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1、招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 1 of 15北京市东城区北京市东城区 20201616-201-2017 7 学年度第二学期高三综合练习（二）学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科）数学（理科）学校学校_班级班级_姓名姓名_考号考号_本试卷共 5 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分第一部分（选择题共 40 分）一一、选择题共选择题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分。在每小题在每小题列列出的四个选项中出的四个选项中，选出符合选出符合题目
2、要题目要求的求的一项。一项。（1）已知集合2 |40Ax x=-，则A =R（A） |2x x -或2x （B） |2x x （C） | 22xx- rq相切，则a =_（11）某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有_种.（用数字作答）（12）如图，在四边形ABCD中，45ABD，30ADB，1BC ，2DC ，1cos4BCD，则BD =；三角形ABD的面积为_.（13） 在直角坐标系xOy中， 直线l过抛物线24yx=的焦点F， 且与该抛物线相交于,A B两点，其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60，则|OA =
3、（14）已知函数|1|,(0,2,( )min|1|,|3|,(2,4,min|3|,|5|,(4,).xxf xxxxxxx 若( )f xa有且只有一个根，则实数a的取值范围是_ 若关于x的方程()( )f xTf x有且仅有3个不同的实根， 则实数T的取值范围是_招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 4 of 15三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8080 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15） （本小题共 13 分）已知函数( )3sin2cos2f xxax(aR)（）若( )26f=，求a的
4、值；（）若( )f x在7,12 12上单调递减，求( )f x的最大值招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 5 of 15（16） （本小题共 13 分）小明计划在 8 月 11 日至 8 月 20 日期间游览某主题公园根据旅游局统计数据，该主题公园在此期间“游览舒适度” （即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，40%以下为舒适，40%60%为一般，60%以上为拥挤）情况如图所示小明随机选择 8 月 11 日至 8月 19 日中的某一天到达该主题公园，并游览 2 天.（）求小明连续两天都遇上拥挤的概率；（）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；（
5、）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 6 of 15（17） （本小题共 14 分）如图，在几何体ABCDEF中，平面ADE 平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且60DAB，2EAEDABEF=，EFAB，M为BC中点（）求证：FM平面BDE；（）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值；（）在棱CF上是否存在点G，使BG DE？ 若存在，求CGCF的值；若不存在，说明理由招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 7 of 15（18） （本小题共 13 分）设函数2( )() e()xf xxaxa
6、aR（）当0a 时，求曲线( )yf x=在点( 1,( 1)f-处的切线方程；（）设2( )1g xxx=-，若对任意的0,2t，存在0,2s使得( )( )f sg t成立，求a的取值范围招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 8 of 15（19） （本小题共 13 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的短轴长为2 3，右焦点为(1,0)F，点M是椭圆C上异于左、右顶点,A B的一点（）求椭圆C的方程；（） 若直线AM与直线2x =交于点N， 线段BN的中点为E 证明： 点B关于直线EF的对称点在直线MF上招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 9 o
7、f 15（20） （本小题共 13 分）对于n维向量12(,)nAa aa=， 若对任意1,2, in均有0ia =或1ia =， 则称A为n维T向量.对于两个n维T向量,A B，定义1( , )|niiid A Bab=-.（）若(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，求( , )d A B的值.（）现有一个5维T向量序列：123,A A A L，若1(1,1,1,1,1)A =且满足：1(,)2iid A A+=，*iN.求证：该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0).（） 现有一个12维T向量序列：123,A A A L， 若112(1,1,1)A 个=且满足：
8、1(,)iid A Am+=，*mN，1,2,3,i =，若存在正整数j使得12(0,0,0)jA 个=，jA为12维T向量序列中的项，求出所有的m.招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 10 of 15东城区东城区 20201616-201-2017 7 学年度第二学期高三综合练习（二）学年度第二学期高三综合练习（二）高三数学参考答案及评分标准高三数学参考答案及评分标准 （理科）（理科）一、选择题（共一、选择题（共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分）分）（1）A（2）B（3）C（4）B（5）D（6）A（7）C（8）C二、填空题（共二、填
9、空题（共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3030 分）分）（9）(1,2)（10）1（11）14（12）23 1-（13）21（14）(1,)( 4, 2)(2,4)U三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，共小题，共 8080 分）分）（15） （共 13 分）解： （）因为( )3sin2cos2=2666fa，3 分所以31222a+ =5 分所以1a =6 分（）由题意2223( )= 3(sin2cos2 )33af xaxxaa23sin(2)ax，其中tan3a8 分所以T ，且712122，9 分所以当12x时，2max()3sin()126yfa
10、所以=+23kk Z10 分所以tan= 33a，3a 11 分所以( )2 3sin(2)3f xx=+12 分所以( )f x的最大值为2 313 分（16） （共 13 分）解：设iA表示事件“小明 8 月 11 日起第i日连续两天游览主题公园” （1,2,9i =）.根据题意，1()9iP A =，且()ijAAij=.1 分（）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤” ，招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 11 of 15则47BAA=.2 分所以47472( )()()()9P BP AAP AP A=+=.5 分（）由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2，6
11、分4784781(0)()()()()3P XP AAAP AP AP A=+=，7 分356935694(1)()()()()()9P XP AAAAP AP AP AP A=+=，8 分12122(2)()()()9P XP AAP AP A=+=9 分所以X的分布列为X012P13492910 分故X的期望14280123999EX = + + =11 分（）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大13 分（17） （共 14 分）解： （）取CD中点N，连结,MN FN因为,N M分别为,CD BC中点，所以MNBD又BD 平面BDE且MN 平面BDE，所以MN平面BDE，因为EF
12、AB，2ABEF=，所以EFCD，EFDN=所以四边形EFND为平行四边形所以FNED又ED 平面BDE且FN 平面BDE，所以FN平面BDE，2 分又FNMNN=，所以平面MFN平面BDE3 分招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 12 of 15又FM 平面MFN，所以FM平面BDE4 分（）取AD中点O，连结EO，BO因为EAED=，所以EOAD因为平面ADE 平面ABCD，所以EO 平面ABCD，EOBO因为ADAB=，60DAB，所以ADB为等边三角形因为O为AD中点，所以ADBO因为,EO BO AO两两垂直，设4AB ，以O为原点，,OA OB OE为, ,x
13、 y z轴，如图建立空间直角坐标系Oxyz6 分由题意得，(2,0,0)A，(0,2 3,0)B，( 4,2 3,0)C -，( 2,0,0)D -，(0,0,2 3)E，( 1, 3,2 3)F -7 分(3,3,2 3)CF =- ，(2,0,2 3)DE =，(0, 2 3,2 3)BE =- 设平面BDE的法向量为( , , )x y zn，则0,0,BEDE= nn即0,30.yzxz-= +=令1z ，则1y =，3x = -所以(3,1,1)= -n9 分设直线CF与平面BDE成角为，10sin|cos,|10CF= n所以直线CF与平面ADE所成角的正弦值为1010 10 分（
14、）设G是CF上一点，且CGCF ，0,111 分因此点(34,32 3,2 3 )G12 分(34,3 ,2 3 )BG 由0BG DE= ，解得49 =招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 13 of 15所以在棱CF上存在点G使得BG DE，此时49CGCF=14 分（18） （共 13 分）解： （）当0a 时，因为2( )exf xx-=，所以2( )(2 ) exfxxx-= -+，1 分( 1)3ef-= -2 分又因为( 1)ef -=，3 分所以曲线( )yf x=在点( 1,( 1)f-处的切线方程为e3e(1)yx-= -+，即3e2e0 xy+=4 分
15、（） “对任意的0,2t，存在0,2s使得( )( )f sg t成立”等价于“在区间0,2上，( )f x的最大值大于或等于( )g x的最大值” 5 分因为2215( )1()24g xxxx=- =-，所以( )g x在0,2上的最大值为(2)1g2( )(2) e() exxfxxaxaxa-=+-+-2e (2)2 xxaxa-= -+-e (2)()xxxa-= -+令( )0fx =，得2x =或xa= -7 分 当0a- ，即0a 时，( )0fx 在0,2上恒成立，)(xf在0,2上为单调递增函数，( )f x的最大值为21(2)(4)efa=+,由21(4)1ea+，得2e
16、4a -9 分 当02a - ，即20a- 时，当(0,)xa时，( )0fx ，( )f x为单调递减函数，当(2)xa ，时，( )0fx ，( )f x为单调递增函数所以( )f x的最大值为(0)fa= -或21(2)(4)efa=+,由1a- ，得1a -；由21(4)1ea+，得2e4a -又因为20a- ，所以21a- -11 分 当2a- ，即2a -时，( )0fx 在0,2上恒成立，( )f x在0,2上为单调递减函数，( )f x的最大值为(0)fa= -，由1a- ，得1a -，招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 14 of 15又因为2a -，所
17、以2a -综上所述，实数a的值范围是1a -或2e4a -13 分（19） （共 14 分）解： （）由题意得2223,1,.bcabc解得2a 4 分所以椭圆C的方程为22143xy5 分（） “点B关于直线EF的对称点在直线MF上”等价于“EF平分MFB” 6 分设直线AM的方程为(2)(0)yk xk=+，则(2,4 ),(2,2 )NkEk7 分设点00(,)M xy，由22(2),1,43yk xxy=+=得2222(3 4)1616120kxk xk+-=，得2020286,3 412.3 4kxkkyk-+=+=+9 分 当MFx轴时，01x =，此时12k =所以3(1,),(
18、2, 2),(2, 1)2MNE此时，点E在BFM的角平分线所在的直线1yx=-或1yx= - +，即EF平分MFB10 分 当12k时，直线MF的斜率为020411 4MFykkxk=-，所以直线MF的方程为24(41)40kxkyk+-=11 分所以点E到直线MF的距离2222|82 (41)4 |16(41)kkkkdkk+-=+-222|42 (41)|(41)kkkk+-=+22|2 (41)|41|kkk+=+|2 | |kBE=招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 15 of 15即点B关于直线EF的对称点在直线MF上14 分（20） （共 13 分）解： （
19、）由于(1,0,1,0,1)A ，(0,1,1,1,0)B ，由定义1( , )|niiid A Bab=-，可得( , )4d A B =.4 分（）反证法：若结论不成立，即存在一个含5维T向量序列123,mA A AAL，使得1(1,1,1,1,1)A =，(0,0,0,0,0)mA =.因为向量1(1,1,1,1,1)A =的每一个分量变为0，都需要奇数次变化，不妨设1A的第(1,2,3,4,5)i i =个分量1变化了21in -次之后变成0，所以将1A中所有分量1变为0共需要12345(21)(21)(21)(21)(21)nnnnn-+-+-+-+-123452(2) 1nnnnn=+-次，此数为奇数.又因为*1(,)2,iid A Ai+=N，说明iA中的分量有2个数值发生改变，进而变化到1iA，所以共需要改变数值2(1)m次，此数为偶数，所以矛盾.所以该序列中不存在5维T向量(0,0,0,0,0).9 分（）此时1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m.13 分易见当m为 12 的因子1,2,3,4,6,12时，给 (1 分).答出5,8,10m给(1 分).答出7,9,11m中任一个给(1 分)，都对给(2 分)