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1、8.5 二项式定理（精讲）思维导图二项式定理展开式（a+b）=CM+CjflL+C；1a+C M（eN）-1 0-通项公式 7“k C M-&,它表示第r+1 项：-3）-二项展开式中各项的系数c9,c A,，a/各二项式系数和：C?+Ci+Cs4-+Cg=2二项式系数4-）偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,即 c 2+a+c!+“=cA+c2+cf+=2f.二项式定理二项式系数的性质OWr这 时，C；1 与C;，的关系是a=C N 当”为偶数时，稽+1 项的二项式系数最大，最大值为C：-_ i _|I 0-】当”为奇数时，第一项和一项的二项式系数最大，最大值为C/和C/三项展
2、开式中某些特定项的系数的方法通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解两次利用二项式定理的通项公式求解由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量.赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：-1,0,1等求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值系数和常用“赋值法”求值，根据题意，得出指定项的系数和在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号,然后将绝对值去掉，再进行赋值常见考法考点一无参数特定项的系数【例 1】（1）（2 0 2 1 吉林长春市
3、高 三（理）（f-Jy 展开式中，X-的系数是（）XA.2 B.-4 C.6 D.-8（2）（2 0 2 1 河北唐山）若（2 X+1）8=%+4|（*+1）+4（*+1）2+6（*+1）8,贝|J.3 =（）A.5 6 B.4 4 8 C.-5 6 D.-4 4 8（3）（多选）（2 0 2 1 广东执信中学高三月考）在二项式的展开式中,只有第5项的二项式系数最大，则（）A.=1 0B.展开式中没有常数项C.展开式所有二项式系数和为1 0 2 4I）.展开式所有项的系数和为2 5 6【答案】（1）B （2）D （3）B D【解析】（1）展开式的通项为九=或 产 2“_ 1）3=（_ 1）*C
4、产*,X令8-3 6 =-1,左=3,故故选：B.（2）由题意，（2%+1）=2（x+1）=4+4 （x+1）+%（x+1）+/（工+1）通项 Tr+=Q 2（x+l）8-r x （-l）r,O r 5*-2 4,%=0 ,8 ,因为我-2 4H0,所以展开式中没有常数项，B正确；展开式所有二项式系数和为2 =2 5 6,C错误；令x =l,可得展开式所有项的系数和为（-2）8 =2 5 6,D正确.故选：B D.【一隅三反】1.（2 0 2 1 四川省资中县第二中学高三月考（理）（1+2 x 的二项展开式中含了 2 项的系数为（）A.2 4 0 B.1 6 C.1 6 0 D.6 0【答案】
5、D 解析】展开式的通项为Tr+I=Q-l6-r-（2 x）r=T-C i xr,令r=2,所以含公项的系数为2 C：=6 O,故选：D.2.（2 0 2 1 江苏省前黄高级中学高三月考）已知等差数列%的第5 项是卜-g j展开式中的常数项，则生+6=（）A.2 0 B.-2 0 C.4 0 D.-4 0【答案】D【解析】由二项式定理，卜-J展开式中的常数项是C；Vx（-：）3=-2 0,即为=-2 0,因为他“是等差数列，所 以/+4 =2%=-4 0 .故选：D.3.（2 0 2 1 上海外国语大学附属大境中学高三月考）在（+点 产 的 展 开 式 中，有理项共有（）项A.3 B.4 C.5
6、 D.6【答案】C【解析】因为展开式的通项为=仁4-x24 .=C；千，因为2 4-?r 为整数且0r W 24,6所以可取 0,6,1 2,1 8,24,所以有理项一共有5 项，故选：C.4.（2021 全国高三专题练习（理）若乎）（N ）的展开式中第5 项与第6项的二项式系数相等，则=（）A.1 1 B.1 0 C.9 D.8【答案】C【解析】因为第5 项二项式系数为C；，第 6项的二项式系数为C；,由题意知 C：=C；,所以 4!（”_ 4）!-5!（5-4）!,即所以=9 故选：C.考点二系数相关参数【例 2】（1）（2021 贵州高三月考（理）在 厂 的展开式中，厂的系数是T 0,则
7、。=（）A.-2 B.-1 C.1 D.2（2）（2021 全国高三）若（x+蓑）（w N+）的展开式中，含/的项是第四项，则展开式中 的 二 项 式 系 数 和 为.【答案】（1）D（2）256【解析】（1）-子）展开式的通项公式为4+|=6/-，（_ a）-2=仁（_ 4）”5 3，令 5-3厂=2,得 厂=1,由 C；（一。=一1 0,得。=2.故选：D.（2）由题意，二项式展开式的通项为4当=3 时，n-k=4,解得 =8,则二项式系数和为28=256.故答案为:256【一隅三反】1.（2021 榆林市第十中学高三月考（理）在（x +9）的展开式中一的系数为2 0,则常数 =（）A.7
8、 2 B.+C.+2 D.+12【答案】A.33 r【解析】由题意得二项展开式的通项公式为=Cg”三，依题意，令5-5 =2,则 r=2,c1k2=20,解得“=土血.故选：A.2.（2021 河南（理）已知。0,若的展开式中的常数项相等,贝 lj=（）A.1 B.百 C.3 D.9【答案】C【解析】在卜+?）中，&|=禺 公，（2）=9 玛 尸，令6 3r =0,解得r=2,常数项为（=9、。：.在卜中&=晨）O a y 产 ,令1 2-3厂=0,解得r =4,常数项为（=/（：.所以92-C：=/C：,又因为。0,所以a =3.故选：C3.（2021 广东西关外国语学校高三月考）（奴展开式
9、中的常数项为一1 6 0,则 a=（）A.-1 B.1 C.1 D.2【答案】B【解析】（以一：）的展开式通项为 几=最 3产（_ 1）=（-2）ra6-rQx6-2f（0 r (2)(2021 眉山市彭山区第一中学高三开学考试(理)已知(2+X)2()：I=a0+a(x+l)+a2(x+1)2+-a2O2l(x+1)2 则%+2%+2O 1 9a2o 2o+2020a2()2l=()A.201 9.2209 B.201 9.22020 C.2020.220,9 D.2020.22020【答案】(1)C (2)B (3)C【解析】(1)由题得各项二项式系数和 为 或+1+优+图+/=2.故选：
10、C(2)令x =-l,得=1,令x =0,得4 +4+2+42021 =2的，所以-h /02|=2 1 ,故选：B(3)由题可知，*I=GO2O，对(x+l)=4 +生_ +。3/+。2020r+。2021 广。(x W R)等式，两边分别求导可得：2020(1 +X 产9 =a2+2ax+3a4x2+2020a2o 2lx201 9,所以，2020(1 +x)刈 9 =a2+Icx+3 a+20202(1 2x201 9令x =l,有：2020*2如 9 =外+2%+201 9a2020+2020a2()2l,故选：C.【一隅三反】1 .（2021 陕 西 高 三（理）若（2-力 展开式中
11、二项式系数和为4所有项系数和为6,-次项系数为C,则A+3 +C=（）A.4095 B.4097 C.-4095 D.-4097【答案】C【解析】由（2-犬产展开式的通项公式为Tr+I=C；o.2口 （-=（-1），2口.Z,所以一次项系数C =（-M 2 9-C；O=-51 2O,二项式系数和A=210=1024.令x =l,则所有项的系数和B =（2-=l,所以 A+B+C=T095.故选：C.2.（多选）（2021 广东高州一中高三月考）已知（l-2x 广|=4+即:+4*2+a202lx2021,下列命题中，正确的是（）A.展开式中所有项的二项式系数的和为2?；B.展开式中所有奇次项系
12、数的和为32+1-2-C.o2021 _ 展开式中所有偶次项系数的和为二2D L+I+L+.2O 2I.=_I2 22 23 22021【答案】A C D【解析】A：由二项式知：C；+C 垢+C 歌=(1 +1 产=2?叫正确；当 X =1 时，有 4 +4+出+。2 0 2 1 =一 1，当 X =-1 有。0 4+。2%+。2020 一.2 0 2 =3”，,1+32021、B：由上,可得q+.+5+%o 2i =-错误;32021-1 -C:山上，口 J 得 C IQ+C l +/+,.+。20,0=-，正确；D：由二项式通项知：&=C 嬴(-2x),=(-2)C ,则q=(-2)匾,出
13、=(-2 ,/,，出0 2 1 =(-2)”C歌,所以，+/+墨+.+57 =-匾+匾-匾+C 器1-C 嚣=(1-1 产-C%=-1,正确.故选：A C D3.（多选）（2 0 2 1 全国高三课时练习）已知(0）的展开式中第5 项与第7 项的二项式系数相等，且展开式中各项系数之和为1 0 2 4,则（）A.展开式中奇数项的二项式系数之和为2 5 6B.展开式中第6 项的系数最大C.展开式中不存在常数项D.展开式中丁的系数为4 5【答案】B D【解析】；展开式中笫5 项与第7 项的二项式系数相等，.=（：,解得：n=1 0；令X=I,则(4 +=1 0 2 4,乂a 0,4=1;对于A,奇数
14、项的二项式系数之和为：X1 O 2 4 =5 1 2,A错误；2对于B,由”=1 0,可知展开式中共有1 1 项，中间项的二项式系数最大，即第6 项的二项式系数最大，因为产与亡 的 系 数均为1,所以该展开式的二项式系数与系数相同，所以第6 项的系数最大，B正确；对于C,（丁+十）展开式的通项T；M=G,XA ，令2 0-|r =0,解得：r =8,故该展开式中存在常数项，C错误；对于D,令2 0-|=1 5,解得：厂=2,所以”的系数为C 1 =4 5,D正确.故选：B I）.4.(2021襁 江省杭州第二中学高三开学考试)已知(2-3工+2)=4 +%1+/+4 0/),则 at=,4+2
15、a2 +3a3 +10%-.【答案】-240 0【解析】由题设，(d -3x+2丫 =(X-2)5(X-1)5,则 q =c；(-2)4(-1)5X+c；(-1)4(-2)5x=-240 x,即 a=-240；对等式两边求导得：5(x?-3x+2)(2x-3)=%+2a2+.+10%0/，.,.当x=l 时，4+2a2+34+.+10即 =5xO x(-l)=O.故答案为：-240；0考点四多项式系数(和)【例 4】(1)(2021 广西高三开学考试(理)(3/一 2 (x+1)展 开 式 中 常 数 项 是.(2)(2021 吉林长春外国语学校高三开学考试(理)已知(x+-7=)”4 0)的
16、展开式中常数项为2 4 0,则(x+a)(x-2a的展开式中/项的系数为()A.10 B.-8 C.-6 D.4(3)(2021 乐 清 市 知 临 中 学)已 知 多 项 式(x+l)6=x8+ax7+a2x6+a3x5+a7x+as,贝!14=,6+/+%+%+%=.【答案】(1)240(2)C(3)1 -2【解析】(3 d 二 1 二项展开式的通项为：“C；(3/广=(-2)r(3厂 回，r G 0,123,4,5,令 15-4厂=一1,解得r=4,此时7；=或(2)4(3)=240,令15-4/=(),解得r=%因为r e 0,1,2,345,所以不合题意,即卜*3 一彳)(x+i)的
17、展开式中的常数项为240.故答案为：240.(2)设(x+丁)(0)的展开式中常数项为第z+1项,6_3又6-7=02/.r=4(x+彳/(a 0)的展开式中常数项为1 5/,，1 5/=2 4 0,又a 0a 2：.(X+2)(X-4)2 的展开式中 X2项为 x (-8x)+2 Y,(x+a)(x-2a。的展开式中f 项的系数为-6.故 选:C.(3)设“X)=(x-l)2(x+球=x*+a/7+。3%5+a1x+ai,则为=八。)，因为(x-1?(x+炉=(X?-2x+l)(3+Cx2+C；x+C：),所以，%=C：=1,因此，4 1+0+/+%+勾=a。4=0 1 1 =2.故答案为：
18、1;2.【一隅三反】1.(2021 广 东高三月 考)1/+(+2)的展开式中，常数项为.(用数字作答)【答案】252【解析】卜一+2=(旧 严，展开式的通项公式为刀何=赧叱(4)=湿 0%,x令 10 2r=0,可得r=5,所以7；=第=252.故答案为：2522.(2021 全国高三月考(理)在(1-6+9 展开式中，含V 项的系数为.(结果用数值表示)【答案】70【解析】4)展开式中，通项公式：小=。(5)(1-6)=c;产-8。0 _ 4)，依题意，只需考虑，=8时，即只需(1-石 中V 项的系数，其展开式中通项4+1=c*.I8-*-(-x4r)*=C*.(-I)*.令七=2,解得笈
19、=4.2.-.C s-(-1)4=7 0.故答案为：7 0.3.(2 0 2 1 浙江)廿+巾 3&+”)5 的展开式中的常数项为-3 2,则实数a的值为；展开式中含/项的系数为.【答案】一 2 84 2【解析】因为(3 五+a)的展开式的通项公式为a=c；尹 优 言，所以(V+l g G+a F 的展开式中的常数项为=_3 2,解得。=2.所以(f+l)(3 4-2)5 的展开式中含?项的系数为-3 2 +C；3(-2)=-84 2.故答案为：-2,-84 24.(2 0 2 1 全 国高三专题练习)已知多项式(1 +x)+(1 +x)2+L+(1 +x)=()+atx+a2x2+L +an
20、x,若q+a ，+an=5 7,则正整数的值为.【答案】5【解析】令 x =O,得 ,令 x =l ,得 2 +2?+2 =/+4 +-+4 “，即 2，1-2 =+5 7,2n+,-n=5 9,显然2 向5 9,9.5,又 2 向-=2+(1 +1)”-.2 +1 +。：一”，.2,59,即/5,故 =5.故答案为：5.考点五二项式定理的运用【例 5】(2 0 2 1 黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考(理)已知机 0,且 1 5?+机恰能被 1 4 整除，则，的取值可以是()A.1 B.3 C.7 D.1 3【答案】D【解析】由 1 52 0 2 1+m =(1 4 +1)2 0 2 1+m
21、 =C 第 +1 4 C 虢 +.C 疆 +.+1 42 0 2 1 匾+m ,二要使1 5诬+也 恰能被1 4 整除，只需?+1 能 被 1 4 整除即可且相0,：.m =l4k-l,(k e N),当 A=1 时,炉 1 3 满足题意.故选：D【一隅三反】L (2 0 2 1 河北衡水中学高三月考)今天是星期日，经过7 天后还是星期日，那么经过8 2 2 1天 后 是()A.星期六 B.星期日 C.星期一 D.星期二【答案】C【解析】8由=(7+1 严：或”.7血+7M。+嗡；.7+C焉，故它除以7 的余数为C歌 1,故经过7 天后还是星期I I,那么经过8.天后是星期一，故选：C.2.(
22、2021 江苏南通)2的 被 9 除所得的余数为(w N*,1 4 r410),则/=()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】B【解析】2202=4x(9-1严=4(96_9 6 y 73+9671%-+9 嘀1)=4.3 _ 严 服 +967C；7 3 一 +9 )-4=4(9673-9672C73+96力屐73 一 +9屐；)一9+5所以，2?被9 除所得的余数为5故答案为：B3.(2021 山东省平邑县第一中学高三开学考试)若(2才+1严0=/+4 工+2犬+l(x)xl85+C*849+qo-85O-r+C*8+C；)-4=(8 5。+4.8-9+qn-85O-r+C*8-3=C-85(,+C；0-849+琢 8+4-8-8 +5,reN因为C85+C849+.+/-8 5 +C；o8-8 能被8 整除，所以U0-85+C*849+C；0.85-r+C 8-8 +5被 8 整除的余数为 5,即2(4+/+6+的9)-3 被 8 整除的余数为5,故答案为:5.