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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数值线性代数课程设计报告姓名:陶英学号:081410124 任课老师 :杨熙南京航空航天高校2022 年 6 月 22 日名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求解线性方程组的三种迭代法及其结果比较摘要 当今的环境下, 数值运算越来越依靠于运算机； 大规模科学运算和工程技术 中很多问题的解决, 最终归结为大型稀疏线性方程组的求解,其求解时间在整个问题求解时间中占有很大的比重,有的甚至达到80%；由于现今科学争论和大型项目中各种复杂的可以对运算精度和运算速度的要求越来越高
2、；因此,作为大规模科学运算基础的线性代数方程组的高效数值求解引起了人们的普遍关注；这种方程组的求解一般采纳迭代法；关于迭代法,是有很多种解决公式的：Jacobi ,G-S和超放松迭代法；这三种方法的原理大致相同,Jacobi 需要给定初向量, G-S就需要给定初值,超放松法是对 Guass-Seidel 迭代法的加权平均改造； 而本文就是对大型稀疏线性方程组迭代求解与三种迭代法（ Jacobi,Gauss-Seidel和超放松迭代法）的收敛速度与精确解的误差比较做出争论；关键词： Jacobi 迭代法； Gauss-Seidel 迭代法； SOR迭代法；线性方程组名师归纳总结 - - - -
3、- - -第 2 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 方法与理论的表达1.1 迭代法简介1.Jacobi 迭代法：对于非奇特线性方程组就原方程组可改写为：其中给定初始向量：Ax=b,令 A=D-L-U,其中由（ 2.2 ）可以构造迭代公式：其重量形式为：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2. Guass-Seidel 迭代法：类似于 Jacobi 迭代法,给定初值：令就得到 Guass-Seidel 公式：其重量形式为：3. 超放松迭代法（ SOR 迭代法）：SOR迭代法是对 Gu
4、ass-Seidel 迭代法的加权平均改造,即名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为 Guass-Seidel 迭代解,即它的重量形式为：其中 称为放松因子,当 1 时称为超放松；当 1 时叫低放松； =1 时就是 Guass-Seidel 迭代；上述三种经典迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵谱半径小于 1；谱半径不易求解,而在肯定条件下,通过系数矩阵 A 的性质可 判定迭代法的收敛性；定理 1：如系数矩阵 A 是严格对角占优或不行约对角占优,就 Jacobi 迭代法 和 Gauss-Seidel迭代法均收敛；定理
5、2：（1）SOR 迭代法收敛的必要条件是 0w2；0w clear x=linspace0,1; truy=1-0.5/1-exp-1/1*1-exp-x./1+x.*0.5; figure; plotx,truy,g,LineWidth,1.5; hold on; Grid 图：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.3 三种迭代法Jacobi 法：代码见附录 Eps=1 结果：迭代次数 k：22273 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解,黑色细线是迭代结果）Eps=0.1 结果：迭代次数 k：8753 结果与
6、精确解的比较图（绿色粗线是精确解,黑色细线是迭代结果）名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - Eps=0.01 结果：迭代次数 k：661 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解,黑色细线是迭代结果）名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - G-S迭代法： 代码见附录 Eps=1 结果：迭代次数 k：11125 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解,黑色细线是迭代结果）名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 22 页精选学习资料
7、 - - - - - - - - - Eps=0.1 结果：迭代次数 k：4394 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解,黑色细线是迭代结果）名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - Eps=0.01 结果：迭代次数 k：379 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解,黑色细线是迭代结果）超放松法： 代码见附录名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - Eps=1 w=1.56 结果：迭代次数 k：3503 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解,
8、黑色细线是迭代结果）Eps=0.1 w=1.56 结果：迭代次数 k：1369 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解,黑色细线是迭代结果）名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - Eps=0.01 w=1.56 结果：迭代次数 k：131 结果与精确解的比较图（绿色粗线是精确解,黑色细线是迭代结果）名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3 分析争论及心得体会3.1 三种方法的比较Jacobi 、G-S、超放松法,三者都能够取得对精确解的良好靠
9、近,但是,在相同的精度条件下,三者的收敛速度是不一样的,jacobiG-S 超放松,也就是说,在迭代次数相同的条件下,精度：jacobiG-Sj Li,j=-Ai,j; end end end U=zerosn-1; for i=1:n-1 for j=1:n-1 if ij Ui,j=-Ai,j; end end end B=DL+U; g=Db; while 1 z=B*y+g; if normz-y,infj Li,j=-Ai,j; end end end U=zerosn-1; for i=1:n-1 for j=1:n-1 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页,共 2
10、2 页精选学习资料 - - - - - - - - - if ij Ui,j=-Ai,j; end end end B=DL+U; g=Db; while 1 z=D-LU*y+D-Lb; if normz-y,infj Li,j=-Ai,j; end end end U=zerosn-1; for i=1:n-1 for j=1:n-1 if ij Ui,j=-Ai,j; endendend B=DL+U; g=Db; Lw=D-w*L-1*1-w*D+w*U; while 1 z=Lw*y+w*D-w*L-1*b; if normz-y,infdelta break ; end y=z;k=k+1; endx=linspace0,1; truy=1-a/1-exp-1/eps*1-exp-x./eps+x.*a; figure; 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - plot100*x,truy,g , LineWidth,5; hold on; grid hold on; 名师归纳总结 ploty,b 第 22 页,共 22 页- - - - - - -