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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载高中数学一轮复习（十三）二项式定理1二项式定理：abn0 C an1 C an1 br C anrbrn C bnnN,2基本概念：二项式绽开式：右边的多项式叫做abn的二项绽开式；T r1r C an rr b 表示；二项式系数 : 绽开式中各项的系数Crr0,1,2, n . n项数：共 r1项,是关于 a 与 b 的齐次多项式通项：绽开式中的第r1项r C anrr b 叫做二项式绽开式的通项；用3留意关键点：项数：绽开式中总共有n1项；abn与 ba n是不同的；次序：留意正确挑选a , b, 其次序不能更换；指数
2、： a 的指数从 n 逐项减到 0 ,是降幂排列； b 的指数从 0 逐项减到 n,是升幂排列；各项的次数和等于 n. 系数：留意正确区分二项式系数与项的系数,二项式系数依次是C0,C1,C2,Cr,Cn.项的系nnnnn数是 a与 b 的系数（包括二项式系数） ；4常用的结论：令a1, bx,1xnC0 n1 C x2 C x2r C xrn C xnnNN令a1, bx ,1xnC0 n1 C x2 C x2r C xrn 1n C xnn5性质：二项式系数的对称性 ：与首末两端“ 对距离” 的两个二项式系数相等, 即C0n C , CkCk1nnn二项式系数和 ：令ab1, 就二项式系数
3、的和为C0C1C2CrCn2n,nnnnn变形式C1C2CrCnn 21；nnnn奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和：在二项式定理中,令 n 0 n 0 1 n a 1 1, b 2 n 1 2,就 2 C n 0C n n 10 n C n 2C n 31 1 2 nC n n1 1 n n0, ax 从而得到：a x C a xC a x 0 C n 0n C C aC ax 21 C x1 n 4C a x C a2 C 2 2 rn x2 C n 1C a x C a xn C 3n 0 aa x 0C n 2n r a x1 a xa x 12 2 2 a x n1 a x
4、2 na 10奇数项的系数和与偶数项的系数和 令 就 a：1 n 令 x 1, 就 a 0 a 1 a 2 a 3 a n a 1 n 二项式系数的最大项 ：假如二项式的幂指数 得 a 1 n a 1 n n 是偶数时, 就中间一项的二项式系数 C 取得最大 n2n n n 1 n 1值；假如二项式的幂指数 a n 是奇数时,就中间两项的二项式系数 a 1 a 1 C n 2 , C n 2 同时取得最大值；2系数的最大项 ：求 a bx n 绽开式中最大的项,一般采纳待定系数法；设绽开式中各项系数分A r 1 A r别为 A 1 , A 2 , , A n 1,设第 r 1 项系数最大,应有
5、,从而解出 r 来；A r 1 A r 2名师归纳总结 第 1 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载题型一：求二项绽开式 1 “ a b n” 型的绽开式例 1求 3 x 1 4的绽开式；x解：原式 = 3 x 1 4 = 3 x2 1 4 = 12x x xC03x 4C13x3C23x 2C33xC444444=181x484x3454x212xx1 =81x284x12154x2xx2 2 “abn” 型的绽开式例 2求3x14的绽开式；11 x改写成34的形式然后根据二项绽开式的x分析：解决此题,只需要把3xx
6、格式绽开即可； 3 二项式绽开式的“ 逆用”1 2 3例 3运算 10 3 C n1 9 C1 n 272 C n解：原式 = C n C n 3 C n 3 题型二：求二项绽开式的特定项2.1n3nn c n；.C33 n 13 n2 nC33 3nn 1. 求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数例 4x219绽开式中9 x 的系数是1r1r=Cr1r18 x3x212x解：Tr1x29r1r=Crx182rCr92x92x92313 9令183x9 ,就r3,从而可以得到9 x 的系数为：C22（2）求两个二项式乘积的绽开式指定幂的系数名师归纳总结 例 5（x21 x2
7、7的绽开式中,3 x 项的系数是；C33 x1 3,即20解：在绽开式中,3 x 的来源有： 第一个因式中取出2 x ,就其次个因式必出6 x ,其系数为 C 7 3 x ,其系数为 C填1008；42 6；2 4 第一个因式中取出1,就其次个因式中必出73 6 6 4 4x 的系数应为：C 7 2 C 7 2 1008 ,（3）求可化为二项式的三项绽开式中指定幂的系数例 6x12 3的绽开式中,常数项是；x解：x123xx123xx1 6,上述式子绽开后常数项只有一项6x3x3第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎
8、下载2. 求中间项例 7求（xa3110的绽开式的中间项；C5 10ax52115即：5x解：Tr1Crx10r31r,绽开式的中间项为252 x ；10x3x当 n 为奇数时 ,bn的绽开式的中间项是Cn21an1bn1和Cn1n1n；bn22n22bn的绽开式的中间项是Cnanbn；当 n 为偶数时 ,a222 n3. 求有理项例 8求x13110的绽开式中有理项共有多少项？4 项；x解：T rCrr10 r31rr C 101 r10 x4r310x当r03, ,69,时,所对应的项是有理项；故绽开式中有理项有 当一个代数式各个字母的指数都是整数时,那么这个代数式是有理式； 当一个代数式
9、中各个字母的指数不都是整数（或说是不行约分数）时,那么这个代 数式是无理式；4. 求系数最大或最小项（1）特别的系数最大或最小问题例 9在二项式x1 11的绽开式中,系数最小的项的系数是；r5,从而可知最小解：r 11 r rT r 1 C 11 x 1 要使项的系数最小,就r 必为奇数,且使 Cr 11为最大,由此得项的系数为 C 11 5 1 5462（2）一般的系数最大或最小问题例 10求x21x8绽开式中系数最大的项；4解：记第 r 项系数为T ,设第 k 项系数最大,就有名师归纳总结 即T kT k1又T rCr12.r1,那么有k C 8C1 . 2k11k C 8C22.k2第
10、3 页,共 8 页T kT k18k12.kk 82.k8 k.8.8K.2121 .9K.K2 . 10K1 2K12K.89K.2K.8解得3kK.9KK7；1 . 854,系数最大的项为第和第 4 项T 43 项T 37x27x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载（3）系数肯定值最大的项例 11在（xy7的绽开式中,系数肯定值最大项是a；n型来处理,故此答案为第4 解：求系数肯定最大问题都可以将“abn” 型转化为b项 C 47 x3y4,和第 5 项 C 57 x 2 y 5；题型三：利用“ 赋值法” 及二项式性质3 求部
11、分项系数,二项式系数和例 12如2 x34a0a 1xa 2x2a 33 xa 4x4,就a0a2a422a 13a32的值为；解： 2x3 4a 0a 1xa2x 2a3x3a4x434.a 64=141令x1,有234a 0a 1a2a 3a4,令x1,有23 4a 0a2a4a 1a 3故原式 =a 0a1a2a3a4.a0a2a4a1a3=2例 13如12x2004a0a 1xa2x2.2004x2004,就a0a 1a 0a2.a0a2004；解： 12x2004a0a 1xa2x2.2004x2004,令x1,有122004a0a 1a2.a 20041a2.；令x0,有10200
12、4a 01故原式 =a0a 1a2.a20042003a 0=120032004例 14设2x16a6x6a5x5.a1xa0,就a 0a 1分析：解题过程分两步走；第一步确定所给肯定值符号内的数的符号；其次步是用赋值法求的化简后的代数式的值；解：T r1a2r C 6 .2x 6r1 ra 1a2a3a 4a 5a6=a0a2a 4a6a 1a3a5=0 a 0a 1a 6a0题型四：利用二项式定理求近似值例 15求0 .9986的近似值,使误差小于0 . 001；. 0026分析：由于0. 9986=10.0026,故可以用二项式定理绽开运算；解：0. 9986=10 .0026=16.0
13、 .002115.0.0022.0T 3 C 6 . 0 . 002 15 .0 002 2 2 2且第 3 项以后的肯定值都小于 0 . 0010 . 00006.0001,从第 3 项起,以后的项都可以忽视不计；0.9986= 10.0026160. 002=10 . 0120 . 988题型五：利用二项式定理证明整除问题例 16求证：51511能被 7 整除；. 49502.C2. 49492.27.C50. 49 . 250C512.511N ）51511=4925111 = C（P04951C15151515151=49P+251N）又251123177117 =（7+1）1=0 C
14、 17.17 7C1 1716 . 7C2 1715.16 C 177.17 C 171=7Q（Q51 5117PQ7PQ第 4 页,共 8 页51 5 11能被 7 整除；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载练习题 类型一：利用通项公式求绽开式中某项的系数的问题1、在x27的绽开式中,2 x 的系数是；cos =；x2、3x112绽开式中x3的系数为；x3、已知xcos51的绽开式中2 x 的系数与x54的绽开式中3 x 的系数相等,就44、已知 a 为实数,xa10绽开式中7 x 的系数是 15,就 a = ；5、
15、设常数 a 0,ax214绽开式中3 x 的系数为3 ,就 2nlim （a + a 2 + a n）= x6、如x216的二项绽开式中的x 系数为5 2,就 a（用数字作答） ；ax7、（2x-1）6 绽开式中 x 2 的系数为；（）A 15 B60 C120 D240 8、在 1x n（ nN* ）的二次绽开式中,如只有5 x 的系数最大,就n（）A 8 B9 C10 D11 9、 12x5的绽开式中2 x 项的系数是；（用数字作答）10、已知1kx26（ k 是正整数）的绽开式中,8 x 的系数小于120,就 k = 类型二：利用通项公式讨论关于常数项的问题1、在x4110的绽开式中常数
16、项是；,其中2i1,就绽开式中常数项是（）x2、已知x2ixn的绽开式中第三项与第五项的系数之比为314A 45iB45iC 45 ）D45 第 5 页,共 8 页113、x22x26的绽开式中常数项是；4、如x33n的绽开式中存在常数项,就n 的值可以是（xA 8 B9 C10 D12 5、如x3x1xn的绽开式中常数项为84,就 n= ；6、x21n的绽开式中,常数项为15,就 n（）x名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载）A 3B 4C 5D 67、x19的二项绽开式中常数项是（用数字作答） ；x28、如x1n绽开
17、式的二项式系数之和为64,就绽开式的常数项为（xA 10 B20 C30 D120 9、x216的绽开式中常数项是；（用数字作答）x10、x19绽开式中的常数项是（）xA 36 B 36 C 84 D84 类型三：利用通项公式讨论绽开式中特别项的问题1、x110的绽开式中含x 的正整数指数幂的项数是（）,3xA 0 B2 C4 D6 2、在x3124的绽开式中,x 的幂的指数是整数的项共有（）xA 3 项B4 项C5 项D 6 项3、如2x1n绽开式中含1项的系数与含1项的系数之比为5,就 n 等于（）xx2x4A 4 B6 C8 D10 4、x3x12 的绽开式中,含x 的正整数次幂的项共有
18、（）A 4 项B 3 项C2 项D 1 项5、对于二项式1x3nnN*,四位同学作出了四种判定：存在nN*,绽开式中有常数项；对x任意nN*,绽开式中没有常数项；对任意nN*,绽开式中没有x 的一次项；存在nN*绽开式中有x 的一次项；上述判定中正确选项（）A BCD6、在二项式x1 11的绽开式中,系数最小的项的系数为；7、x418绽开式中含 x 的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答） ；x类型四：利用赋值法解决的二项式问题1、如 1a 12x2004a0a 1xa 2x2a 2004x2004xR,就；第 6 页,共 8 页a0a0a2a 0a3a 0a2004名师归纳总结 - - -
19、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载；）2、如2x3 4a 0a 1xa 2x2a 33 xa4x4,就a0a 2a42a 1a32的值为（）A 1 B -1 C0 D2 3、如3x1n的绽开式中各项系数之和为64,就绽开式的常数项为（）xA -540 B-162 C162 D 540 4、假如3x312n的绽开式中各项系数之和为128,就绽开式中1的系数是（）xx3A 7 B-7 C21 D-21 315、已知x2x3n的绽开式中各项系数的和是128,就绽开式中5x 的系数是；6、已知 1x5a0a 1xa2x2a3x3a4x4a5x5,就a0
20、a 2a4a 1a3a 5的值等于7、设x212x9 1a 0a 1x2a 2x22a 11x11 2,就a 0a 1a2a 的值为 （21 1 28、如 x-25=a5x 5+a4x4+a3x 3+a2x 2+a1x+a0,就 a1+a2+a3+a4+a5= ；用数字作答 类型五：关于两个二项式相乘的问题1、在 1x3 1x10 的绽开式中,5 x 的系数是（）第 7 页,共 8 页A -297 B-252 C297 D207 2、x21 x2 7的绽开式中3 x 项的系数是；3、在代数式（4x22x5）（1+1）5 的绽开式中,常数项为；x24、x2 10 x21 的绽开式中10 x的系数
21、为；5、在 1x 61x4的绽开式中,3 x 的系数是；6、x125的绽开式中整理后的常数项为；2x7、12 x2x18的绽开式中常数项为；（用数字作答）x8、1x61x4的绽开式中x 的系数是（）A-4 B. -3 C. 3 D. 4 9、 1x41x4的绽开式中x 的系数是（）A -4 B-3 C3 D 4 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10、已知1xx2x1n优秀学习资料n欢迎下载的绽开式中没有常数项,* N ,且 2n 8,就 n=_ _；x3类型六：关于二项式定量的创新题目1、如多项式x2x 10a0a 1x1 a9x19a
22、 10x1 10,就a =（）第 8 页,共 8 页A 9 B10 C-9 D-10 2、在x22006的二项绽开式中,含x 的奇次幂的项之和为S,当x2时, S 等于（）3008 A 2B-23008C230093009 D-23、设nN*,就C1C26C362Cn6n1= ；nnnn4、在 1x 5 1x61x71x 8的绽开式中,含3 x 的项的系数是（）A 74 B121 C-74 D-121 5、设 k=1 ,2,3,4,5,就x25的绽开式中k x 的系数不行能是（）A 10 B40 C50 D 80 6、如在二项式 x1 10的绽开式中任取一项,就该项的系数为奇数的概率是；7、如 12x9绽开式的第3 项为 288,就nlim （111）的值是（）xx2xnA 2 B 1 C1D2258、已知x33n绽开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,就n等于（x 4 5 6 7名师归纳总结 - - - - - - -