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1、基本不等式北师大版必修5ICM 2002 会标会标 右图是在北京召开右图是在北京召开的第的第24届国际数学家届国际数学家大会的会标，会标是大会的会标，会标是根据我国古代数学家根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的赵爽的弦图设计的,它它标志着我国古代的数标志着我国古代的数学成就学成就.一、新课引入一、新课引入观察：这会标中含有怎观察：这会标中含有怎样的几何图形？样的几何图形？二、新知探究二、新知探究ab22ba 22ba 1、正方形、正方形ABCD的的面积面积S=、四个直角三角形的、四个直角三角形的面积和面积和S = =ab2、S与与S有什么有什么样的不等关系？样的不等关系？SS即即22ab2aba
2、b22ab2ab(ab)abDABC22ba ab2(ab)结论：结论：一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a a、b b，有，有 当且仅当当且仅当a=ba=b时，等号成立时，等号成立222aba b问题：是否问题：是否a,ba,b为任意实数时，为任意实数时， 都成立？你能证明吗？都成立？你能证明吗？2 22 2a a + +b b2 2a ab babba222 2)(ba ，时时当当ba ，0)(2 ba，时时当当ba ，0)(2 ba，0)(2 baabba222 即即.号号”时取“时取“当且仅当当且仅当 ba（作差法）（作差法）证明证明:,ab如果用如果用 分别替换分别替换a,b会
3、得到怎样的结会得到怎样的结论呢？论呢？ab2 ab(0,0)ab基本不等式基本不等式当当a0 ,b0 时时几何平均数几何平均数表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数平均数2abab 当且仅当当且仅当a=b时取等号，此不等式称为时取等号，此不等式称为基本不等式基本不等式算术平均数算术平均数均值不等式均值不等式ACBDO令令AC= a , CB= b因为因为所以所以当且仅当当且仅当C与与O重合，即重合，即a=b时，等号成立时，等号成立例例1：已知：已知x，y为正数，求证为正数，求证:证明：证明：三、知识运用三、知识运用2yxxy 0,0 xy 0
4、,0yxxy 2.2yxyxxyxy 当且仅当当且仅当x=y时取等号时取等号巩固练习：巩固练习：2240,4求证：xxx 证明：证明：0 x 2240,0 xx 2222442.4xxxx 224=,2当且仅当即时取等号xxx 例例2：设，均为正数，证明：设，均为正数，证明:不等式不等式证明：因为证明：因为a,b均为正数，由基本不等式，均为正数，由基本不等式，可知可知也即也即四、拓展应用四、拓展应用211abab 11112.abab211abab .号号”时取“时取“当且仅当当且仅当 ba下面给出这个不等式的几何解释下面给出这个不等式的几何解释aba+b2ba ODCBA211abab 21
5、1abab CECD 巩固练习巩固练习 如图3-23，在圆O的上半圆中，设AC=a,CB=b,OF垂直AB交上半圆于点F,请利用图中线段关系找出关于a,b的不等关系2222abab问题问题1：这节课学习了哪些重要不等式？这节课学习了哪些重要不等式？五、归纳小结五、归纳小结不等式不等式1：abbaRba222 那么那么，如果如果.号）号）”时取“时取“（当且仅当（当且仅当 ba不等式不等式2：abbaRba 2那么那么，如果如果.号）号）”时取“时取“（当且仅当（当且仅当 ba问题问题2：本节课涉及的最主要数学思想是？本节课涉及的最主要数学思想是？数形结合数形结合2220,022abababababab第二部分：已知，求证：课后作业课后作业lglg1,1,lglg,2lg,2ababPab QabRPQR第 一 部 分 ：已 知比、的 大 小(从从代数代数和和几何几何两方面给出证明两方面给出证明） 谢谢大家！谢谢大家！