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1、1 / 10 经济数学基础作业3 （线性代数部分第1 章行列式第二章矩阵）知识要点：1行列式的概念和性质掌握二阶和三阶行列式的计算。了解行列式的性质：特别是性质1、性质 3、性质 5。2了解矩阵和几类特殊矩阵的概念3理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件；4知道方阵的行列式性质：设BA,是n阶方阵，k是数，则（1）BAAB；（2）AkkAn；（3）AAT；（4）若A可逆，则AA115.了解矩阵秩的概念；6.理解矩阵初等行变换的概念：（1）将矩阵的某两行对换位置；（2）将某一行遍乘一个非零常数k；（3）将矩阵的某一行遍乘一个非零常数k加到另一行。7熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算
2、。掌握这几种运算的有关性质，注意：（1）矩阵的乘法一般不满足交换律，即AB=BA不一定成立；（2）在矩阵的乘法中存在,0,0 BA有0AB；（3）矩阵乘法的消去律不成立，即,0A且ACAB，不能导出CB。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 / 10 8熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵。一）填空题1.设矩阵161223235401A，则A的元素_23a. 解：A的元素23a表示矩阵中第 2 行与第 3 列交叉的元素，即23a=3。2.设B
3、A,均为 3 阶矩阵，且3BA，则TAB2=_. 解：因为 若BA,是n阶方阵，k是数，则BAAB，AkkAn，AAT因此BABAABTT8)2(23=72)3()3(83.设BA,均为n阶矩阵，则等式2222)(BABABA成立的充分必要条件是 . 解：因为222)()(BABBAABABABA222BABA的充分必要条件是AB=BA4. 设BA,均为n阶矩阵，)(BI可逆，则矩阵XBXA的解_X. 解：因为：XBXA，则AXBI)(，ABIX1)(5.设矩阵300020001A，则_1A. 求逆矩阵的初等行变化法：),(),(1AIIA),(310002100011000100011000
4、10001300020001),(1AIIA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 / 10 310002100011A（二）单项选择题1. 以下结论或等式正确的是（）A若BA,均为零矩阵，则有BAB若ACAB，且OA，则CBC对角矩阵是对称矩阵D若OBOA,，则OAB解：A 不正确。零矩阵：所有的元素均为零的矩阵。例如：0000A，000000000BB 不正确。矩阵乘法的消去律不成立。例如：设1111A，1111B，2002C有2222ACAB，但CBC正确. 对称矩阵：若矩阵A，有AAT，则称矩阵A为对称矩阵。
5、设 n 阶对角矩阵naaaA000.0.00.021，显然有AAT，因此矩阵A为对称矩阵。D 不正确 . 例如：设1111A，1111B, 有OAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 / 10 该题正确的选项为C.2. 设A为43矩阵，B为25矩阵，且乘积矩阵TACB有意义，则TC为（）矩阵 A42B24C53 D35解：矩阵乘法定义：BA,要求左边矩阵的列数与右边矩阵的行数相等，而且结果AB仍然是一个矩阵，其行数等于左边矩阵A 的行数，其列数等于右边矩阵B 的列数。A为43,CA要有意义，则矩阵C的行数 =矩阵
6、 A 的列数4；B为25矩阵，则TB为52矩阵，TCB要有意义，则矩阵C的列数 =矩阵TB的行数 2,故C是一个24矩阵，TC是一个42矩阵。该题正确的选项为A. 3. 设BA,均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（） A111)(BABA，B111)(BABACBAABDBAAB解：A 都是错误的。例如：设2001A，2101B，容易验证矩阵BA,均可逆，但BA不可逆，显然111)(BABA是错误的。B 是错误的。逆矩阵的性质：111)(ABBAC是正确的。BAAB=BAABD 是错误的。矩阵的乘法一般不满足交换律。该题正确的选项为C. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
7、归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 / 10 4. 下列矩阵可逆的是（）A300320321B321101101C0011D2211解：矩阵 A 可逆的方法：（ 1）0A；（2）矩阵 A 是满秩矩阵。A 是正确的。因为矩阵是阶梯形矩阵且为满秩矩阵。或06321300320321B 是错误的。220000101321101101，矩阵的秩为 2，不是满秩矩阵，故不可逆。C,D都是错误的。矩阵的秩都为1，不是满秩矩阵，故不可逆。该题正确的选项为A. 5. 矩阵431102111A的秩是（）A0 B1 C2 D3 解：320320111431102111A00032011
8、1该题正确的选项为C. 三、解答题1计算精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 / 10 （1）01103512解：原式 =0315130501121102=5321（2）00113020解：原式 =000000000000（3）21034521解：原式 =085032计算723016542132341421231221321解：原式 =2946122431264682421364982621 =740012771973设矩阵110211321B110111132，A，求AB。解：BAAB2242122) 1(110
9、012112211011113233A二阶行列式bcaddcban 阶行列式的计算方法：1 降阶法：ininiiiinnnniniinAaAaAaaaaaaaaaa.22112121112112 化三角形矩阵nnnnnnaaaaaaaaa.00.0.221122211211精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 / 10 0000110321110110321110211321B所以BAAB=0 4设矩阵01112421A，确定的值，使)(Ar最小。解：01112421A41074042174041042149004
10、10421当49时，)(Ar=2 为最小5求矩阵32114024713458512352A的秩。解：32114024713458512352A321141235234585024710000000000361527002471361527012590361527002471）秩（ A=2 求矩阵 A 的秩的方法：初等行变化A阶梯行矩阵1A，则）秩（ A=1A的非零行的行数。求矩阵 A 的秩的方法：初等行变化A阶梯行矩阵1A，则）秩（ A=1A的非零行的行数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 / 10 6求下列矩阵
11、的逆矩阵：（1）111103231A解：100111010103001231,IA1013400137900012311013402111100012319437323111A（2）A =121511311求1)(AI解：021501310121511311100010001AI下面利用初等行变化法求AI的逆：求矩阵A的逆1A的方法：方法 1：1AIIA初等行变化方法 2：AAA*19431002111100012311,9431007320103110019431007320101885031AI精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8
12、 页，共 10 页9 / 10 100021010501001310,IAI1000210013100105011105200013100105011121000013100105011121003350105610001=1)( ,AII1123355610)(1AI7设矩阵3221,5321BA，求解矩阵方程BXA解：因为BXA则1BAXAAA*1，1655321A，1325*A，1325*1AAA132532211BAX=349102265=1101四、证明题1试证：若21,BB都与A可交换，则21BB，21BB也与A可交换。证明：因为ABABABAB2211,，则结合矩阵运算的分配律有
13、：1解矩阵方程：（1）,BXA若 A 可逆，则111BAXBAXAA。（2）,BAX若 A 可逆，则BAX1。2利用伴随矩阵法求二阶可逆矩阵dcbaA的逆：AAA*1，其中伴随矩阵acbdA*bcaddcbaA若有BAAB，则称A与B可交换。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 / 10 ABBABABABABBBA)()(21212121又利用矩阵运算的结合律有：ABBABBABBBABBABBBA)()()()()()(212121212121因此21BB，21BB都与A可交换。2试证：对于任意方阵A，TAA
14、，AAAATT,是对称矩阵。证明：TTTTTTTAAAAAAAA)()(TTTTTTAAAAAA)()(AAAAAATTTTTT)()(3设BA,均为n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充分必要条件是：BAAB。证明：必要性：因为BBAATT,，AB为对称矩阵，则BAABABABTTT)(。充分性：因为BBAATT,，BAAB，则ABBAABABTTT)(，即AB是对称矩阵。4设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且TBB1，证明ABB1是对称矩阵。证明：因为AAT，B为n阶可逆矩阵，且TBB1，则ABBBABBABABBTTTTTT1111)()()(。若AAT，则称A为对称矩阵。转置矩阵的运算性质：AAABABkAkABABATTTTTTTTTT)( ,)()( ,)(若 A 则 B,则称 A 是 B 的充分条件； B 是 A 的必要条件。若B为可逆矩阵，则11)()(TTBB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页