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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三角函数【学问网络】应用弧长公式同角三角函数诱导应用运算与化简的基本关系式公式证明恒等式应用任意角的概念角度制与任意角的应用三角函数的应用已知三角函弧度制三角函数图像和性质数值求角和角公式倍角公式应用差角公式应用一、任意角的概念与弧度制1、将沿 x 轴正向的射线,环绕原点旋转所形成的图形称作角. 2k90第 1 页,共 10 页逆时针旋转为 正角 ,顺时针旋转为负角 ,不旋转为零角2、同终边的角可表示为k360kZx 轴上角：k180kZy 轴上角：90k180kZ3、第一象限角：0k36090k360kZ其次象限角：90k3
2、60180k360kZ第三象限角：180k360270k360kZ第四象限角：270k360360k360kZ4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角第一象限角：0k36090k360kZ锐角：090小于 90 的角：5、如为其次象限角,那么2为第几象限角？22 k2 k4k2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - k,042,学习必备欢迎下载3 2,180360k,154所以2在第一、三象限1弧度的圆心角,记作1rad. 6、弧度制：弧长等于半径时,所对的圆心角为7、角度与弧度的转化：11800. 01745118057 . 30571 8
3、8、角度与弧度对应表：120135150角度030456090弧度0643223523469、弧长与面积运算公式弧长： lR；面积：S1lR12 R ,留意：这里的均为弧度制 . 22二、任意角的三角函数rP x,y1、正弦： siny；余弦 cosx；正切 tanyrrx其中,x y 为角终边上任意点坐标,r2 xy2. 2、三角函数值对应表：度030456090120135150180270360弧度064322350323462sin0012332111222222cos13210123101222222tan0313无3130无0333、三角函数在各象限中的符号名师归纳总结 - - -
4、 - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 口诀：一全正,二正弦,三正切,四余弦tan学习必备s t c欢迎下载cos. （简记为“ 全” ）sin第一象限：.x0 ,y0 sin0,cos0,tan0, 其次象限： sin0,cos0,tan0, .x0 ,y0第三象限： sin0,cos0,tan0, .x0 ,y0第四象限：.x0 ,y0 sin0,cos0,tan0, 4、三角函数线设任意角 的顶点在原点 O ,始边与 x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与 P , x y ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M ；过点 A 1,0 作单位
5、圆的切线,它与角 的终边或其反向延长线交于点 T.y y TP PM o Ax o M Ax（）T（）yT yM A M Ao x o xP P T（）（）由四个图看出：当角 的终边不在坐标轴上时,有向线段 OM x MP y ,于是有y y x xsin y MP,c o s x OMr 1 r 1,tan y MP AT ATx OM OA我们就分别称有向线段 MP OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线；5、同角三角函数基本关系式名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - sin2cos2212cot1sincos学
6、习必备欢迎下载sintantancossin1sincoscossincos212sincos,三式之间可以相互表示sincos,sincos,6、诱导公式n中整数 n 的奇偶性,把看作锐角 第 4 页,共 10 页口诀：奇变偶不变, 符号看象限 所谓奇偶指的是2nnsinn 1 sins,n 为偶数；cosn 12cos ,n 为偶数. n1,n 为奇数n122 12co 12sin,n 为奇数. 公式（一）：与2 k,kZ2ktansin2ksin；cos2kcos；tan. 公式（二）：与tansinsin； coscos； tan. 公式（三）：与tansinsin； coscos；
7、tan. 公式（四）：与tansinsin； coscos； tan. 公式（五）：与2sin2cos； cos2sin；. 公式（六）：与2sin2cos； cos2sin；. 公式（七）：与3 2sin3cos；cos3sin；22. 公式（八）：与3 2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - sin3cos；cos3学习必备欢迎下载sin；22三、三角函数的图像与性质1、将函数 y sin x 的图象上全部的点,向左（右）平移 个单位长度,得到函数 y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原先
8、的 1 倍（纵坐标不变） ,得到函数 y sin x的图象；再将函数 y sin x 的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到原先的 A倍（横坐标不变） ,得到函数y A sin x 的图象；2、函数 y A sin x A 0, 0 的性质：振幅： A ；周期：T 2；频率：f 1；相位：x；初相：；T 23、周期函数：一般地,对于函数 f x,假如存在一个非零常数 T ,使得定义域内的每一个 x 值,都满意f x T f x ,那么函数 f x 就叫做周期函数,T 叫做该函数的周期 . k4、 y A sin x 对称轴：令 x k,得 x 22对称中心：x k,得 x k, k 0, k Z
9、 ； y A cos x 对称轴：令 x k,得 x k；k k对称中心：x k,得 x 2, 2 0, k Z ；2周期公式 : 函数 y A sin x 及 y A cos x 的周期 T 2 A 、 、为常数,且 A 0. 函数 y A tan x 的周期 T A 、 、为常数,且 A 0.5、三角函数的图像与性质表格性 质函 数ysinxycosxytanx图像名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载定义当x2kRZ时,当xRk时,x xk2,kZ域值1,11,1R域2k2 kkZ最当x2y m
10、ax1；Z时,y max1；当x21既无最大值也无最小值值k2kkZ时,yminy min1周期22性奇偶奇函数偶函数奇函数性单在k222k,22 k在2 k,2kkZ在k2,k2Z上是增函数；上是增函数；调性在k2k,32k在 2 k,2kkZkZ上是增函数2上是减函数Z上是减函数对称中心6.对y对称中心k,0kZtk2,0kZ3对称中心k,0kZy 值称2性对称轴xk2kZkZ无对称轴对称轴 xk五点法作Asinx的简图 ,设x,取 0、2、 2来求相应 x 的值以及对应的2再描点作图；7. yAsinx的的图像第 6 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料
11、- - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载8. 函数的变换：（1）函数的平移变换yfx yfxa a0 将yfx 图像沿 x 轴向左（右）平移a 个单位（左加右减）yfx yfx b b0 将yfx 图像沿 y 轴向上（下）平移b 个单位（上加下减）（2）函数的伸缩变换：0yfxyfwxw0将yfx图像纵坐标不变,横坐标缩到原先的1 倍（ww1缩短,w1 伸长）0yfxyAfxA0将yf x 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原先的A 倍（A1伸长,A1 缩短）（3）函数的对称变换：yfxyfx 将yfx 图像绕 y 轴翻折 180 （整体翻折）y 轴翻折到左侧（偶函数局部（对三角函数来
12、说：图像关于x 轴对称）yfxyfx将yfx图像绕 x 轴翻折 180 （整体翻折）（对三角函数来说：图像关于y轴对称）yfxyfx将yfx 图像在 y 轴右侧保留,并把右侧图像绕翻折）yfxyfx 保留yfx在 x 轴上方图像,x 轴下方图像绕x 轴翻折上去（局部翻动）四、三角恒等变换1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 ）sin学习必备欢迎下载所 在 的 象 限 决sincossincos2 ）sinsincossincos3 ）coscoscossinsin4 ）cos
13、coscossinsin5 ）tantantant ant ant an1t ant a n1tantan6 ）tantantantantantan1 tantan1tantan7asinbcos=2 ab 2 sin 其 中 , 辅 助 角所 在 象 限 由 点 , 定,sinab2 b,cos2 aab2,tanb,该法也叫合一变形. 2a81tantan41tantan41tan1tan2. 二倍角公式（1）sin2 a2sinacos a211cos2aa,第 8 页,共 10 页（2）cos2acos2asin2a12sin2a22 cosa（3）tan2a12tanaatan2 3
14、. 降幂公式：（1）cos2a1cos2a（2）sin2a22 4. 升幂公式2sin22（1）1cos2cos22（ 2）1cos（3）1sinsin2cos22（ 4）1sin2 cos（5）sin2sin2cos21cos5. 半角公式 （符号的挑选由2所在的象限确定）（1）sina1cos a,（2）cosa2222（3）tana1cosa1sinaa1cosa21cosacossina名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载6. 万能公式 : （1）sin2tan2, （2）cos1tan22, （3）1tan221
15、tan22tan.2tan21tan227. 三角变换：三角变换是运算化简过程中运用较多的变换,提高三角变换才能,要学会创设条件,敏捷运用三角公式,把握运算、化简的方法技能；（1）角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换,仍可作添加、删除角的恒等变形（2）函数名称变换：三角变形中经常需要变函数名称为同名函数；采纳公式：a sin b cos a 2 b 2 sin 其中 cos 2 a2 , sin 2 b2 y sin x 3 cos xa b a b,比如：2 2 1 31 3 2 2 sin x 2 2 cos x 1 3 1 3 1 32 sin x cos x 2 si
16、n x cos cos x sin 2 sin x 2 2 3 3 3（3）留意“ 凑角” 运用：,12例如：已知、 3 , , sin 3,sin 12,就 cos .4 5 4 13 4（4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数,特殊是常数“1” 可转化为“sin 2cos 2”（5）幂的变换：对次数较高的三角函数式一般采纳降幂处理,有时需要升幂例如：1 cos a 常用升幂化为有理式；（6）公式变形：三角公式是变换的依据,应娴熟把握三角公式的顺用、逆用及变形；（7）结构变化：在三角变换中经常对条件、结论的结构进行调整,或重新分组,或移项,或变乘为除,或求差等
17、等；在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等；（8）消元法：假如所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量,可用此法（9）思路变换：假如一种思路无法再走下去,试着转变自己的思路,通过分析比较去挑选更合适、简捷的方法去解题目；（10）利用方程思想解三角函数；如对于以下三个式子：sinacos a,sinacos a第 9 页,共 10 页sinacos a,已知其中一个式子的值,其余二式均可求出,且必要时可以换元；8. 函数的最值 （几种常见的函数及其最值的求法）：yasinxb（或acosxb型：利用三角函数的值域,须留意对字母的争论名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料
18、- - - - - - - - - tyasinx学习必备欢迎下载t再利用有界性t 的取值范畴：bcosx型：引进帮助角化成y2 ab2sinxyasin2xsin x1的约束bsinxc型：配方后求二次函数的最值,应留意yasinxb型：反解出sinx,化归为sin x1解决sinxcosx,但须留意csinxdyasinxcosxbsinxcosxc型：常用到换元法：2；9. 三角形中常用的关系：sinAsinBC,cosAAcosBC,sinA6cosB2C,第 10 页,共 10 页2sin2Asin2 BC,cos2cos2BCcos1542,642,sin7510. 常见数据：sin15cos75tan1523, tan7523,名师归纳总结 - - - - - - -