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1、精品学习资源（一）填空题经济数学基础作业（二）讲评欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1. 如f xdx2 x2 xc ，就f x .答案：2x ln 22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源分析：此题主要是考察原函数的概念，由不定积分f xdxF xc 知， fx 是 Fx欢迎下载精品学习资源的导数，而FX 是 fx 的一个原函数，所以，已知fx 求其原函数是对fx 求积分，已知Fx 求 fx ，是对等式右端求导数；欢迎下载精品学习资源正确解答：f x2 x2 xc2x ln 22欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2. sinxdx .答案：sin xc欢迎下载精品学习资源解：
2、 sin x dxsin xc分析：此题主要考察导数（微分）与不定积分互为逆运算的性质；欢迎下载精品学习资源f xdxf x,df xdxf xdx欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源f xdxf xc,dfxf xc欢迎下载精品学习资源可能显现的错误：欢迎下载精品学习资源sinx dxcos xc ，没有用性质进行求解；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源sinx dxsinx ，留意，我们的性质是先积分后求导结果为一个函数，即被积函数，欢迎下载精品学习资源先求导再积分结果为无穷多函数，即被积函数加任意常数C；欢迎下载精品学习资源3. 如f xdxF xC,就e x f ex dx
3、.欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： ex f ex dxf ex de xF e x C欢迎下载精品学习资源分析：此题主要考察不定积分是函数，其对应关系可看成欢迎下载精品学习资源f dF c;或看成 fuduF uC欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源其次考察凑微分e x dxdex这里的e-x 就是上述公式中的 u ，欢迎下载精品学习资源此题也是 2021 年 1 月的考题 ；欢迎下载精品学习资源例（ 09年7月考题）如f xdxF xC, 就xf 1x2dx .欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： xf 1x2 dx1f 1x2 d 1x2 1 F 1x2 C欢迎下
4、载精品学习资源22摸索一下，下面的例题结果是怎么求出的？欢迎下载精品学习资源例：如 fxdxF xC,就sinxf cos xdx .欢迎下载精品学习资源结果填： -Fcosx+C欢迎下载精品学习资源例：如 fxdxF xC或说: 如F x是f x的原函数）,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源就 f ln xx dx .结果填： Flnx+C欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源24. 设函数de ln1x dx _ .答案： 0欢迎下载精品学习资源dx 1分析：定积分是确定的数值，所以对定积分求导数，结果为0；欢迎下载精品学习资源e可能显现的错误：运算定积分ln11x2 dx ； 当
5、然能做，但运算量要大的多，其欢迎下载精品学习资源结果仍是 0，所以要明白定积分的结果是“数值”，而常数的导数为0.欢迎下载精品学习资源deln1dx1x2 dxln1x2 ， 将不定积分的性质用到这里；欢迎下载精品学习资源de22e2欢迎下载精品学习资源dx1ln1x dx01ln1x ln11e ln 21欢迎下载精品学习资源5. 如P xdt ，就P x .答案：欢迎下载精品学习资源x1t 21x 2欢迎下载精品学习资源分析：此题主要考查变上限定积分的概念，即变上限定积分结果是被积函数的原函数， 所以，对变上限定积分求导数结果应是被积函数再乘以上限的导数；同时，应留意：交换积分上下限，其结
6、果应变号；（二）单项挑选题1. 以下函数中，（）是xsinx2 的原函数欢迎下载精品学习资源1A cosx22B 2cosx2C -2cosx21D -2cosx2欢迎下载精品学习资源答案： D分析：这道题目是求四个被选函数哪个是xsin2x 的原函数，即哪个函数的导数为欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源xsinx2 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源正确解答：由于1 cos x21sin x22 xxsinx2 ，所以1 cos x2 是xsinx2 的欢迎下载精品学习资源222原函数，即答案 D 正确；挑选 A ，错误；由于12122cos x sin x 2 xxsin x
7、 ；欢迎下载精品学习资源挑选 B ，错误；由于222cos x22sin x22x4xsin x2 ；欢迎下载精品学习资源挑选 C，错误；由于 2cos x2 2sin x2 2x4xsin x2 ；欢迎下载精品学习资源2. 以下等式成立的是（）1欢迎下载精品学习资源A sinxdxdcosx B lnxdxd x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源C 2答案： Cx dx1ln 2d2 x D 1 dxdxx欢迎下载精品学习资源分析：此题主要考查的是一些常见凑微分的类型：欢迎下载精品学习资源xdx12 xx1111欢迎下载精品学习资源dx , e dxde ,2dxdln x,dx xx
8、2dx,2 dxd, xx欢迎下载精品学习资源sin xdxd cosx,cos xdxd sin x, 等有意识记住以上类型，对下面的作业题（不定积分的运算）就简洁把握了；3. 以下不定积分中，常用分部积分法运算的是（）欢迎下载精品学习资源A cos2x1dx ，Bx 1x2 dxC. x sin 2 xdxD xdx 1x 2欢迎下载精品学习资源答案： C分析： A,B,D都是凑微分（第一换元法），对这种常见且基本的积分运算题要娴熟把握，是考试的重点欢迎下载精品学习资源cos2x1) dx1cos2x1d2 x11 sin2x1) C;欢迎下载精品学习资源22欢迎下载精品学习资源x 1x2
9、 dx111x2 2 d 1x21 13x2 2C;欢迎下载精品学习资源23欢迎下载精品学习资源xdx11d 1x2 1 ln1x2 C欢迎下载精品学习资源1x221x22而 C 是分部积分，同样，对这种常见且基本的积分运算题要娴熟把握，被积函数是幂函数与三角函数乘积的积分、幂函数与指数函数乘积的积分、幂函数与对数函数乘积的积分是考试的重点x sin 2 xdx1xd cos 2 x1 x cos 2 x1cos 2 xdx1 x cos 2x1 sin 2 xC222244. 以下定积分运算正确选项（）欢迎下载精品学习资源1A 2xdx162 B dx15欢迎下载精品学习资源1Cx21x3
10、dx0 Dsin xdx0欢迎下载精品学习资源答案： D分析：由定积分的几何意义我们有重要推论：奇函数在对称区间的定积分结果为0，故D 对；5. 以下无穷积分中收敛的是（）欢迎下载精品学习资源A 1答案： B1 dx Bx11 dx Cx 20ex dx D1sinxdx欢迎下载精品学习资源分析：利用无穷积分的定义运算；欢迎下载精品学习资源正确解答：1 dx1x211 ， 收敛；所以 B 正确；x 1欢迎下载精品学习资源请记住结论： （ 1）11 dx ，当 p x p1收敛，当 p1 时发散；欢迎下载精品学习资源（ 2）0sin xdx 和0cosxdx ，sin xdx ，0cos xdx
11、 发散；0欢迎下载精品学习资源（ 3）敛；0 ekxdx 当 k0 发散， k0 收敛；ekxdx 当 k00 发散， k0 收欢迎下载精品学习资源假如能够记住上述结论，就可以直接判定而免去运算；三解答题1. 运算以下不定积分分析：娴熟把握基本积分公式是学好这部分内容的基础，且要留意把公式中的x 当成 u来背 ,娴熟把握基本积分方法：直接积分法（用公式和性质）；第一换元法（凑微分）；分部积分法；欢迎下载精品学习资源（ 1）x3dx 答案： ex3xexcln 3欢迎下载精品学习资源e欢迎下载精品学习资源分析：将被积函数3变形为xex3 x ， 利用积分公式e，a xaxdxc 求解，这里ln
12、aa3 .e欢迎下载精品学习资源x33x欢迎下载精品学习资源正 确 解 法 ：x3 dx ex3 x dx e eCln 3exln 31C （ 利 用 对 数 的 性 质 ，欢迎下载精品学习资源ln 3 eeln 3ln eln31,lne13 x3欢迎下载精品学习资源可能显现的错误：不能将被积函数看成为ex x ， 因此不知用什么公式求积分；e欢迎下载精品学习资源x 3 dx ex3 exdx3exc ；欢迎下载精品学习资源用错公式，3xx dx3xxc .欢迎下载精品学习资源（ 2）ee1x2dx答案： 2xx34 x 2352 x 2c5欢迎下载精品学习资源（1x212xx2113欢迎
13、下载精品学习资源解：dxdx2x 2x2 dx欢迎下载精品学习资源xxx43252xx2x 2C 35分 析 ： 注 意 利 用 不 定 积 分 性 质 去 做 ， 即 分 项 积 分 最 简 单 ， 这 里 仍 要 注 意 把欢迎下载精品学习资源1 dx x2xC当公式记，同理1 dx x21C也当公式记 ， 计 算 速 度 就 会 加x欢迎下载精品学习资源快；（ 3）x24dxx2答案：1 x 22 xc2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源2解： x4 dx x2dx1 x22xC欢迎下载精品学习资源x22欢迎下载精品学习资源（ 4）112 xdx 答案：1 ln 12 xc2欢迎下
14、载精品学习资源分析：这是一个复合函数的积分运算，采纳的方法是凑微分法.这里 u12x ，就欢迎下载精品学习资源du2 dx ，于是 dx1 du ，代入积分式中进行换元，再对u 直接用公式求积分.2欢迎下载精品学习资源正确解法：1 dx =112dx11d12 x欢迎下载精品学习资源1 2 x u12 x1 ln 12 xc221u 1 2 x2 x1 1 du =2 u212 x1 ln uc 2欢迎下载精品学习资源可能显现的错误：不能正确地找出微分因子2 ；欢迎下载精品学习资源用错积分公式，如112 xdx =11212x2) dx11212 xd12 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学
15、习资源u 1 2 x11du =2u1 ln1c212 x欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源这里关键要记住常见的凑微分类型速度才能快起来，像下面这样做：dx1 d kxC , 且娴熟后应当直接凑微分k欢迎下载精品学习资源1dx11d 12 x1 ln 12 xC12x212 x2欢迎下载精品学习资源（ 5） x2x2 dx 答案：11 2313x 2 2c13欢迎下载精品学习资源解： x2x2 dx2x2 2d 2x2 2x2 2C欢迎下载精品学习资源23欢迎下载精品学习资源（ 6）sinx dx 答案：x2cosxc欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： sinx dxx2 si
16、nxdx2cosxC欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 7）xsinx dx 答案： 22 x cos x24 sin xc2欢迎下载精品学习资源2解： xsinx dxx2 x cos xx2 xcos x4sin xC欢迎下载精品学习资源xd cos2cosdx222222分析：题做娴熟后，像下面的简洁凑微分的题应直接看出结果，在心里边凑微分，如欢迎下载精品学习资源sin2x dx1 cos 2 xC;21 xe2 dx1 x2e 2C;1dxx1ln x1C;等欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（8）ln x1dx 答案： x1 ln x1xc欢迎下载精品学习资源欢迎下载精
17、品学习资源分析：这是用分部积分法运算积分的题目，且uln x1,vx,欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源ln x1dxx ln x1xdln x1x ln x1xdxx ln x1 x1x1 1 dxx1欢迎下载精品学习资源x ln x1dx1dxxln x1dx x11dx1x1x ln x1xln x1c欢迎下载精品学习资源留意这里用到了“在分子加1 减 1”的技巧；2.运算以下定积分欢迎下载精品学习资源2（ 1）112xdx答案： 52121122欢迎下载精品学习资源解：11xdx =1xdx1x1dx =11dx1xdx1xdx11dx1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源1
18、= x 11 x 2 1211 x2 2212315 .x20122欢迎下载精品学习资源分析：留意到被积函数是一个带有肯定值的函数，积分时必需把肯定值符号去掉，依据肯定值函数的定义，就要看看1x 在积分区间 1,2 是否有变号（即由正变负或由负变正）的情形 .1xx1欢迎下载精品学习资源由于 1x，即 xx1x11 是使函数转变符号的点，因此利用积分区间的可加性欢迎下载精品学习资源此定积分分为两个积分的和，即欢迎下载精品学习资源211xdx =111xdx2 x1dx1欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源可能发生的错误：221xdx =111xdx ，这是将 1x 等同于 1x ，需要指出
19、的欢迎下载精品学习资源是，定积分中的积分变量是与积分区间有关的，积分区间的不同，可能被积函数的表达式欢迎下载精品学习资源就不同，此题就是一个典型的例子；运算错误.12 e xxee欢迎下载精品学习资源（ 2）2 d1x1答案：欢迎下载精品学习资源12 ex211 2欢迎下载精品学习资源1解： x2e3dxex dexee1x11欢迎下载精品学习资源（ 3）1x 1ln xdx 答案： 2欢迎下载精品学习资源e31解：e311e3dxdx1d1ln x欢迎下载精品学习资源1x 1ln xe311ln x x11ln x欢迎下载精品学习资源21ln x1422欢迎下载精品学习资源分析：这是一个换元
20、积分法求积分的题目，其中u1lnx ， du1 dx ，设法将积分x欢迎下载精品学习资源函数变为1 ，然后对 u 求积分即可 .u欢迎下载精品学习资源（此法没有换元，所以就不用换限）欢迎下载精品学习资源方法二：换元换限， 令 u1lnx ，当 x1 时 u1，当 xe 3时 u4 ，于是欢迎下载精品学习资源e31dx1x 1ln xe3111ln x1 dx xe3111lnd1x41ln xdu1u欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源4= 2u12412欢迎下载精品学习资源留意，定积分的换元积分法进行运算时，换元肯定要换限，积分变量要和自己的积分限欢迎下载精品学习资源相对应，此题中，变量
21、x 的区间是1, e3 ，而变量 u 的积分区间是1,4 .欢迎下载精品学习资源在换元换限时 , 新积分变量的上限对应于旧积分变量的上限, 新积分变量的下限对应于旧积分变量的下限 , 当以新的变量求得原函数时可直接代入新变量的积分上、下限求积分值即可无须在仍原到原先变量求值.3可能显现的错误：换元不换限；欢迎下载精品学习资源运算错误，如1 ln e32 ，正确选项：1ln e13 ln e42 ；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源公式用错，没有把11视为 u 2 .u欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源（ 4）2 xcos 2 xdx 答案：102欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习
22、资源解：2 x cos2xdx = 12xsin 2 x12 sin 2 xdx欢迎下载精品学习资源001 cos 2 x 24020201 111421欢迎下载精品学习资源分析：这是用分部积分法运算积分的题目，且 ux, vcos 2 x ，得出 vsin 2 x .2欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源可能显现的错误：由vcos 2x 得出 v2sin 2 x ，留意 v 是 v 的一个原函数，当你写欢迎下载精品学习资源出 v时，要求导，验证一下是否正确.欢迎下载精品学习资源三角函数值计记错；正确选项sin 0sin0 ， cos 01,cos1；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资
23、源（ 5）ex ln xdx 答案：11 e 214欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源e解： x ln xdx1e ln xdx21 x2 ln x e1e x211 2dxe1 x2 e欢迎下载精品学习资源12 12121x241欢迎下载精品学习资源1 e21 e211 e2124444分析：这是幂函数与对数函数乘积的积分，肯定要记住公式：bbbbuv dxudvuvvduaaaaeee1e欢迎下载精品学习资源例：ln xdxx ln xxdxexee11 直接看成分部积分公式去做；欢迎下载精品学习资源14（ 6）11x1xe x dx4欢迎下载精品学习资源1答案： 55e0欢迎下载精
24、品学习资源解： 4x44x44-x欢迎下载精品学习资源1xedxdxxedxxxde00000欢迎下载精品学习资源4xe x 4 044e xdx=4-4e -4e x0044e 4e 4155e 4欢迎下载精品学习资源分析；做完上述作业，要娴熟把握基本积分方法，特殊是第一换元积分法凑微分 和分部积分，这是我们教案和考试的重点；下面是近年考题，由此看出作业的重要性（有的就是作业题，有的与作业大同小异）；欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例（2021年1月考题）运算积分2 xsin x2dx0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： 2 xsin x2dx12 sin x2dx21 cosx22011欢迎下载精品学习资源02 02220欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源例（ 09年7月考题）2 xcosx dx0欢迎下载精品学习资源欢迎下载精品学习资源解： 2 xcosx dx2 xd sinxx sin x 22 sinx dxcos x 21欢迎下载精品学习资源00022欢迎下载精品学习资源例（09年1月考题）x001dx1ln x欢迎下载精品学习资源解：1dx x 1ln x11ln xd 1ln x2 1ln xC欢迎下载