《2022年东北大学线性代数课件第一章行列式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年东北大学线性代数课件第一章行列式.docx（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载第一章 行列式教学基本要求：1.1. 明白 行列式的定义 . . 2. 把握 行列式的性质和运算行列式的方法3. 会运算简洁的n 阶行列式 . 4. 明白 Cramer 法就 . 一、行列式的定义1. 定义a 11 a 12 a 1 na 21 a 22 a 2 n称 为 n 阶 行 列 式 , 记 作 D 或 D n 或 | a ij | n , 它 是 n 2 个 数a n 1 a n 2 a nnija i 1 , 2 , n j , ; 1 , 2 n 的一个运算结果：a 11
2、a 12 a 1 na 21 a 22 a 2 nD a A 11 a A 12 a A 1 n,1.1 主对角线 a n 1 a n 2 a nn其中,a ij i 1,2, , ; n j 1,2, , n 为行列式位于第 i 行且第 j 列的元素,A 1 j 1 1 jM 1 j j 1,2, , n ,而 M 1 j 为划掉行列式第 1 行和第 j 列的全部元素后余下的元素组成的 n 1 阶行列式,即a 21 a 2 j 1 a 2 j 1 a 2 na 22 a 3 j 1 a 2 j 1 a 3 nM 1 ja n 1 a n j 1 a n j 1 a nnM 1 j 称为元素
3、a 1 j 的 余子式 ,A 1 j 称为元素 a 1 j 的代数余子式 . 2. 基本行列式：1 一阶行列式|a |a. a a 22a a 21. 第 1 页,共 21 页 例如, |106|106 ,a 122121. 2 二阶行列式a 11a21a 22细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3 三阶行列式a 11a 12a 13优秀学习资料欢迎下载32. a21a22a23a a a 33a a a 31a a a
4、32a31a32a33a a a31a a a33a a a4 三角形行列式a 11对角行列式a a 22ann. a nn 3.a 111a a22a nn. 下三角行列式an 1anna a 1122a nn. a 11a 1n上三角行列式anna 1nn n1an 1. 12a a2nan 11an 1. 1a 1 nn n1 12a a2nan 1a nna11a 1nn n1an 1. 1 12a a2nan 1nn留意： 、和的结果中均有符号1 2. 行列式的性质a 11a 12a 1 nDT. a 11a21a n1 第 2 页,共 21 页 Da 21a 22a 2n,a 12
5、a22a n2a n 1a n2a nna 1 na 2na nn性质 1.1 DTD. 1.2 性质 1.1 的意义：行列式的行所具有的性质列也具有下面仅针对 行表达行列式的性质. 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载2a A in, i1,2, n . 1.3 性质 1.2 行列式的绽开性质a 11a 12a 1na 21a 22a 2na A i1a A ia n1a n2a nn0203例如,行
6、列式D11202A 123A 14020030592A 323A 149A 446.一个 n 阶行列式有个余子式,有个代数余子式；一个元素的余子式与代数余子式或或 . 有关,与该元素的无关 .应当留意到 ,一个元素的余子式或代数余子式与该元素的性质 1.3 行列式的公因子性质 性质 1.3 仍可以这样表述：ka i 1ka ink a i 1ain. 1.4 用数 k 乘以行列式某一行的每一个元素,等于用数k 乘以行列式 . 246123116. 5829. 例如,40524052 581061060.50.5 10.520.5 31234050.5405106106推论行列式的一行元素全为零
7、 ,行列式 为零 .性质 1.4 行列式的拆分性质 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页,共 21 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载a 12b ina 1 na 1n. 1.5 a 11b i1c i1b i2c i2c ina n 1a n2a nna 11a 11a 12a 1na 12性质 1.4 可以推广到一行有更多个数相加的情形b1b i2b inc i1c i2c ina n1a n2a nna n 1a n
8、2a nn. 性质 1.5 行列式两行元素对应全相等 ,行列式 为零 .推论 1 行列式两行元素对应成比例 ,行列式 为零 . 1a A j j 2a AjnDij. 1.6 推论 2 设行列式D|aij| n,就a A j这里,ij1,ij,ij为 Kronecker 符号 . 0,ij.a 1 na 11a 12a 1 n性质 1.6 行列式的不变性质 a 11a 12a i1a i2a ina i1a i2a in. 1.7 aj1ka i1aj2ka i2ajnka in.aj1aj2ajn 第 4 页,共 21 页 a n 1a n2a nna n 1an2ann性质 1.6 的意义
9、：任何一个行列式都可化为三角形行列式,从而算出值性质 1.7 行列式的变号性质细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载aj1aj2ajna i1a i2a in总结：利用性质1.6aj1aj2ajna i1a i2a in ij. 1.8及其它性质与推论,可以更简洁地将一个行列式化为“ 三角形” 行列式. 步骤如下：a11a 121a 1 n1a 1n1a 11a 12a 1 n1a 1 nn 1a 1 n
10、 1n 1 a 1 n. a21a 22a2n1a2n0a 22a 2n1a 2nan 1a n2ann1a nn0a n2a nn1a nna 11a 12a 1n1a 1 nan 1 11n 1 a 120a 22a 2n1a2 n30n 1 a 2221an 1an 12 n12n00ann1ann000an 1 nn2322133例如,40504501601658. 1060160450029在实际运算中,往往是“ 化零” 与“ 绽开” 结合着进行,需要依据行列式的特点敏捷地运用行列式的性质 二、行列式的运算行列式的运算过程,大多可以通过如下符号指示： 第 5 页,共 21 页 - -
11、 - - - - - - - 交换 i , j 两行 列 ：r i i r （c ic ）；第 i 行 列 提取公因子k：irk （ick ）；第 j 行 列 的 k 倍加到第 i 行 列 ：r ikr （c ikc ） .0112例 1.1 运算行列式D1102. 12102110细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -解D优秀学习资料欢迎下载. 第 6 页,共 21 页 011211021210或D21101111002（5 1）1212（6 1）121211
12、21124264. 0112011211021010121012102110211010125 11212 24.例 1.22110203运算行列式D1120. 02009063059解D2150036126. 12035359或D3A 149A 443M149M44 3 2或D020302031120r 43 r 11120020002003059365031126126. 例 1.3 5 1 020353651110运算行列式D8211. 3101细心整理归纳 精选学习资料 5356 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总
13、结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载 第 7 页,共 21 页 - - - - - - - - - 11100010解D82116111.3101410153562256例 1.4运算 n 阶行列式12n1n23nn1Dn.n1n2n32n2nn12 n22n11 , n1,解Dn1 , n2,0, n3.abb例 1.5 例 1.10 P16 运算 n 阶行列式Dbab. bban解分析：留意到该行列式的特点是,主对角线上的元素是同一个值,主对角线之外的元素都相同,那么运用,有Dc 1incnan1 bbb2an1 baban1 b
14、ban 这时行列式,连续 an1 bbbicc10ab0i2,n00abn 这时行列式,连续 an1 b ab n1例 1.6 例 1.11 P16 设行列式Daijn的阶数 n 为奇数,且a ijajii,j,1,2,n,求 D解分析：条件aijaji i,j1 , 2,n 说明aii0i,1,2,n,0a 12a 13a 1na 120a23a2nDa 13a230a 3n 称为 反对称行列式 a 1na2na 3n0细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -
15、每行提取公因子-1 ,然后做转置运算,有优秀学习资料欢迎下载 0a 12a 13a 1nD,a 120a 23a 2n 1na 13a 230a 3na 1na2na 3n00a 12a 13a 1 na 120a 23a2na 13a 230a3na 1na 2na 3n0从而 D=0例 1.7 例 1.12 P17 运算 n 阶行列式2 11 2 1D n 1 . 三对角行列式 2 11 2 n解 分析：该行列式对角线上的元素全为,次对角线上的元素全是,其余元素都是 0由于 0 元素比较多,所以利用绽开性质 也说降阶法 来运算 . 将 Dn 按第行绽开,有Dn2M111M12. D2D13
16、21,留意到M11Dn1,假如再将M12按第列绽开,即有M12Dn2于是得到一个递推公式Dn2Dn1Dn2. 现在考虑数列Dn,由DnDn1Dn1Dn2可知,数列Dn是一个等差数列,公差为首项D12,从而第 n 项Dnn1降阶法是求三对角行列式的常用方法,但不是唯独的方法. 另解,Dn21121n2r2r 1121221n 第 8 页,共 21 页 1203112细心整理归纳 精选学习资料 1212 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3 r 3r
17、211212231214r 4优秀学习资料欢迎下载1n210303204r 311043231640212n1211 .10323nn1. 041nnn10n1n三对角行列式的一般形式为Dna 1b 1a n1bn1n. 1.9 c 1a2b 2c 2例 1.8 例 1.13 P17Vandermonde 行列式a j j a i i . 1.10 c n1a n1111a 1a 2a 3anDn2 a 12 a 22 a 32 a n1 i i jnn a 11an1an1an123n记住 Vandermonde 行列式的特点、结果,明白 证明方法 . 三、行列式应用1. 求解特别的线性方程
18、组考虑 n 元线性方程组细心整理归纳 精选学习资料 a 11x 1a 12x2a 1nx nb 1, 1.112a21x 1a 22x 2a 2nx nban 1x 1an2x 2a nnxnbn. 第 9 页,共 21 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料欢迎下载0,就该方程组有惟一解：a 11a 12a 1 nb 1a 12a 1 n记Da21a22a 2 n,D1b2a 22a2n,an 1a n2a nnbnan2anna 1
19、1b 1a 1na11a 12b 1D2a21b 2a 2n,Dna21a22b 2. an 1b nannan 1an 2b n定理 Cramer 法就 如线性方程组 1.11 的系数行列式Dx iDiD （i1,2,n ） 1.12例 1.9 例 1.14 P20解线性方程组由于解该方程组的系数行列式2x 12x 2x3D,1,13202x 1x 23 x 32x 12x 2x 30.D 及 D1、D2 和 D3 分别为D12112121320,D 12133,D20211211111212235,D321213. D1011200,故方程组有唯独解：x 1D1D320,x2DD52014
20、,x 3D3对于齐次线性方程组a 11x 1a 12x2a 1 nx nn0 , 1.13 a21x 1a22x 2a 2nx0,an 1x 1an2x 2a nnxn0 ,有如下结论：推论当齐次线性方程组1.13 的系数行列式不为零时,它只有零解. 第 10 页,共 21 页 该结论也可以表述为：如齐次线性方程组有非零解, 就方程组的系数行列式必为零细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -优秀学习资料 欢迎下载2. 用行列式
21、表示几何图形的面积和体积 . 3. 用行列式表示直线、平面方程和判定三点是否共线、四点是否共面 . 4. 用行列式解决多项式函数的插值问题 . 四、习题 P26-30 挑选题：1.Di irr 1,n111n 11. 010i 2,001填空题：5. M41M424M43M44A 41A 42A 43A 443002222. 07001111解答题：1. 解A 414A 422A 432131. 1420320114202. 提示：由 A 31=-2 ,求出 x,再运算 A 12.3.3 DnaD n1an 2D2an2a1an2a21. 1a细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - -
22、 - - - - - - - - - 第 11 页,共 21 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -a ndn优秀学习资料欢迎下载4 D2ncn, 1,a 1d 1n3.b nna b ic d .c 1b 1i 15 Dir i r 31,2,4,n1,7,n2,c i c 31,2,4,i, 6n3.,xa 1a 1a 2an 1a n16 Dc iac in 10xa 2an 1a n1nxa . 第 12 页,共 21 页 i 1,2,n00xa n1i 17D000112n1nir i 1r i1
23、111n1n111n,211 1n111n2n1ic ic 1100n细心整理归纳 精选学习资料 10n0n12,n01n0c 11ci11ini11n2n200n0ni2,n00n00n00n1n21ni1 12 nn 11ni 2nn1n 1nn 1. 122 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x 1a2an1优秀学习资料欢迎下载8Da 1xxa n1x011n1ia ia icia c i n 1a 1a2xn10001x 1a 1002a
24、201i 1,2,n00nan1a 1a2an1r n 1xa iia ix 1a 100r i0x2a 2010xnan10i 1,2,nx10n0nxi0i 1xa ia i.a xa 1ax1ai 1a111 Daax201a1 第 13 页,共 21 页 c iacn 1anaaxn10001x100x20101i 1,n00xn1aaa1x100x201n00xn11a0001xii 1x1x 11a.i 1xi细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - -
25、 - - - - - - - - -9 方法一左端按最终一行绽开优秀学习资料欢迎下载方法二左端按第一列绽开,产生递推公式D nxDn1a . . 方法三左端产生下三角行列式. 从其次列开头,依次将前一列的1倍加到后一列上x方法四左端从最终一列开头,依次将后一列的x 倍加到前一列,然后按第一列绽开. 10 方法一Dnnabababna2bDn 1abDn21abab1ab1abDaDn 1b Dn 1aDn2abn2DaD 1bnDaDn 1bnnDaD n2bn 1n 1n2 b2DaD 1b22Dan 1abbnn 1 abnanan 1 ban2 b2abn 1n b .方法二Dna1ba
26、ababa1baabn 第 14 页,共 21 页 b1细心整理归纳 精选学习资料 b - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -aababa1b优秀学习资料a欢迎下载nbab1ab0ababbab11aba0abaabn1ab1aabbDn 11ab1bnaababa1bDn 11aba1bababn 1anbDn 11同理,DnbnaDn 12 n b . 由1 a, 2 b 得 aDn-an+1= bDn-bn+1,所以Dn=b n+1-a n+1/
27、b-a=anan 1 bn a2b2n 1 ab1111112 设Da 1a2a 32xA 2nanxn1,这是一个范德蒙行列式. 第 15 页,共 21 页 n a 12an 22an 3an n2n x21n a 11an1an 3an1n x12nn a 1an 2n a 3n a nn xDnna iaj2naan x1xa i i ii1n ij1n1aa iaxnaan细心整理归纳 精选学习资料 n ij1n1xn1A n n1n ij1n x A n11A 1n1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -111M12nA n n优秀学习资料欢迎下载a 1a2a3a n1n a 12n a 12an2n a 11n a 1anan 3an n2D 的元素xn1 的余子式n n1na 1a 2ann i j j 1a iaj .ca11ab7. 提示： x=Dx/D, D=-4 AC111