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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章第三章 线性方程组本章包含两个内容：向量和线性方程组. 争论线性方程组的解是线性代数的最主要的任务,用矩阵方法来争论线性方程组的解的情形和求解线性方程组,用向量表示线性方程组的解和表达解之间的关系 . 1 线性方程组定义 3.1 由 m 个方程 n 个未知量组成的线性方程组的一般形式：a 11x 1a12x 2a 1nxnb 1a21x 1a22x 2a 2nxnb 2am 1x 1am2x 2amnxnb m矩阵形式是：Ax b其中矩阵a 11 a 12 a 1 n b 1 x 1A a 21 a 22 a 2 n,b = b 2 ,
2、x = x 2a m 1 a m 2 a mn b m x m分别称为 系数矩阵 ,常数项矩阵和未知量矩阵,称 A b 为增广矩阵 ,满意线性方程组的有序数组 x 1 , x 2 , , nx 称为线性方程组的 解,线性方程组的全部解组成解集,求解的过程称为 解线性方程组 . 对方程进行适当变化而解不变,叫做 1 交换两个方程的位置；同解变换 . 明显,以下三种变换是同解变换：2 用一个非零数同乘某个方程的两边；.3 把一个方程乘以某个数加到另一个方程上2 线性方程组的消元解法线性方程组的消元解法就是利用上述的三种同解变换,逐步消去未知量化为一元一次方程,得到这个方程中的未知量的解,再逐步回代
3、得出其它未知量的解；也就是两个过程：消元和回代；观看下面的例子,体会同解变换和消元法：x 1 x 2 x 3 1x 1 x 2 2 x 3 312 x 1 x 2 x 3 4先把第 1 个方程的 -1,-2倍分别加到第 2,3 个方程上去,消去 1x ：x 1 x 2 x 3 12 x 2 x 3 423 x 2 3 x 3 6把第 3 个方程两边同乘-1/3并且和第 2 个方程换位置：-1- 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章x 1 x 2 x 3 1x 2 x 3 2 32 x 2 x 3 4再把第 2
4、个方程的 2 倍加到第 3 个方程上去,消去 2x ：x 1 x 2 x 3 1x 2 x 3 243 x 3 0在中学时,我们一般从第 3 个方程得到 x 回代到第 2 个方程得到 x ,再把 x 和 3x 回代到第 1个方程中,得到 x ；现在我们把第 3 个方程乘 1/3,再将其 -1倍加到第 1,2 个方程上去,x 1 x 2 1x 2 25x 3 0然后把第 2 个方程的 -1倍加到第 1 个方程上去,得到x 1 1x 2 26x 3 0以上的解法中,方程组1变化到 4的过程是消元,后面 2 个步骤是回代；无论是消元仍是回代,都只是未知量的系数和常数项参加了运算,未知量本身并未转变；
5、而且对方程组所作的三种同解变换对应矩阵的三种行初等变换；因此解线性方程组相当于增广矩阵的行初等变换；通过对消元法解线性方程组的观看和分析可以写出每个过程对应的矩阵,我们必需建立以下的观念：线性方程组和增广矩阵一一对应,矩阵的每一行相当于一个方程；在变换的过程中,全部的矩阵都是等价的,每一个矩阵都对应一个线性方程组,这些方程组都是同解方程组也可以叫做等价方程组！消元：通过初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵；回代：通过初等行变换把阶梯形矩阵化为行最简形矩阵；解线性方程组只能用初等行变换,不行以用列变换！c 1rc 1nd 11B对增广矩阵Ab作行初等变换,可以化为矩阵B ：c 11c 120c 2
6、2c 2rc 2nd2a 11a 12a 1 nb 1c rrc rndrAba 21a 22a2nb 2r000000d ra m 1a m2a mnb m0000000000观看到rd10方程组无解；-2- 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章rd10方程组有解；并且dr10R A r,R Ab r1,即R A R Ab ；n时,dr10R A R Abr进一步地分析,当R A R Ab rn时,方程组有唯独解；当R A R Ab r方程组含有nr个自由未知量xr1,x n,可以任意取值,方程组的解有无穷多
7、个；因此我们得到下面的定理；定 理 非 齐 次 线 性 方 程 组 A m n x b 有 解 的 充 分 必 要 条 件 是 R A b R A , 并 且R A b R A n 时有唯独解,R A b R A n 时有无穷多解；定理 3.2 齐次线性方程组 A m n x 0有非零解的充分必要条件是 R A n, Ax 0仅有零解的充分必要条件是 R A n . 推论 1 当 m n 时,齐次线性方程组 A m n x 0有非零解 . 这是由于当 m n 时,齐次线性方程组 A m n x 0的系数矩阵的秩肯定小于 n. 推论 2 当 m n 时,齐次线性方程组 A m n x 0有非零解
8、的充要条件是 A 0；仅有零解的充要条件是 A 0；要清晰以上定理中的 n是未知量的个数, m是方程的个数； 但是判定解的情形总是依据矩阵的秩而不是方程的个数或未知量的个数；3 线性方程组的消元解法步骤解非齐次线性方程组 A m n x b 的步骤：1 写出 A m n x b 对应的增广矩阵 A b ；2 R A b R A .假设不相等,得出无解的结论,假设相等就进行下一步；3 连续初等行变换把矩阵化为行最简形,R A b R A n 时可直接写出它的唯独解,R A b R A n 时,进行下一步；4 依据行最简形写出等价方程组,令其中的 n r 个自由未知量非首元所在列为任意常数：c 1
9、 , c 2 , , nc r,并把其它未知量首元所在列用 c 1 , c 2 , , nc r 表示 . 增广矩阵对应原始方程组,阶梯形矩阵用于判定线性方程组有没有解和有多少解,行最简形矩阵用于求解. rAbr 阶 梯 形 矩 阵r 行 最 简 形 矩 阵原 始 方 程 组判 断 有 无 解求出方程组的解有解解齐次线性方程组A mnx0的步骤：1 写出A mnx0对应的系数矩阵A ；2R A n.假设RAn,得出仅有零解的结论,假设R Arn进行下一步；3 连续初等行变换把矩阵化为行最简形,写出等价方程组,令其中的nr个自由未知量非首元所在列 为任意常数：c 1,c 2,c nr,并把其它未
10、知量 首元所在列 用c 1,c 2,nc表示 . 无论非齐次仍是齐次线性方程,判定解的情形只需化为阶梯形矩阵,而求解必需化为行最简形矩阵 . -3- 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章例3.1 解下面的线性方程组解4x 12x2x323. 383x 1x22x31011x 13 x28对线性方程组的增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵：4212r 32r 1r21 Ab31210r 1r 231210得到113080006r23 r 1133801011340006RA 2 ,R Ab3,说明秩不相等,所以方程
11、组无解例3.2 解线性方程组解发觉2x1x23x333x 1x25x304x 1x 2x33x13x26x 31对增广矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵：2133r 3r 21492 Ab 3150r 2r 112834113r 1r 4126313611361r 2r 114921492r 3r 106175r 4r 20124r 4r 10231r 4r 202310715106175r 32 r 21492r 41 r 3731492B01240124r 46r 2007729r00110029290000RARAb3,说明有唯独解,因此连续初等行变换,化为行最简形矩阵：14071001Br
12、 22r 30102r 14 r 20102r 19r 30011001100000000得到解：-4- 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章x 11k值时方程组的通解. kt,x22x 31例3. 3 k为何值时,下面的齐次线性方程组有非零解？求最小25kx 12x 22x 302x 16kx20. 为了运算的便利,令52x14kx 30解对方程组的系数矩阵作初等行变换,化为阶梯形矩阵5k22t22r 3r 12t01t1A26k02t10t2r 2r 3204k20t120r 231 2tr 12t011t
13、14 2r 220t102t2t23,齐次04t2t4rr 220t11t01tr 31 4 t1r 220t2tt14B045 或k8时,R A 001t39t4令1t39 t0,得t0或t3,即k2 或k4线性方程组有非零解. 101 1, 当k2时,t3,AB2021 r 12010422 01 r 24等价方程组：00000x 1x30x21x302令自由未知量x3c, c 为任意常数,得到全部解：x 1x 2x 3c1 2 cc假如方程组的系数或常数项中含有未知参数,在对矩阵作初等行变换时,要留意运算的可行性 . 在本例中,假如不先换行,而作变换：r 2 2 r 1 使2,1元化为零
14、,是不行以的,由于不能t确定是否 t 0 作初等行变换, 有时运算比较难,假如方程的个数和未知量的个数相同时,可以-5- 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章用行列式是否为零来判定解的情形和确定未知参数的值消元法求出解 . 克莱姆法就 ,再用矩阵的初等行变换本例可以采纳这种克莱姆法就和消元法结合的方式：得t令A5k62k2rt221t39 t0记5kt2002t1024k20t0或t,即3k2 或k5 或k8；当k2时,A321 1210240012 020200得到方程组的解：x1c 1 c 2 cx 2x
15、33.2 向量及其运算1 向量的定义组成的数组称为n 维向量,n称为向量的 维数 ,这 n 个定义 3.2 n 个有序的数a 1,a 2,a n数称为该向量的n 个重量 ,第 i 个数ia 是第 i 个重量 ,每个 重量都是实数的向量称为实向量 ,重量中有复数的向量称为复向量 . 本课程仅争论实向量 . 向量可以写成一列或写成一行,分别称为列向量 或行向量 ,记作：-6- 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章a 1a2或a 1,a 2,a n. 一个列 行 向量可以an一个行向量的转置是一个列向量,一个列向量的
16、转置是一个行向量看成一个列行矩阵. 对于向量,我们有以下的说明： 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量； 行向量和列向量都依据矩阵的运算法就进行运算； 当没有明确指明是行向量仍是列向量时,都当作列向量定义 3.3 每个重量都是零的向量称为 零向量 ,记作 0；将向量量称为 的负向量 ,记作 . 有不同维数的零向量 . 的每个重量变成相反数得到的向定义 3.4 假设干个维数相同的向量组成的集合称为 向量组 . 线性方程组的一个解是一个向量,称为 解向量 ,解的集合称为 解向量组 . T T T向量组：1 0,1 , , 0 , 2 ,1,0 , 0 , , n ,0 ,0 1, 称为 初始单位
17、向量组,有不同维数的初始单位向量组 . 2 向量的线性运算定义 3.5 当且仅当两个向量 , 的维数相同且对应的重量相等时称这两个 向量相等 , 记作：.a 1b 1 i,1,2,n 即：假设有a2,b 2,那么a ib iannb.下面我们定义向量的加法和数乘运算,临时不作向量的乘法运算1 加法设有两个 n维向量：a 1与b 1,称向量a 1b 1为与和,记作：,a2b 2a 2b 2annba nb n即：a 1 b 1a 2 b 2a n b n2 数乘-7- 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章设有 n
18、维向量a 1和数 k,称向量ka 1为数 k 与向量的乘积 ,记作 k,即 : a2ka 2anka 1ka nkka2kan依据负向量和数乘运算的定义,我们得到向量的减法：a 1 b 1a 2 b 2a n b n行向量的线性运算类似上述列向量的运算 . 定义 3.6 向量的加法和数乘运算统称为 线性运算 . 既然向量可以看成列矩阵或行矩阵,那么向量的线性运算与矩阵的加法和数乘运算完全相同,也就具有相同的算律,这里不再重复 . 3 向量与矩阵、方程组的关系一个矩阵A mn的每一行元素可以构成一个向量,得到m个n维的行向量,称为矩阵A mn的行向量组 . 每一列元素可以构成一个向量,得到n个m
19、维的列向量1,2,1,2n,称为矩阵A mn的列向量组 . 用分块矩阵的观点看,矩阵A mn以列向量为子块：An,也可以以行向量为子块A12mT.A12n. 假如矩阵A12n是n阶方阵,那么它的行列式可以写成线性方程组a 11x 1a 12x 2a 1 nx nb 1n个 m维列向量j a 1j,a 2j,amjT ,a21x 1a22x 2a2nx nb2am 1x 1a m2x 2amnxnb m它的每个未知量的系数组成一个列向量,得到j,12 ,n,常数项也组成一个m维列向量,用向量的线性运算表示为：1x 12x 2nx n那么齐次线性方程组可表示为在方程组中1x 11,2x 2,nnx
20、 n0x 1,x 2,x n的系数,而在向量的运算中,可以把2,是未知量-8- 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章x 1,x 2,x n看成是向量1,2,n的系数 . 这在向量关系的争论中很重要. b,c使得,求一个向量例 3.4 已知向量12 ,1,03,2,02 ,35,3,1,5,31212343成立 . 解先将所求向量用向量1,2,3表示出来,再作向量的线性运算. 43121243由于21235所以2 ,3541 ,5,3,1122 ,10 ,30,51,020 ,15 ,15,0,43 ,35,2a
21、 ,0,1,0b,c ,54,且0.求：a ,的值 . 例 3.5 已知向量解,2a ,0,1,0bc ,541c ,a,5b40 依据向量相等的定义1c0 ,a450 ,b40a5 ,b,c1 3.3 向量组的线性相关性1 线性组合 线性组合争论一个向量与一个向量组的关系.-9- 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章定义 3.7 对于给定的向量组1,2,n和向量,假如存在一组数k 1,k 2,k n使得k 11k 22k nn 成立,那么称向量是向量组1,2,n的一个 线性组合 ,或者说向量可以由向量组1,2
22、,n线性表示 ,数k 1,k 2,kn称为 组合系数 ；以 及 一 组 数等 式k 11k22knn表 达 了 向 量 组1,2,n和 向 量k 1,k 2,kn之间的关系；一般有两类问题：1 已知1,2,n和一组数k 1,k2,kn,求向量. 2 已知1,2,n和向量,求一组数k 1,k 2,kn. 前一个是向量的线性运算问题,后一个是求线性组合的系数问题.如何求组合系数呢？可以认为 式是一个线性方程组,它以k 1,k2,k n为未知量,1,2,n为系数,为常数项,明显线性方程组的解就是组合系数；因此有定理向量是向量组1,2,n的一个线性组合的充分必要条件是以1,2,n为列向量的矩阵的秩和以
23、1,2,n,为列向量的矩阵的秩相等,即：R12nR12n判定向量是否是向量组1,2,n的一个线性组合并求出组合系数,和判定线性方程组是否有解及求解的步骤相同. 假如方程组有唯独解,表示法唯独；假如方程组有无穷多解,就表示法不唯独；留意：求组合系数时,应把全部的向量写成列向量组成矩阵,并且作初等行变换,不行以作列变换！定义 3.8 设有两个向量组：A 1,2,s,B 1,2,t,假如 A组的每个向量都可以由 B 组线性表示,称A可由B线性表示；假如A与B可以相互表示,就称向量组 A与向量组 B等价 . 等价向量组的性质：1 自反性：每个向量组与自身等价；2 对称性：假设向量组 A与向量组 B等价
24、,就 B与 A等价；3 传递性：假设向量组 A与 B等价,且向量组 B与 C等价,就向量组 A与 C等价 . 设向量组 A 1 , 2 , , s 可由向量组 B 1 , 2 , , t 线性表示,那么存在 k 1 j , , k tj 使得j k 1 j 1 k tj t , j ,1 ,2 , s即：存在矩阵 K ijk t s 使得A BK其中,A 1 , 2 , , s , B 1 , 2 , , t ；称 K 为向量组 A由向量组 B线性表示的系数矩阵；更简洁地说,矩阵方程ABX有解,那么向量组3A由向量组 B线性表示,其解X为表示矩阵；能否由向量组：例 3.6 问向量,8,25 ,
25、9,1,3,171,3,1,11,2,1,1,13,线性表示？假设能,写出其表示式；-10- 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章3 1 1 8 1 0 1 32解 1 , 2 , 3 , 1 1 3 2 r 0 1 2 71 1 1 5 20 0 0 01 3 7 90 0 0 0R 1 , 2 , 3 , R 1 , 2 , 33 7可由向量组 1 , 2 , 3 线性表示,且有 1 2 0 3；2 22 线性相关与线性无关线性相关和线性无关争论一个向量组与零向量的关系 . 定义 3.9 对于给定的向量组
26、 1 , 2 , , n,假如存在一组不全为零的数 k 1 , k 2 , , k n 使得k 1 1 k 2 2 k n n 0 3.3.2 成立,称向量组 1 , 2 , , n 线性相关 ；假如当且仅当 k 1 k 2 k n 0 时3.3.2式成立,那么称 1 , 2 , , n 线性无关 . 对于给定的向量组 1 , 2 , , n,如何判定是否有一组不全为零的数 k 1 , k 2 , , k n 使k 1 1 k 2 2 k n n 0 呢？如何求出这组数呢？可以将 3.3.2式看成一个齐次线性方程组,它以 k 1 , k 2 , , k n 为未知量,1 , 2 , , n 为
27、系数,那么就变成了争论齐次线性方程组是否有非零解.因此得到下面的定理：定理 3.4 向量组 1 , 2 , , n 线性相关的充分必要条件是 R 1 2 n n,线性无关的充分必要条件是 R 1 2 n n . 推论 1 n 个 n 维向量 1 , 2 , , n 线性相关的充分必要条件是 1 2 n 0,线性无关的充分必要条件是 1 2 n 0 . 推论 2 n k k N 个 n 维向量肯定线性相关,即向量组中所含向量个数大于维数时必定线性相关 . 依据上面的争论,n 个 m 维向量组成的向量组 1 , 2 , , n：当 m n 时,肯定线性相关；当 m n 时,可用行列式 1 2 n
28、是否为零判定其线性相关性；无论 n 和 m 哪个大 ,都可以用初等变换求秩来判定是否线性相关,与判定齐次线性方程组是否有非零解的步骤相同. k 1,k 2,k n,就是要求出相应的齐次线性方程组的任一组非零求线性关系式的一组系数解；下面是一些关于线性组合和线性相关的简洁有用的结论：一个零向量线性相关,一个非零向量线性无关；含有零向量的向量组线性相关；两个向量线性相关的充要条件是对应重量成比例；初始单位向量组线性无关；任何向量可由初始单位组线性表示；零向量是任何向量组的线性组合；-11- 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - -
29、- - 第三章向量组中的任何一个向量可以由该向量组线性表示 . 定义 3.10 由向量组中的一部分向量组成的新向量组称为原向量组的 部分组 . 定理 3.5 一个向量组线性无关,就它的任何部分组线性无关；假如向量组的一个部分组线性相关,就原向量组线性相关. ,. 线性相关, 即存在不全为零的例3.7 证明：两个向量线性相关的充要条件是对应重量成比例证明必要性： 设向量a 1,a 2,a n和b 1,b 2b n数k 1,k2,使得k 1k2=0不妨设1k0,那么由k 1k2=0k2,k1即有aik2bii,12,nk 使得k 1成立,即对应重量比例. 充分性：假如,对应重量比例成比例,就是存在
30、数a ikb ii,1 2 ,n 即k k 0记 1k 1,k2 k,那么存在不全为零的数 k 1, k 2 使得k 1 k 2 0即 , 线性相关；例 3.8 设向量组 1 , 2 , 3 线性无关,证明：向量组 1 2 2 , 2 3 , 1 2 3 线性相关 .证明 证明向量线性相关,一般用定义或用矩阵的秩,也有用其它相关定理的；下面我们给出两种常用方法的证明过程,期望同学们把握 . 一 用定义证明设有数 k 1 , k 2 , k 3 使得k 1 1 2 2 k 2 2 3 k 3 1 2 3 0即k 1 k 3 1 2 k 1 k 2 2 k 2 2 k 3 3 0由于 1 , 2
31、, 3 线性无关,依据线性无关的定义上式成立的条件是k 1 k 3 02 k 1 k 2 0k 2 2 k 3 01 0 1其系数行列式 2 1 0 0,依据克莱姆法就,这个齐次线性方程组有非零解,即存在不全0 1 2为零的数 k 1 , k 2 , k 3 使得k 1 1 2 2 k 2 2 3 k 3 1 2 3 0-12- 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 24 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三章依据线性相关的定义,向量组122,23,123线性相关；3,向量组 B：B能否用向二用矩阵的秩证明对向量组122,23,123组成的矩阵作初等变换
32、12223123c 1c 32 232312c 12 c 2023123那么,R122,23,123R02312323所以,向量组122,23,123线性相关 . 例3.9 设有向量组 A：1,0,2,11,2,2,1,01,3,10 ,101 5 , ,0 ,2 1 , 2 5 , ,3 ,4 2,问向量组 A是否线性相关？向量组量组 A线性表示？表示式是什么？解 对向量组 A和 B组成的矩阵进行初等行变换：02155TTTTT21003123121012411012r 1r 411012r22 r 111012210030102110124r 3r 10113602155021551101211012r 3r 201021r 4r301021r 42r 200115001150011300002r 1r 210011010210011300002由此可知：R1233,向量组 A：123