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1、优秀学习资料欢迎下载高中数学一轮复习（十三）二项式定理1二项式定理：011()()nnnrnrrnnnnnnabC aC abC abC bnN，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做()nab的二项展开式。二项式系数 : 展开式中各项的系数rnC(0,1,2, )rn. 项数：共(1)r项，是关于a与 b的齐次多项式通项：展开式中的第1r项rnrrnC ab叫做二项式展开式的通项。用1rn rrrnTC ab表示。3注意关键点：项数：展开式中总共有(1)n项。顺序：注意正确选择a, b, 其顺序不能更改。()nab与()nba是不同的。指数：a的指数从n逐项减到 0，是降幂排列。 b的指
2、数从 0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n. 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,.rnnnnnnCCCCC项的系数是a与 b的系数（包括二项式系数） 。4常用的结论：令1,abx0122(1)()nrrnnnnnnnxCC xC xC xC xnN令1,abx0122(1)( 1)()nrrnnnnnnnnxCC xC xC xC xnN5性质：二项式系数的对称性 ：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等， 即0nnnCC， 1kknnCC二项式系数和 ：令1ab, 则二项式系数的和为0122rnnnnnnnCCCCC，变形式1221rnnnnnnCCC
3、C。奇数项的二项式系数和 =偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,1ab，则0123( 1)(11)0nnnnnnnnCCCCC，从而得到：0242132111222rrnnnnnnnnnCCCCCCC奇数项的系数和与偶数项的系数和：0011222012012001122202121001230123()()1,(1)1,(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxC a xC axC axC a xaa xa xa xxaC a xC axC a xC a xa xa xa xaxaaaaaaxaaaaaa令则令则024135(1)(1),()2(1)(1),()
4、2nnnnnnaaaaaaaaaaaa得奇数项的系数和得偶数项的系数和二项式系数的最大项 ：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数2nnC取得最大值。如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数12nnC,12nnC同时取得最大值。系数的最大项 ：求()nabx展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为121,nAAA，设第1r项系数最大，应有112rrrrAAAA，从而解出r来。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载题型一：求二项展开式 1 “nba)(”型
5、的展开式例 1求4)13(xx的展开式；解：原式 =4)13(xx=24)13(xx=)3()3()3()3(144342243144042CCCCCxxxxx=)112548481(12342xxxxx=54112848122xxxx 2 “nba)(”型的展开式例 2求4)13(xx的展开式；分析：解决此题，只需要把4)13(xx改写成4)1(3xx的形式然后按照二项展开式的格式展开即可。 3 二项式展开式的“逆用”例 3计算cCCCnnnnnnn3) 1(.27931321；解：原式 =nnnnnnnnCCCCC)2()31()3(.)3()3()3(33322110题型二：求二项展开式
6、的特定项 1. 求指定幂的系数或二项式系数（1）求单一二项式指定幂的系数例 492)21(xx展开式中9x的系数是解：rrrrxxTC)21()(9291=rrrrxxC)1()21(2189=xrrxC3189)21(令,9318x则3r，从而可以得到9x的系数为：221)21(339C（2）求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数例 572)2)(1 xx（的展开式中，3x项的系数是；解：在展开式中，3x的来源有： 第一个因式中取出2x，则第二个因式必出x，其系数为667)2(C； 第一个因式中取出1，则第二个因式中必出3x，其系数为447)2(C3x的系数应为：,1008)2()2(4476
7、67CC填1008。（3）求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数例 63)21(xx的展开式中，常数项是；解：36323)1() 1()21(xxxxxx， 上述式子展开后常数项只有一项33336)1(xxC， 即20精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载2. 求中间项例 7求（103)1xx的展开式的中间项；解：,)1()(310101rrrrxxTC展开式的中间项为535510)1()(xxC即：65252x。当n为奇数时 ，nba)(的展开式的中间项是212121nnnnbaC和212121n
8、nnnbaC；当n为偶数时 ，nba)(的展开式的中间项是222nnnnbaC。3. 求有理项例 8求103)1(xx的展开式中有理项共有多少项？解：341010310101)1()1()(rrrrrrrxxrTCC当9 ,6,3 ,0r时，所对应的项是有理项。故展开式中有理项有4 项。 当一个代数式各个字母的指数都是整数时，那么这个代数式是有理式； 当一个代数式中各个字母的指数不都是整数（或说是不可约分数）时，那么这个代数式是无理式。4. 求系数最大或最小项（1）特殊的系数最大或最小问题例 9在二项式11)1(x的展开式中，系数最小的项的系数是；解：rrrrxTC)1(11111要使项的系数
9、最小，则r必为奇数，且使Cr11为最大，由此得5r，从而可知最小项的系数为462)1(5511C（2）一般的系数最大或最小问题例 10求84)21(xx展开式中系数最大的项；解：记第r项系数为rT，设第 k 项系数最大，则有11kkkkTTTT又1182 .rrrCT，那么有kkkkkkkkCCCC2 .2 .2 .2.8118228118即)!8( ! 82)!9)!.(1(! 82)!10)!.(2(! 8)!9)!.(1(! 8KKKKKKKkKKKK1922211解得43k，系数最大的项为第3 项2537xT和第 4 项2747xT。精选学习资料 - - - - - - - - - 名
10、师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载（3）系数绝对值最大的项例 11在（7)yx的展开式中，系数绝对值最大项是；解：求系数绝对最大问题都可以将“nba)(”型转化为)(nba型来处理，故此答案为第4 项4347yxC，和第 5 项5257yxC。题型三：利用“赋值法”及二项式性质3 求部分项系数，二项式系数和例 12 若443322104)32(xaxaxaxaax， 则2312420)()(aaaaa的值为；解：443322104)32(xaxaxaxaax令1x，有432104)32(aaaaa，令1x，有)()()32(314204aaaaa故
11、原式 =)().(3142043210aaaaaaaaaa=44)32.()32(=1) 1(4例 13若2004221020042004.)21 (xxaxaax，则)(.)()(200402010aaaaaa；解：2004221020042004.)21(xxaxaax，令1x，有1.)21 (20042102004aaaa令0 x，有1)01 (02004a故原式 =020042102003).(aaaaa=200420031例 14设0155666.) 12(axaxaxax，则6210.aaaa；分析：解题过程分两步走；第一步确定所给绝对值符号内的数的符号；第二步是用赋值法求的化简后
12、的代数式的值。解：rrrrxTC)1()2(66165432106210.aaaaaaaaaaa=)()(5316420aaaaaaa=0 题型四：利用二项式定理求近似值例 15求6998.0的近似值，使误差小于001.0；分析：因为6998.0=6)002.01 (，故可以用二项式定理展开计算。解：6998.0=6)002.01 (=621)002.0(.)002.0.(15)002.0.(61001. 000006.0)002. 0(15)002.0.(22263CT，且第 3 项以后的绝对值都小于001.0，从第 3 项起，以后的项都可以忽略不计。6998.0=6)002.01()002
13、.0(61=988.0012.01题型五：利用二项式定理证明整除问题例 16求证：15151能被 7整除。15151=1)249(51=12 .2.49.2 .49.2 .49.495151515050512492515015151051CCCCC=49P+1251（NP）又1)2(1217351= （7+1）171=17 .7 .7.7.17171617152171611717017CCCCC=7Q （QN）)(77715151QPQP15 151能被 7 整除。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下
14、载练习题类型一：利用通项公式求展开式中某项的系数的问题1、在7)2(xx的展开式中，2x的系数是。2、12)13(xx展开式中3x的系数为。3、已知5) 1cos(x的展开式中2x的系数与4)45(x的展开式中3x的系数相等，则cos =。4、已知a为实数，10)(ax展开式中7x的系数是 15，则a= 。5、设常数a0，42)1(xax展开式中3x的系数为23，则nlim（a + a2+ an）= 。6、若621xax的二项展开式中的3x系数为52，则a（用数字作答） 。7、 （2x-1）6展开式中x2的系数为。（）A15 B60 C120 D240 8、在(1)nx（nN*）的二次展开式中
15、，若只有5x的系数最大，则n（）A8 B9 C10 D11 9、5)21(x的展开式中2x项的系数是。 （用数字作答）10、已知26(1)kx（k是正整数）的展开式中，8x的系数小于120，则k= 。类型二：利用通项公式研究关于常数项的问题1、在104)1(xx的展开式中常数项是。2、已知nxix)(2的展开式中第三项与第五项的系数之比为143，其中12i， 则展开式中常数项是（）A 45iB45iC 45 D45 3、62121)2(xx的展开式中常数项是。4、若nxx)3(3的展开式中存在常数项，则n 的值可以是（）A8 B9 C10 D12 5、若nxxx)1(3的展开式中常数项为84，
16、则 n= 。6、21nxx的展开式中，常数项为15，则n（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载A3B4C5D67、921xx的二项展开式中常数项是（用数字作答） 。8、若nxx)1(展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（）A10 B20 C30 D120 9、621xx的展开式中常数项是。 （用数字作答）10、91()xx展开式中的常数项是（）A 36 B36 C 84 D84 类型三：利用通项公式研究展开式中特殊项的问题1、10)31(xx的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（）A0
17、 B2 C4 D6 2、在243)1(xx的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有（）A3 项B4 项C5 项D 6 项3、若nxx)12(展开式中含21x项的系数与含41x项的系数之比为5，则 n 等于（）A4 B6 C8 D10 4、123)(xx的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A4 项B3 项C2 项D 1项5、对于二项式)()1(*3Nnxxn，四位同学作出了四种判断：存在)(*Nn，展开式中有常数项；对任意)(*Nn，展开式中没有常数项；对任意)(*Nn，展开式中没有x的一次项；存在)(*Nn，展开式中有x的一次项。上述判断中正确的是（）ABCD6、在二项式11)1(x的展开式
18、中，系数最小的项的系数为。7、84)1(xx展开式中含x的整数次幂的项的系数之和为（用数字作答） 。类型四：利用赋值法解决的二项式问题1、若)()21(2004200422102004Rxxaxaxaax，则)()()()(20040302010aaaaaaaa。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载2、若443322104)32(xaxaxaxaax，则2312420)()(aaaaa的值为（）A1 B-1 C0 D2 3、若nxx)13(的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）A-54
19、0 B-162 C162 D 540 4、如果nxx)13(32的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x的系数是（）A7 B-7 C21 D-21 5、已知nxx)(3123的展开式中各项系数的和是128，则展开式中5x的系数是。6、已知55443322105)1(xaxaxaxaxaax,则()(531420aaaaaa的值等于。7、设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)xxaaxaxax，则210aaa11a的值为 （）21128、若 (x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则 a1+a2+a3+a4+a5= 。(用数字作答 )类型五：关
20、于两个二项式相乘的问题1、在103)1)(1(xx的展开式中，5x的系数是（）A-297 B-252 C297 D207 2、72)2)(1(xx的展开式中3x项的系数是。3、在代数式（5242xx） （1+21x）5的展开式中，常数项为。4、)1()2(210 xx的展开式中10 x的系数为。5、在46)1()1(xx的展开式中，3x的系数是。6、5)212(xx的展开式中整理后的常数项为。7、821(12)xxx的展开式中常数项为。 （用数字作答）8、4611xx的展开式中x 的系数是（）A-4 B. -3 C. 3 D. 4 9、44)1()1(xx的展开式中x的系数是（）A -4 B-
21、3 C3 D 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页优秀学习资料欢迎下载10、已知nxxxx)1)(1(32的展开式中没有常数项，*nN，且 2 n 8, 则 n=_ _。类型六：关于二项式定量的创新题目1、若多项式10109910102)1() 1()1(xaxaxaaxx，则9a=（）A9 B10 C-9 D-10 2、在2006)2(x的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当2x时， S 等于（）A23008B-23008C23009D-230093、设*Nn，则12321666nnnnnnCCCC= 。4
22、、在8765)1()1()1()1(xxxx的展开式中，含3x的项的系数是（）A74 B121 C-74 D-121 5、设 k=1，2，3，4，5，则5)2(x的展开式中kx的系数不可能是（）A10 B40 C50 D 80 6、若在二项式10)1(x的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是。7、若9)21(x展开式的第3 项为 288，则nlim（nxxx1112）的值是（）A2 B1 C21D528、已知33nxx展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于（）4567精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页