,S 20S 10,S 30S 2
27、0,S 40S 30成等比数列,所以x2 101070x 70x30或x20y150y20070x 2x10y所以选 C. 两种算法得到不同的结果；那么问题显现在哪里？运用解法二应留意什么？象这些基础性的,在复习时肯定要同学弄清晰,不行一知半解；对试卷中放在最终的压轴数列题,重点应放在前一问,基础较好的应冲刺最终一问,不能刻意求全,能做到分步得分就行；同时不能舍弃数列常规题的复习教学,这仍是一个重点,这是一项“ 根深叶茂 ” 的基础工程,至关重要；2、关于递推数列问题递推数列求通项的确不属于考试大纲的要求,大纲中的规定是 “ 明白递推公式是给出数列的一种方法,并能依据递推公式写出数列的前几项”
28、；但是递推公式只是向同学出现了一种生疏情境,让同学转换化归为已知数列来解决,也就是让同学运用已有的数列学问去解决新的数列问题,即“ 才能立意”,递推关系只是才能立意的载体,真正考查的是转换与化归等数学思想方法；从近几年的高考来看,递推之风盛行；不过,江西这边情形稍有不同；最近几年的数列题如下：名师归纳总结 20XX 年江西卷第 21题 已知正项数列na中a01,an11an4an,nN.nN）；2（）求证anan12；（）求通项a n.20XX 年江西卷第 22题 已知数列 an满意：a 13,且a n2a3 nan1（1n2,n2n1n1 求数列 an的通项公式； 2 证明：对于一切正整数n
29、 ,不等式a a2a n2 . n ；N*, 有20XX年 江 西 卷 第 22 题 设 正 整 数 数 列 an满 足 ：a24, 且 对 于 任 何第 7 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载12 1a n a n 12 1a n 1 1 1 a nn n 1（ 1）求 a a ；（2）求数列 a n 的通项 a ；20XX 年江西卷第 19题 数列 a n 为等差数列,a 为正整数,其前 n 项和为 S ,数列 b n 为等比数列,且 a 1 3, b 1 1,数列 ab n 是公比为 64 的等比数列,b S 2
30、 64；1 求 a n , b ；1 1 1 32 求证；S 1 S 2 S n 4前三年均为递推数列,但 08 年风平浪静, 09 年仍会风起云涌么？我觉得,对于 09 年的高考数列题我们不必去“ 猜测”,不管形式如何变化,对于递推数列仍是要仔细复习；但生源好的学校可以适当加强,生源一般的学校无须舍本求末得不偿失；高考以才能立意,这里的才能是指：思维才能,对现实生活的观看分析力,制造性的想像才能,探究性试验动手才能,懂得运用实际问题的才能,分析和解决问题的探究创新才能,处理、运用信息的才能,新材料、新情形、新问题应变懂得才能；其重点是概念观点形成和规律的熟悉过程,它往往隐藏在最简洁、最基础的
31、题目之中；假如知识的娴熟程度达不到,一味钻研综合题、难题,反而会影响才能的提高；所以无论一轮复习仍是二轮复习都应当将重点放在基础学问、基本技能的训练上,对于同学提出的一些基础性的问题要仔细对待；例 5.2.1 已知f x 21,数列 a n满意1a 12,an1f a n,证明：1an1an2；x有个同学这样考虑： 对于函数f x 21 1x2,就f/ 10,这说明它在区间1,2 上x2x是递增的,但要证明的数列却是单调递减的,不是说数列是定义在正整数集上的函数么？很是困惑；对于数列的单调性与函数的单调性的关系问题,必需要提示同学留意；其一,由于数列在任何一点处都不行导,因此争论其单调性不能直
32、接对a nf n 求导；其二,数列的单调性与对应函数的单调性的关系如何,要看给出的关系式是通项公式仍是递推式；假如给出的是通项公式a nf n ,就函数f x 在 1, 上单调递增 减 数列a 单调递增 减；假如给出的是递推式:a n1f an,就有a 2n和a2 n1都是函数f x 单调递增且a 1a a 1a 数列a 单调递增 减；函数f x 单调递减且a 1a 2数列a 是一个摇摆数列,不具有单调性,但单调数列,且单调性相反；我刚才说到,递推数列的复习不行小视；但如何抓住重点,把握难点？谈点个人看法；由于该内容在考试大纲中没有一个明确的说法,所以详细教学时难以把握教学要求,难以掌握难度,造成这项内容极易膨胀；有的老师受一些参考资料的影响,对同学进行递推数列的系统教学,讲解由递推关系求通项的各种类型各种方法,包括一阶的,二阶的,整式的、分式的,甚至特点方程也讲