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1、线性代数课件 _Lect10 33 带度量的向量空间一向量的内积二向量的度量定义 设是欧氏空间任取则 的长度 规定为定义 设 是欧氏空间且 均不是零向量则与 的夹角 规定为这里定义 若 则称向量与向量 正交记为例 设 则对任意与任意 均有定理 设 是欧氏空间与是 中任意两个向量则有1 三角不等式2 勾股定理若则三标准正交基定义 设 是欧氏空间是中m个非零向量若两两正交则称是正交向量组由单位向量构成的正交向量组称为标准正交向量组例 在欧氏空间中自然基是标准正交向量组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页定理 设 是欧氏空间
2、的一个正交向量组则线性无关证 设 是正交向量组令两边同时与做内积得因 两两正交故于是又 故 由此得同理可证所以线性无关线性无关向量组的标准正交化问题 线性无关的向量组不一定是正交向量组但能否在线性无关向量组的基础上构造出一个正交向量组呢设 线性无关令则并且 故又 故 从上式解得已知 线性无关故于是 是正交向量组令 则 是标准精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页正交向量组此外定理 设 是欧氏空间是中m个线性无关的向量则中存在 m 个标准正交的向量 并且也就是说任何线性无关的向量组均可化为标准正交向量组Schmidt 正交
3、化方法已知 线性无关正交化单位化例 已知中的求三个标准正交的向量解 1 正交化单位化则 即为所求的一个标准正交向量组向量空间的标准正交基定义 设 是欧氏空间则中由正交向量组构成的基称为正交基中由标准正交向量组构成的基称为标准正交基例 欧氏空间的自然基即是标准正交基定理 设 是欧氏空间且则 一定存在标准正交基精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页例 已知欧氏空间中的两个标准正交向量把扩充为的标准正交基解 利用 Schmit 正交化方法1把 扩充为 的一个基取向量 易证 线性无关因此它们是的一个基 2把 化为 的一个正交基令
4、则 两两正交且无零向量因此它们是的一个正交基 3把 化为 的一个标准正交基令则 即为 的一个标准正交基方法二通过解线性方程组设向量与两已知向量正交则有求解得其一般解为于是求单位向量解即为所求四正交矩阵定义 设若则称是正交矩阵注 正交矩阵满足设为正交矩阵的列向量组为由得所以又 欧氏空间且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页与的内积故有即 是 中的标准正交向量组定理 设 则 是正交矩阵的充分必要条件是的列行向量组是标准正交的例 设 其中 证明是正交矩阵证明 的列向量组标准正交 是正交矩阵另法又 而故 所以于是是正交矩阵例
5、设 证明若 可逆则 可表示为其中 是 n 阶正交矩阵是 n 阶可逆上三角阵上式称为实方阵的正交分解小结1 向量空间的基维数坐标求过渡矩阵求坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页2 子空间求齐次线性方程组解空间的基维数求向量组生成的向量空间的基维数3正交运算掌握内积及其性质求向量的长度及两个向量间的夹角判断两个向量是否正交判断一个向量组是否为正交向量组掌握正交矩阵及其性质标准正交向量组 Schmidt 正交化方法第四章行列式41 排列定义 由 n 个数 12 n 组成的一个有序数组称为一个n 阶排列例如 1234554
6、32142315 均为五阶排列定义 在一个排列中如果两个位置上的数排在前面的大于排在后面的则称这两个数构成一个逆序一个排列中所含逆序的总数称为该排列的逆序数排列jj j的逆序数记为 jj j 例如 12345 0 54321 10 42315 5 42 行列式的定义解二元线性方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页其中 i j 1 2为常数 j 1 2为未知数由消元法可知当时可得上述方程组有唯一解规定符号则上述方程组的解可表示为称式左端为二阶行列式它含有两行两列称为它的元素其下角标i 表示 所在的行数表示所在的列数式
7、左端符号只是个记号它的实质意义是式右端的代数式称之为二阶行列式的展开式它是一个数红实线称为该行列式的主对角线蓝虚线称为该行列式的次对角线或副对角线再看三元一次方程组其中 i j 1 2 3为常数 j 1 2 3为未知数由消元法可知当时可得上述方程组有唯一解记则于是称式中的符号精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页为三阶行列式它含有三行三列称为它的元素其下角标i 表示 所在的行数表示所在的列数三阶行列式的实质意义是式右端的代数式称之为三阶行列式的展开式它也是一个数红实线称为该行列式的主对角线蓝虚线称为该行列式的次对角线或副对角线设则分别称行列式为方阵和的行列式记为和作业习题三 P164 172022 3 2428 习题四 P209 6 1 19 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页