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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 经济数学基础作业 4 学问要点： 1 把握函数单调性的判别方法,会求函数的单调区间；2知道极值存在的必要条件,把握极值点的判别方法,知道极值点与驻点的关系,会求函数的极值；3会求需求对价格的弹性；4娴熟把握经济分析中求最大（小）值的方法（求平均成本的最小值,利润的最大值）；5娴熟把握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；6明白微分方程的几个基本概念：微分方程、阶、解（通解、特解）及线性微分方程等；7 把握可分别变量微分方程的解法,把握一阶线性微分方程的解法；8懂得并娴熟把握线性方程组的有解判定定理；娴熟把握用消元法求
2、线性方程组的一般解；（一）填空题1.函数 f x 4 x 1的定义域为 _ _ln x 1 4 x 0 求初等函数的定义域,一般要满意：解：要使 f x 有意义,就要求 x 1 0,（1）分式中分母的表达式不为零；x 1 1（2）根式中偶次根号下的表达式大于或等于零；x 4（3）对数中真数的表达式大于零；解不等式组得：x 1,x 2因此,定义域为 ,1 2 2 4, ；2.函数 y 3 x 21 的驻点是 _ ,极值点是,它是极值点 . 解：y 3 2 x 1 x 1 = 6 x 1 1 使 f x 0 的点称为函数 f x 的驻点；令 y 0 得：x 1因此,所求驻点是 2 设 x 1 f,
3、 0x 0,且 f 0x 0y 6 0极值点是 x 1,它是微小值点；（1）如 f 0x 0,就 0x 为微小值点；（2）如 f 0x 0,就 0x 为极大值点；1 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - p3.设某商品的需求函数为q p 10 e2,就需求弹性Ep. 解：有弹性公式Eppq10pp 10ep=10pp10ep1p；22qee22224.如线性方程组x 1x 1x 20有非零解,就= 齐次方程组AX0有非零解x 20解：系数矩阵A1111101的 充 分 必 要 条 件 为 ：rA n,当方程有非零
4、解,就r A2（未知量个数）,（ n 为方程组中未知量的个数）；就1；,就t_时,方程组有唯11165.设线性方程组AXb,且A013200t10一解 . 解：要使线性方程组AXA b有唯独解,就要求rA rA n（方程未知量个数）,因此,当t1时,rrA 3,方程组有唯独解；（二）单项挑选题1. 以下函数在指定区间, 上单调增加的是（）A sinxBe xCx 2 D3 x 解：函数 sinx , e x,x 2均为基本初等函数,由它们的性质知：函数 e x在区间 , 上是单调增加；x2xx,xdx0该题正确答案为：B2. 设fx1,就ffx（）xA 1 B1 C x D xx2解：由于fx
5、 1,就ffxf11x1xx该题正确答案为：C1e2e3. 以下积分运算正确选项（）A1ex2exd x0B112 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - C1xsinx d x0 D1x23 xd x0-1-1a解：留意到：定积分fx dx,aa（1）当fx为奇函数时,就fx dx0；aaaf x ,（2）当fx为偶函数时,就fx dx2fx dx；a0答案 A 中设fxexex,fxexex ex2ex=22因此,1ex2exdx0,n）1该题正确答案为：A 4. 设线性方程组A mnXb有无穷多解的充分必要条
6、件是（）ArA rA m BrA n Cmn DrA rA 解：该题正确答案为：Dx 1x2a 15. 设线性方程组x2x3a2,就方程组有解的充分必要条件是（x 12x2x3a3Aa 1a2a30 Ba 1a 2a 30Ca 1a 2a30Da 1a2a30110a 1110a 1解：A011a2011a2121a 3011a3a 1110a 1011a2000a 3a 1a2方程组有解的充分必要条件是：rA rA ,即a 3a 1a 20,即a 1a2a 30,该题正确答案为：C三、解答题1求解以下可分别变量的微分方程：3 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9
7、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 yexy解：原方程变形为：eydye xdxc方程两边积分得：eydyex dxeyexc即为方程通解 . （2）d yx exd x3y2解：原方程变形为：3y2dyxe xdx方程两边积分得：3y2dyx xe dxy3x xdexexex dxx xex e3 yx xex ec即为方程通解 . 2. 求解以下一阶线性微分方程：（1）y2yx3pxdxqx epxdxdxcx解：由一阶线性微分方程通解公式：yedxdxdxcpxdx得原方程通解：ye2dxx3e2xx=e 2lnxx3 e2lnxdxc=x23 x1dxc x2q
8、x edxc=x2x2c px2（2）yy2xsin2xx解：由一阶线性微分方程通解公式：yexe1dx得原方程通解：ye1dx2xsin2dxcxx =elnx2xsin2xelnx dxc =x 2sin2xdxc =xcos2xc 4 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3.求解以下微分方程的初值问题：1ye2xy,y0 01q x epxdxdxc 解：原方程变形为：eydye 2xdx方程两边积分得：ey dy2 exdxey1e2xc即为方程通解2将y00代人通解得：e 01e 0c就c22因此,原
9、方程特解为：ey12 x e122dx2x yyx e0,y10解：原方程变形为：yyexxx由一阶线性微分方程通解公式：yepx得方程通解：ye1dxexe1dxdxcxxx =elnxexln exdxcx =1x exdxc1x ecxxxce将y 10代人通解得：01ec,就1原方程特解为：y1exe x4.求解以下线性方程组的一般解：（1）x11x2x3x400102110212x23x 32x4x 1x25x33x041021解：A113201110111215301110000所以,方程的一般解为5 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资
10、料 - - - - - - - - - x 122x3x 4（其中x 1, x 2是自由未知量）xx 3x 42x 1x2x3x4112142（2）x 12x2x 34x 42x 17x24x311x4521111解：A1214221111174115174115121421214205373053730537300000121 34 72 3101645 35 75 301015 05 05 05 05 05 00000一般解：x 11 x 353 x 356 x 457 x 454（其中x 1, x 2是自由未知量）5 3x 255.当为何值时,线性方程组x 1x25x 34x422x 1
11、x23x3x413x 12x22x33x437x 15x29x310x4有解,并求一般解；解：1154211542A2 313110113932233011393当75910202261814115410851011393011393000000000800008000008时,rA rA 24,方程有无穷多解 . 6 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方程的一般解为：x 18x 35x 41（其中x 1,x2是自由未知量）x 213 x 39x 435a,b为何值时,方程组1a1b11x1x2x 31x 1
12、x22x32x13x2ax3b11111解：A1122021113ab0411111021100a3b3当a3且b3时,方程组无解；当a3时,方程组有唯独解；当a3且b3时,方程组无穷多解；6求解以下经济应用问题：（1）设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：C q1000 . 25 q26 q（万元） , 求：当q10时的总成本、平均成本和边际成本；当产量 q 为多少时,平均成本最小？2解： C 10 100 0 . 25 10 6 10 185（万元）；C 10 C 10 18 5.（万元 / 单位）；102C 10 100 0 . 25 q 6 q q 10求经济最值问题的解题步= 0
13、. 5 q 6 q 10 11（万元 / 单位） . 骤：（ 1 ） 列 出 目 标 函 数平均成本：C q C q q 100q 0 . 25 q 6,q 0（就是所求实际问题达到最值的经济函数,比如利润函数或平均成本函数等）；C q 100q 0 . 25 q 6 100q 2 0 . 25令目标函数的导数等于（2）对目标函数求导,0,求出驻点；令Cq0得唯独驻点q20（3）如驻点唯独,再判定该驻点为极值点；（4）在驻点唯独的情形下,极大（小）值点即为最名师归纳总结 7 / 9 大（小）值点,得出结论,第 7 页,共 9 页回答疑题；- - - - - - -精选学习资料 - - - -
14、- - - - - C20200q200q3因此,当产量为 20 个单位时可使平均成本达到最低；（2）.某厂生产某种产品 q 件时的总成本函数为 C q 20 4 q .0 01 q 2（元）,单位销售价格为 p 14 0 . 01 q（元 /件）,问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少解：收入函数R qpq 140 . 01 q q14q0 . 01 q 2.001 q240万元 /百台 试利润函数LqRq Cq=14q.001 q 2204qx10 q.002 q220Lq100 .04q令Lq0得唯独驻点q2502xL2500. 040因此,当产量为250 个单位时可使利润达到最
15、大,且最大利润为：L2500 .02q210q20q2501230（元）；（3）投产某产品的固定成本为36万元 ,且边际成本为C求产量由 4 百台增至 6 百台时总成本的增量,及产量为多少时,可使平均成本达到最低解：当产量由4 百台增至 6 百台时,总成本的增量为66CCx dx 2x40 dx44x240x6100（万元）4x总成本函数Cx Cq dqC 00x2 q40 dq362 x40 x360平均成本：Cx Cxx4036,x0xxCx136x28 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 令Cx0得唯独驻
16、点x6C 6 72x600,边际收益x3因此,当产量为6 百台时,平均成本达到最低. （4）已知某产品的边际成本Cx=2（元 /件）,固定成本为Rx120 .02x,求：产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件,利润将会发生什么变化？解：边际利润LxRxCx100 .02x120. 02x2令L x 0得唯独驻点x500,50 件,L5000.020因此,当产量为500 件时,利润最大. 在最大利润产量的基础上再生产5505500 . 02x dx利润增量LLx dx 10500500 10x20 . 01 x55025500即利润将削减25 元 . 9 / 9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页