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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 线性代数课件 _Lect10 33 带度量的向量空间一向量的内积二向量的度量定义 设 是欧氏空间任取 就 的长度 规定为定义 设 是欧氏空间 且 均不是零向量就 与 的夹角 规定为这里定义 如 就称向量 与向量 正交记为例 设 就对任意 与任意 均有定理 设 是欧氏空间与 1 三角不等式 2 勾股定理如就三标准正交基是 中任意两个向量就有定义 设 是欧氏空间是 中m个非零向量如 两两正交就称是正交向量组由单位向量构成的正交向量组称为标准正交向量组名师归纳总结 例 在欧氏空间中自然基是标准正交向量组第 1 页,共 9 页- - - - - - -
2、精选学习资料 - - - - - - - - - 定理 设 是欧氏空间的一个正交向量组就线性无关证 设 是正交向量组令两边同时与 做内积得 因 两两正交故于是 又 故 由此得 同理可证 所以 线性无关线性无关向量组的标准正交化 问题 线性无关的向量组不肯定是正交向量组但能否在线性无关向量组的基 础上构造出一个正交向量组呢 设 线性无关令就并且 故 又 故 从上式解得已知 线性无关故 于是 是正交向量组 令 就 是标准名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 正交向量组此外定理 设 是欧氏空间是中 m个线性无关的向量就中存在
3、m个标准正交的向量 并且也就是说任何线性无关的向量组均可化为标准正交向量组 Schmidt 正交化方法 已知 线性无关 正交化 单位化 例 已知中的 求三个标准正交的向量 解 1 正交化单位化 就 即为所求的一个标准正交向量组向量空间的标准正交基定义 设 是欧氏空间就中由正交向量组构成的基称为正交基中由标准正交向量组构成的基称为标准正交基例 欧氏空间的自然基即是标准正交基定理 设 是欧氏空间且就 肯定存在标准正交基名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 已知欧氏空间中的两个标准正交向量把扩充为的标准正交基解 利用 Sc
4、hmit 正交化方法 1把 扩充为 的一个基 2取向量 易证 线性无关因此它们是的一个基把 化为 的一个正交基令 就 两两正交且无零向量因此它们是的一个正交基 3把 化为 的一个标准正交基 令 就 即为 的一个标准正交基方法二通过解线性方程组 设向量与两已知向量正交就有 求解得其一般解为于是求单位向量解即为所求 四正交矩阵 定义 设如就称是正交矩阵 注 正交矩阵 满意 设为正交矩阵的列向量组为由 得 所以又 欧氏空间且名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 与的内积故有即 是 中的标准正交向量组定理 设 就 是正交矩阵的充
5、分必要条件是 例 设 其中 证明是正交矩阵 证明 的列向量组标准正交 是正交矩阵 另法又 而故 所以于是是正交矩阵例 设 证明如 可逆就 可表示为的列行向量组是标准正交的其中 是 n 阶正交矩阵是 n 阶可逆上三角阵上式称为实方阵的正交分解 小 结1 向量空间的基维数坐标 求过渡矩阵求坐标名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 子空间 求齐次线性方程组解空间的基维数 求向量组生成的向量空间的基维数 3正交运算 把握内积及其性质 求向量的长度及两个向量间的夹角判定两个向量是否正交 判定一个向量组是否为正交向量组 把握正交
6、矩阵及其性质 标准正交向量组 Schmidt 正交化方法 第四章 行列式 41 排列 定义 由 n 个数 12 n 组成的一个有序数组称为一个 n 阶排列 例如 123455432142315 均为五阶排列 定义 在一个排列中假如两个位置上的数排在前面的大于排在后面的就称这 两个数构成一个逆序一个排列中所含逆序的总数称为该排列的逆序数排列 jj j 的逆序数记为 jj j 例如 12345 0 54321 10 42315 5 42 行列式的定义 解二元线性方程组名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 其中 i j 1 2
7、为常数 j 1 2为未知数由消元法可知当 时可得上述方程组有唯独解 规定符号 就上述方程组的解可表示为 称式左端为二阶行列式它含有两行两列称为它的元素其下角标i 表示 所在的行数表示所在的列数 式左端符号只是个记号它的实质意义是式右端的代数式称之为二阶行 列式的绽开式它是一个数 红实线称为该行列式的主对角线蓝虚线称为该行列式的次对角线或副对角 线 再看三元一次方程组其中 i j 1 2 3为常数 j 1 2 3为未知数由消元法可知当 时可得上述方程组有唯独解 记 就 于是 称式中的符号名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为三阶行列式它含有三行三列称为它的元素其下角标i 表示 所在的行数表示所在的列数三阶行列式的实质意义是式右端的代数式称之为三阶行列式的 绽开式它也是一个数 红实线称为该行列式的主对角线蓝虚线称为该行列式的次对角线或副对角 线 设就分别称行列式为方阵和的行列式记为 和 作业 习题三 P164 172022 3 2428 习题四 P209 6 1 19 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 9 页