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1、招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 1 of 15西城区高三统一测试西城区高三统一测试数学（理科）数学（理科）2017.4第第卷（选择题卷（选择题共共 40 分）分）一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分在每小题列出的四个选项中在每小题列出的四个选项中，选出符选出符合题目要求的一项合题目要求的一项1已知全集U R，集合2xxA，0 xxB，那么UA C B（） A20 xxB20 xxC0 xxD2xx2在复平面内，复数i1i的对应点位于（） A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3函数 xxxf22cossin的最小正
2、周期是（） A2BC32D24函数 xxfx2log2 的零点个数为（） A0B1C2D35在ABC中，点D满足BDBC3，则（） AACABAD3231BACABAD3231CACABAD3132DACABAD31326在正方形网格中，某四面体的三视图如图所示如果小正方形网格的边长为1，那么该四面体最长棱的棱长为（） A52B24C6D347数列 na的通项公式为nanc（*nN） 则“1c”是“ na为递增数列”的（） A充分而不必要条件B必要而不充分条件招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 2 of 15C充要条件D既不充分也不必要条件8将五个1，五个2，五个3，五个4，
3、五个5共25个数填入一个5行5列的表格内（每格填入一个数） ，使得同一行中任何两数之差的绝对值不超过2考察每行中五个数之和，记这五个和的最小值为m，则m的最大值为（） A8B9C10D11第第卷（非选择题卷（非选择题共共 110110 分）分）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9在521x的展开式中，2x的系数为_ （用数字作答）10 设等比数列 na的前n项和为nS 若31a，92S， 则na=_，nS=_11执行如右图所示的程序框图，输出的S值为_12 曲线sin1cosyx（为参数） 与直线01 yx相交于A，B两点， 则AB=_13实数a，b满足20 a，1b
4、若2ab ，则ab的取值范围是_14如图，正方体1111DCBAABCD 的梭长为2，点P在正方形ABCD边界及其内部运动平面区域W由所有满足15AP的点P组成，则W的面积是_，四面体BCAP1的体积的最大值是_招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 3 of 15三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且AcCasin2tan（）求角C的大小（）求BAsinsin的取值范围招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 4 of 1516 （本小题
5、满分 14 分）如图，在正四棱锥ABCDP 中，ABPA ，E，F分别为PB，PD的中点（）求证：PBDAC平面（）求异面直线PC与AE所成角的余弦值（）若平面AEF与棱PC交于点M，求PCPM的值招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 5 of 1517 （本小题满分 13 分）在测试中，客观题难度的计算公式为NRPii，其中iP为第i题的难度，iR为答对该题的人数，N为参加测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如下表所示：题号12345考前预估难度iP9 . 08 . 07 . 06 . 04 . 0测试
6、后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144（）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数（）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望（） 试题的预估难度和实测难度之间会有偏差 设iP为第i题的实测难度， 请用iP和iP设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 6 of 1518 （本小题满分 13 分）已知函教 21e2xf xx 设l为曲线 xfy 在点00,xfxP处的切线， 其中1 , 10
7、 x（）求直线l的方程（用0 x表示） （）设O为原点，直线1x分别与直线l和x轴交于A，B两点，求AOB的面积的最小值招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 7 of 1519 （本小题满分 14 分）如图， 已知椭圆C：012222babyax的离心率为21，F为椭圆C的右焦点0 , aA ，3AF（）求椭圆C的方程；（）设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M直线OM与直线4x交于点D，过O且平行于AP的直线与直线4x交于点E求证：OEFODF招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 8 of 1520 （本小题满分 13 分）如图，将数字1，2，3，23n
8、n全部填入一个2行n列的表格中，每格填一个数字第一行填入的数字依次为1a，2a，na，第二行填入的数字依次为1b，2b，nb记nnniiinbabababaS221111a2ana1b2bnb（）当3n时若11a，32a，53a，写出3S的所有可能的取值；（）给定正整数n试给出1a，2a，na的一组取值，使得无论1b，2b，nb填写的顺序如何，nS都只有一个取值并求出此时nS的值；（）求证：对于给定的n以及满足条件的所有填法，nS的所有取值的奇偶性相同招聘电话：010-82539895招聘邮箱：Page 9 of 15西城西城区高三区高三统一测试统一测试参考答案参考答案数学数学（理科理科）20
9、174一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） 1A2A3B4C5D6C7A8C二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，有两空的小题，第一空 3 分，第二空 2 分，共30 分） 9401013 2n；321n116122131,22144；43三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分） 15 （本小题满分 13 分）【解析】 （）由tan2 sinaCcA，得sin2sincosaCAcC由正弦定理得sinsin2sinsincosACACC1cos2C 0,C，3C （）2sinsinsinsin()3ABAA33sincos22AA3sin6A3C ，2
10、03A，5666A，1sin() 126A，sinsinAB的取值范围是3, 32招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 10 of 1516（本小题满分 13 分）【解析】 （）设ACBDOI，则O为底面正方形ABCD中心连接POPABCD为正四棱锥，PO 平面ABCDPOAC又BDAC，且POBDOI，AC 平面PBD（）OA，OB，OP两两互相垂直，如图建立空间直角坐标系OxyzPBAB，Rt POBRt AOBVVOAOP设2OA (2,0,0)A，(0,2,0)B，( 2,0,0)C ，(0, 2,0)D，(0,0,2)P，(0,1,1)E，(0, 1,1)F( 2
11、,1,1)AE uuu r，( 2,0, 2)PC uuu r|3|cos,|6|AE PCAE PCAEPCuuu r uuu ruuu r uuu ruuu ruuu r即异面直线PC与AE所成角的余弦值为36（）连接AM设PMPC，其中0,1，则2 ,0, 2PMPC uuuruuu r，22 ,0,22AMAPPM uuuruuu ruuur设平面AEMF的法向量为( , , )nx y zr，又( 2, 1,1)AF uuu r，0,0,n AEn AFr uuu rr uuu r即20,20.xyzxyz0y 令1x ，2z ，(1,0,2)n rAM 平面AEF，0n AMr u
12、uur，即222 220 ，解得13，13PMPC招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 11 of 1517 （本小题满分 14 分）【解析】 （）20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为40.220估计240人中有2400.248人实测答对第5题（）X的可能取值是0，1，221622012019CP XC；1116422032195C CP XC；242203295CP XCX的分布列为：X012P12193295395123233801219959595EX （）将抽样的20名学生中第i题的实测难度，作为240名学生第i题的实测难度定义统计量2221122
13、1nnSPPPPPPn，其中iP为第i题的预估难度并规定：若0.05S ，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理2222210.80.90.80.80.70.70.70.60.20.45 0.012.S0.0120.05S 该次测试的难度预估是合理的注：本题答案不唯一，学生可构造其他统计量和临界值来进行判断注：本题答案不唯一，学生可构造其他统计量和临界值来进行判断如如“预估难度与实预估难度与实测难度差的平方和测难度差的平方和” ， “预估难度与实测难度差的绝对值的和预估难度与实测难度差的绝对值的和” ， “预估难度与实测难度差预估难度与实测难度差的绝对值的平均值的绝对值的平均值”等，学生只要
14、言之合理即可等，学生只要言之合理即可18 （本小题满分 13 分）【解析】 （）对( )f x求导数，得( )exfxx，切线l的斜率为000()exfxx，由此得切线l的方程为：0020001ee2xxyxxxx，即0020001e1e2xxyxxxx（）依题意，切线方程中令1x ，得00020000011e1e(2)(e)22xxxyxxxxxx(1, )Ay，(1,0)B招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 12 of 151| |2AOBSOBy000112e22xxx000111e22xxx，01,1x 设11( )1e22xg xxx，1,1x 则11111(
15、)e1e1 e122222xxxg xxxx 令( )0g x，得0 x 或1x ( )g x，( )g x的变化情况如下表：x11,000,11( )g x0( )g x3 112 2e111e22( )g x在1,0单调递减；在(0,1)单调递增，min( )(0)1g xg，从而AOB的面积的最小值为119 （本小题满分 14 分）【解析】 （）设椭圆C的半焦距为c依题意，得12ca，3ac解得2a ，1c 招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 13 of 15椭圆C的方程是22143xy（）解法一：由（）得( 2,0)A 设AP的中点00(,)M xy，11( ,)
16、P x y设直线AP的方程为：(2)(0)yk xk，将其带入椭圆方程，整理得2222431616120kxk xk，21216243kxk 202843kxk，0026(2)43kyk xk，即22286,43 43kkMkk直线OM斜率是22263438443kkkkk ，直线OM的方程是34yxk 令4x ， 得3(4,)Dk直线OE的方程是ykx令4x ，得(4,4 )Ek由(1.0)F， 得直线EF的斜率是44413kk， EFOM记垂足为H；直线DF的斜率是3141kk ，DFOE，记垂足为G在Rt EHOV和Rt DGOV中 ，ODF和OEF都 与EOD互余，ODFOEF 解法二
17、：由（）得( 2,0)A 设111( ,)(2)P x yx ，其中221134120 xyAP的中点为M，112,22xyM直线OM的斜率是112OMykx，直线OM的方程是112yyxx令4x ，得1144,2yDx直线OE的方程是112yyxx令4x ，得114(4,)2yEx 招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 14 of 15由(1,0)F，得直线EF的斜率是11432EFykx，111211144132234EFOMyyykkxxx ，EFOM，记垂足为H；同理可得111211144132234DFOEyyykkxxx ，DFOE，记垂足为G在Rt EHOV和
18、Rt DGOV中，ODF和OEF都与EOD互余，ODFOEF 20 （本小题满分 13 分）【解析】 （）3S的所有可能的取值为3，5，7，9（）令iai（1,2,.,in） ，则无论1b，2b，nb填写的顺序如何，都有2nSniai，1,2,.,2ibnnn， （1,2,.,in） iiab（1,2,.,in） ，22111111|nnnnnnniiiiiiiiiii niSabbabaii n 注：12,.,1,2,.,na aan，或12,.,1,2,.,2na aannn均满足条件（）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的nS的值不变不妨设iiab，记1niiAa，1niiBb
19、，其中1,2,.,in则1111|nnnnniiiiiiiiiiSabababAB21221212ninnABinn，AB与n具有相同的奇偶性又AB与AB具有相同的奇偶性，nSAB与n的奇偶性相同，nS的所有可能取值的奇偶性相同招聘电话： 010-82539895招聘邮箱： Page 15 of 15解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的nS的值不变考虑如下表所示的任意两种不同的填法，1|nniiiSab，1|nniiiSab，不妨设iiab，iiab，其中1,2,.,in1a2ana1b2bnb1a2ana1b2bnb111111()()nnnnnnnniiiiiiiiiiiiiiSSbababbaa对于1,2,.,2kn ，1若在两种填法中k都位于同一行，则k在nnSS的表达式中或者只出现在11nniiiibb中，或只出现在11nniiiiaa中，且出现两次，则对k而言，在nnSS的结果中得到2k2若在两种填法中k位于不同行，则k在nnSS的表达式中在11nniiiibb与11nniiiiaa中各出现一次，则对k而言，在nnSS的结果中得到0由得，对于1,2,.,2kn ，nnSS必为偶数所以，对于表格的所有不同的填法，nS所有可能取值的奇偶性相同