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1、招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 1 of 14西城区高三二模试卷高三数学（理科）2017.5第第卷卷（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1在复平面内，复数z对应的点是(1,2)Z，则复数z的共轭复数z （A）12i（B）12i（C）2i（D）2i2下列函数中，值域为0,1的是（A）2yx（B）sinyx（C）211yx（D）21yx3在极坐标系中，圆sin的圆心的极坐标是（A）(1,)2（B）(1, 0)（C）1(,)22（D）1(, 0)24在平面直角坐标系中，不等式组320,
2、330,0 xyxyy表示的平面区域的面积是（A）1（B）32（C）2（D）525设双曲线22221(0,0)yxabab的离心率是3，则其渐近线的方程为（A）2 20 xy（B）2 20 xy（C）80 xy（D）80 xy6设a，b是平面上的两个单位向量，35 a b若mR，则|mab的最小值是（A）34（B）43（C）45（D）547函数( )|f xx x若存在1,)x，使得(2 )0f xkk，则 k 的取值范围是（A）(2,)（B）(1,)（C）1( ,)2（D）1( ,)4招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 2 of 148有三支股票 A，B，C，28 位股民的
3、持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票在不持有 A 股票的人中，持有 B 股票的人数是持有 C 股票的人数的 2 倍在持有 A 股票的人中，只持有 A 股票的人数比除了持有 A 股票外，同时还持有其它股票的人数多1在只持有一支股票的人中，有一半持有 A 股票则只持有 B 股票的股民人数是（A）7（B）6（C）5（D）4第第卷卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9执行如图所示的程序框图,输出的S值为_10已知等差数列na的公差为2，且124, , aaa成等比数列，则1a _；数列na的前n项和nS _11 在ABC中， 角A，B，C的对边
4、分别是a，b，c 若3A ，3a ，1b ， 则c _12函数22 , 0,( )log, 0.xxf xxx则1( )4f_；方程1()2fx的解是_13大厦一层有 A，B，C，D 四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，则不同的乘坐方式有_种 （用数字作答）14在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD在,xOyyOzzOx坐标平面上的一组正投影图形如图所示（坐标轴用细虚线表示） 该四面体的体积是_招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 3 of 14三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满
5、分 13 分）已知函数( )tan()4f xx（）求( )f x的定义域；（）设(0,)，且( )2cos()4f，求的值招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 4 of 1416 （本小题满分 14 分）如图，在几何体ABCDEF中，底面ABCD为矩形，/EFCD，ADFC点M在棱FC上，平面ADM与棱FB交于点N（）求证：/ADMN；（）求证：平面ADMN 平面CDEF；（） 若CDEA，EFED，2CDEF， 平面ADE 平面BCFl， 求二面角AlB 的大小招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 5 of 1417 （本小题满分 13 分）某大学为调研学生
6、在 A，B 两家餐厅用餐的满意度，从在 A，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了 100 人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为 60 分整理评分数据， 将分数以10为组距分成6组：0,10)，10,20)，20,30)，30,40)，40,50)，50,60，得到 A 餐厅分数的频率分布直方图，和 B 餐厅分数的频数分布表：定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：分数0,30)30,50)50,60满意度指数012（）在抽样的 100 人中，求对 A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数；（）从该校在 A，B 两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取 1 人进行调查，试估计其对 A餐厅评价的“满意
7、度指数”比对 B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率；（）如果从 A，B 两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由B 餐厅分数频数分布表餐厅分数频数分布表分数区间频数0,10)210,20)320,30)530,40)1540,50)4050,6035招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 6 of 1418 （本小题满分 14 分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是原点，以x轴为对称轴，且经过点(1,2)P（）求抛物线C的方程；（）设点,A B在抛物线C上，直线,PA PB分别与y轴交于点,M N，| |PMPN求直线AB的斜率招聘电话：010-82539895招
8、聘邮箱：Page 7 of 1419 （本小题满分 13 分）已知函数21( )() exf xxaxa，其中a R（）求函数( )fx的零点个数；（）证明：0a是函数( )f x存在最小值的充分而不必要条件招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 8 of 1420 （本小题满分 13 分）设集合*21,2,3,2 (,2)nAnnnN如果对于2nA的每一个含有(4)m m个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于41n ，称正整数m为集合2nA的一个“相关数” （）当3n 时，判断 5 和 6 是否为集合6A的“相关数” ，说明理由；（）若m为集合2nA的“相关数” ，证明：30
9、mn ；（）给定正整数n求集合2nA的“相关数”m的最小值招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 9 of 14西城区高三模拟测试高三数学（理科）参考答案及评分标准2017.5一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.1A2D3C4B5A6C7D8A二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分.97102，2nn112122；2或113361443注：第注：第 10，12 题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分.三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共
10、 6 小题，共小题，共 80 分分. . 其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分. .15 （本小题满分 13 分）解： （）由42xk，得4xk，kZ 3 分所以 函数( )f x的定义域是 |,4x xkkZ 4 分（）依题意，得tan()2cos()44 5 分所以sin()42sin()4cos()4， 7 分整理得sin() 2cos()1044， 8 分所以sin()04，或1cos()4210 分因为(0,)，所以 5(,)444，11 分由sin()04，得4，34；12 分由1cos()42，得43，12所以12，或3413 分招聘电话： 0
11、10-82539895招聘邮箱： Page 10 of 1416 （本小题满分 14 分）解： （）因为ABCD为矩形，所以/ADBC， 1 分所以/AD平面FBC 3 分又因为平面ADMN 平面FBCMN，所以/ADMN 4 分（）因为ABCD为矩形，所以ADCD 5 分因为ADFC， 6 分所以AD 平面CDEF 7 分所以平面ADMN 平面CDEF 8 分（）因为EACD，ADCD，所以CD 平面ADE，所以CDDE由（）得AD 平面CDEF，所以ADDE所以DA，DC，DE两两互相垂直 9 分建立空间直角坐标系Dxyz-10 分不妨设1EFED，则2CD ，设(0)ADa a由题意得，
12、( ,0,0)A a，( ,2,0)B a，(0,2,0)C，(0,0,0)D，(0,0,1)E，(0,1,1)F所以( ,0,0)CBa ，(0, 1,1)CF 设平面FBC的法向量为( , , )x y zn，则0,0,CBCF nn即0,0.axyz 令1z ，则1y 所以(0,1,1)n12 分又平面ADE的法向量为(0,2,0)DC ，所以|2|cos,|2|DCDCDC |nnn因为二面角AlB 的平面角是锐角，所以二面角AlB 的大小4514 分招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 11 of 1417 （本小题满分 13 分）解： （）由对 A 餐厅评分的频
13、率分布直方图，得对 A 餐厅“满意度指数”为0的频率为(0.0030.0050.012) 100.2， 2 分所以，对 A 餐厅评价“满意度指数”为0的人数为1000.220 3 分（）设“对 A 餐厅评价满意度指数比对 B 餐厅评价满意度指数高”为事件 C记“对 A 餐厅评价满意度指数为1”为事件1A； “对 A 餐厅评价满意度指数为2”为事件2A； “对 B 餐厅评价满意度指数为0”为事件0B； “对 B 餐厅评价满意度指数为1”为事件1B所以1(A )(0.020.02) 100.4P，2(A )0.4P， 5 分由用频率估计概率得：0235(B )0.1100P，11540(B )0.
14、55100P 7 分因为事件Ai与Bj相互独立，其中1,2i ，0,1j 所以102021(C)(A BA BA B )PP102021(A ) (B )(A ) (B )(A ) (B )PPPPPP0.4 0.1 0.4 0.1 0.4 0.550.310 分所以该学生对 A 餐厅评价的“满意度指数”比对 B 餐厅评价的“满意度指数”高的概率为0.3（）如果从学生对 A，B 两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：A 餐厅“满意度指数”X 的分布列为：X012P0.20.40.4B 餐厅“满意度指数”Y 的分布列为：Y012P0.10.550.35因为()00.21 0.420.41.2
15、E X ；( )00.1 1 0.5520.351.25E Y ，所以()( )E XE Y，会选择 B 餐厅用餐13 分招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 12 of 14注：本题答案不唯一只要考生言之合理即可18 （本小题满分 14 分）解： （）依题意，设抛物线C的方程为2(0)yax a 1 分由抛物线C且经过点(1,2)P，得4a ， 3 分所以抛物线C的方程为24yx 4 分（）因为| |PMPN，所以PMNPNM ，所以12 ，所以 直线PA与PB的倾斜角互补，所以0PAPBkk 6 分依题意，直线AP的斜率存在，设直线AP的方程为：2(1) (0)yk x
16、k，将其代入抛物线C的方程，整理得22222(22)440k xkkxkk 8 分设11( ,)A x y，则212441kkxk，114(1)22yk xk，10 分所以22(2)4(,2)kAkk11 分以k替换点A坐标中的k，得22(2)4(,2)kBkk12 分所以222244()1(2)(2)ABkkkkkkk 所以直线AB的斜率为114 分19 （本小题满分 13 分）解： （）由21( )() exf xxaxa，得121( )(2) e() exxfxxaxaxa21(2)2 exxaxa 1()(2) exxax 2 分令( )0fx，得2x ，或xa所以当2a 时，函数(
17、)fx有且只有一个零点：2x ；当2a 时，函数( )fx招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 13 of 14有两个相异的零点：2x ，xa 4 分（） 当2a 时，( )0fx恒成立，此时函数( )f x在(,) 上单调递减，所以，函数( )f x无极值 5 分 当2a 时，( )fx，( )f x的变化情况如下表：所以，0a时，( )f x的极小值为1()eafaa 0 7 分又2x 时，222240 xaxaaaa，所以，当2x 时，21( )() e0 xf xxaxa恒成立 8 分所以，1()eafaa 为( )f x的最小值 9 分故0a是函数( )f x存在
18、最小值的充分条件10 分 当5a 时，( )fx，( )f x的变化情况如下表：因为当5x 时，21( )(55) e0 xf xxx，又1(2)e0f ，所以，当5a 时，函数( )f x也存在最小值12 分所以，0a不是函数( )f x存在最小值的必要条件综上，0a是函数( )f x存在最小值的充分而不必要条件13 分20 （本小题满分 13 分）解： （）当3n 时，61,2,3,4,5,6A ，4113n 1 分x(,)a a(,2)a2(2,)( )fx00( )f x极小值极大值x(,2)2(2,5)5(5,)( )fx00( )f x极小值极大值招聘电话： 010-8253989
19、5招聘邮箱： Page 14 of 14对于6A的含有5个元素的子集2,3,4,5,6，因为234513 ，所以5不是集合6A的“相关数” 2 分6A的含有6个元素的子集只有1,2,3,4,5,6，因为1 345 13 ，所以6是集合6A的“相关数” 3 分（）考察集合2nA的含有2n个元素的子集1, ,1,2 Bnn nn 4 分B中任意4个元素之和一定不小于(1)(1)(2)42nnnnn所以2n一定不是集合2nA的“相关数” 6 分所以当2mn 时，m一定不是集合2nA的“相关数” 7 分因此若m为集合2nA的“相关数” ，必有3mn 即若m为集合2nA的“相关数” ，必有30mn 8 分（）由（）得3mn 先将集合2nA的元素分成如下n组：( ,21) (1)iinCini 对2nA的任意一个含有3n 个元素的子集P，必有三组123,iiiCCC同属于集合P10 分再将集合2nA的元素剔除n和2n后，分成如下1n 组：1( ,2) (1)jjnDjnj对于2nA的任意一个含有3n 个元素的子集P，必有一组4jD属于集合P11 分这一组4jD与上述三组123,iiiCCC中至少一组无相同元素，不妨设4jD与1iC无相同元素此时这4个元素之和为1144(21)(2)41inijnjn 12 分所以集合2nA的“相关数”m的最小值为3n 13 分