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1、3.4 基本不等式基本不等式贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院 如图，这是在北京召开的如图，这是在北京召开的第第24届国际数学大会的会标，届国际数学大会的会标，会标根据中国古代数学家赵爽会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。国人民热情好客。问题引入问题引入贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院问问问问2 2
2、 2 2：RtAGB,RtBFC,RtCED,RtAHDRtAGB,RtBFC,RtCED,RtAHDRtAGB,RtBFC,RtCED,RtAHDRtAGB,RtBFC,RtCED,RtAHD是全等三角形，它们的面积和是是全等三角形，它们的面积和是是全等三角形，它们的面积和是是全等三角形，它们的面积和是S=S=S=S=问问问问3 3 3 3：S S S S与与与与SSSS有什么样的关系？有什么样的关系？有什么样的关系？有什么样的关系？从图形中易得，从图形中易得，从图形中易得，从图形中易得，s s,s s,s s,s s,即即即即问问问问1 1 1 1：在正方形在正方形在正方形在正方形ABCD
3、ABCDABCDABCD中中中中,设设设设A A A AE=a,E=a,E=a,E=a,BEBEBEBE=b,=b,=b,=b,则正则正则正则正方形的面积为方形的面积为方形的面积为方形的面积为S=S=S=S=，问题探索问题探索贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院思考思考探索新知探索新知问：观察以上图形，我们能够得到什么结论呢？问：观察以上图形，我们能够得到什么结论呢？问：观察以上图形，我们能够得到什么结论呢？问：观察以上图形，我们能够得到什么结论呢？发现：发现：发现：发现：当当当当 时，等号成立。时，等
4、号成立。时，等号成立。时，等号成立。1 1、重要不等式：一般地，、重要不等式：一般地，、重要不等式：一般地，、重要不等式：一般地，当且仅，当且仅，当且仅，当且仅当当当当 时，等号成立。时，等号成立。时，等号成立。时，等号成立。从而，我们得到：从而，我们得到：从而，我们得到：从而，我们得到：贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院2 2、基本不等式：若、基本不等式：若、基本不等式：若、基本不等式：若 ，那么就有，那么就有，那么就有，那么就有即即即即 ，等且仅当，等且仅当，等且仅当，等且仅当 时，等号成立。时，
5、等号成立。时，等号成立。时，等号成立。证明：证明：证明：证明：要证要证要证要证只要证只要证只要证只要证要证要证要证要证，只要证，只要证，只要证，只要证要证要证要证要证，只要证，只要证，只要证，只要证分分析析法法贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院说明：说明：说明：说明：（1 1）适用范围：）适用范围：）适用范围：）适用范围：a0,b0;a0,b0;（2 2）阐释：两数的算术平均数大于等于两数几何平均数）阐释：两数的算术平均数大于等于两数几何平均数）阐释：两数的算术平均数大于等于两数几何平均数）阐释：两数
6、的算术平均数大于等于两数几何平均数;（3 3）当且仅当）当且仅当）当且仅当）当且仅当 a=b a=b 时，等号成立。时，等号成立。时，等号成立。时，等号成立。归纳总结归纳总结2.2.基本不等式：若基本不等式：若基本不等式：若基本不等式：若 ，那么就有，那么就有，那么就有，那么就有即即即即 ，等且仅当，等且仅当，等且仅当，等且仅当 时，等号成立。时，等号成立。时，等号成立。时，等号成立。1 1、重要不等式：一般地，、重要不等式：一般地，、重要不等式：一般地，、重要不等式：一般地，当且仅当，当且仅当，当且仅当，当且仅当 时，等号成立。时，等号成立。时，等号成立。时，等号成立。分析：分析：分析：分析
7、：（1 1）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短：）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短：）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短：）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短：（2 2）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院例例1：（1 1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100m100m2 2的矩形菜园，问这个矩形的长、的矩
8、形菜园，问这个矩形的长、的矩形菜园，问这个矩形的长、的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？（2 2）一段长为）一段长为）一段长为）一段长为36m36m的篱笆所围成一个矩形菜园，问这个矩形的的篱笆所围成一个矩形菜园，问这个矩形的的篱笆所围成一个矩形菜园，问这个矩形的的篱笆所围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？长、宽各为多少时
9、，菜园的面积最大，最大面积是多少？长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院解：设长为解：设长为 m,m,宽为宽为 m,m,(1)(1)由题知，由题知，而篱笆长为，而篱笆长为由基本不等式知由基本不等式知从而有从而有等号当且仅当等号当且仅当 ，时成立。，时成立。（2 2）由题知，）由题知，而菜园面积为，而菜园面积为由基本不等式知由基本不等式知从而有从而有当且仅当当且仅当 时，等号成立。时，等号成立。贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院
10、贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院巩固练习巩固练习1.1.，当，当，当，当 取什么值，取什么值，取什么值，取什么值，的值最小？最小值是多少的值最小？最小值是多少的值最小？最小值是多少的值最小？最小值是多少?2.2.已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于5050，两直角边各为多少时，两直，两直角边各为多少时，两直，两直角边各为多少时，两直，两直角边各为多少时，两直角边的和最小，最小值是多少？角边的和最小，最小值是多少？角边的和最小，最小值是多少？角边的和最小，最小值是多少？贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院能力提高能力提高例例例例2 2：已知已知已知已知 ，求，求，求，求 的最小值。的最小值。的最小值。的最小值。练习：练习：练习：练习：贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院贵州师范大学数学与计算机科学学院课堂小结课堂小结1.基本不等式的形式。基本不等式的形式。2.基本不等式应注意的条件。基本不等式应注意的条件。3.基本不等式的应用。基本不等式的应用。作业作业A A组组组组 1 1、4 4；B B组组组组 2(2(选做选做选做选做)