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1、南京市2018届高三年级学情调研 数 学 2017 .09注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡参考公式：柱体的体积公式：VSh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1若集合P1，0，1，2，Q0，2，3，则PQ 2若(abi)(34i)25 (a，bR，i为虚数单位)，则ab的值为 3某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别
2、有150，150，400，300名学生为了解学生的就业Y（第4题）结束输入xx0y2x输出yN开始ylog2(x)倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为 4如图所示的算法流程图，若输出y的值为，则输入x的值为 5记函数f(x) 的定义域为D若在区间5，5上随机取一个数x，则xD的概率为 6在平面直角坐标系xOy中，双曲线1的焦点到其渐近线的距离为 7已知实数x，y满足条件则z=3x2y的最大 值xOy(第9题）p2为 8将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得 圆柱的体积为27cm3，则该圆柱的侧面积为 cm2.9若函数f(x)As
3、in(wxj)(A0，w0，|j|p)的部分图 象如图所示，则f(p)的值为 10记等差数列an前n项和为Sn若am10，S2m1110， 则m的值为 11已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(，0上为单调增函数若f(1)2，则满足f(2x3)2的x的取值范围是 12在ABC中，AB3，AC2，BAC120，若，则实数的值为 13在平面直角坐标系xOy中，若圆(x2)2(y2)21上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kxy30上，则实数k的最小值为 14已知函数f (x)若存在唯一的整数x，使得0成立，则实数a的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域
4、内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分） 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，E是BC的中点，求证：（1）平面AB1E平面B1BCC1；A1B1C1ABCE(第15题）（2）A1C/平面AB1E16（本小题满分14分）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB（1）若c2a，求的值；（2）若CB，求sinA的值17（本小题满分14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置设加工甲型装置的工
5、人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时设f(x)t1t2（1）求f(x)的解析式，并写出其定义域；（2）当x等于多少时，f(x)取得最小值？18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(ab0)的离心率为，且过点(1，)过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：xm(ma)于点M已知点B(1，0)，直线PB交l于点N（1）求椭圆C的方程； （2）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值yxBAMNOP(第18题）l19（本小题满分16分）已知函数f(x)2x33(a+1)x26ax，aR（1）曲线yf(x)在
6、x0处的切线的斜率为3，求a的值；（2）若对于任意x(0，+)，f(x)f(x)12lnx恒成立，求a的取值范围；（3）若a1，设函数f(x)在区间1，2上的最大值、最小值分别为M(a)、m(a)，记h(a)M(a)m(a)，求h(a)的最小值20(本小题满分16分)已知数列an的各项均为正数，记数列an的前n项和为Sn，数列an2的前n项和为Tn，且3TnSn22Sn，nN*（1）求a1的值； （2）求数列an的通项公式；（3）若k，tN*，且S1，SkS1，StSk成等比数列，求k和t的值南京市2018届高三年级学情调研卷 数学附加题 2017.09注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2
7、本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DADC求证： CA3CBDABCO（第21A题）B选修42：矩阵与变换设二阶矩阵A（1）求A1；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C：6x2y21，求曲线C的方程C选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xO
8、y中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（为参数）若直线l与圆C相切，求实数a的值D选修45：不等式选讲 解不等式：|x2|x1|5【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABAD，ADBC，APABAD1（1）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；（2）求二面角BPDA的余弦值CDPBA（第22题）23（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4现从袋中随机取两
9、个球（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望南京市2018届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题（
10、本大题共14小题，每小题5分，计70分.）10，2 27 316 4 5 63 7 6 818p 91 106 11(，2 12 13 140，23，8二、解答题（本大题共6小题，计90分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15（本小题满分14分）A1B1C1ABCE(第15题）F证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC因为AE平面ABC，所以CC1AE 2分因为ABAC，E为BC的中点，所以AEBC 因为BC平面B1BCC1，CC1平面B1BCC1，且BCCC1C，所以AE平面B1BCC1 5分因为AE平面AB1E，所以平面AB1
11、E平面B1BCC1. 7分（2）连接A1B，设A1BAB1F，连接EF在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，所以F为A1B的中点 9分又因为E是BC的中点，所以EFA1C 11分因为EF平面AB1E，A1C平面AB1E，所以A1C平面AB1E. 14分16（本小题满分14分）解：（1）解法1在ABC中，因为cosB，所以 2分因为c2a，所以，即， 所以 4分又由正弦定理得，所以 6分解法2因为cosB，B(0，p)，所以sinB2分因为c2a，由正弦定理得sinC2sinA，所以sinC2sin(BC)cosCsinC， 即sinC2cosC 4分又因为sin2Cc
12、os2C1，sinC0，解得sinC， 所以 6分（2）因为cosB，所以cos2B2cos2B1 8分又0B，所以sinB，所以sin2B2sinBcosB2 10分因为CB，即CB，所以A(BC)2B，所以sinAsin(2B) sincos2Bcossin2B 12分 () 14分17（本小题满分14分）解：（1）因为t1， 2分t2 ， 4分所以f(x)t1t2， 5分定义域为x|1x99，xN* 6分（2）f(x)1000()10x(100x)( )1010 10分因为1x99，xN*，所以0，0，所以 26， 12分当且仅当，即当x75时取等号 13分答：当x75时，f(x)取得最
13、小值 14分18（本小题满分16分）解：（1）因为椭圆C的离心率为，所以a24b2 2分又因为椭圆C过点(1，)，所以1， 3分解得a24，b21所以椭圆C的方程为y21 5分（2）解法1设P(x0，y0)，2x02， x01，则y021因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N(2x0，y0)，所以2x0m 7分由A(2，0)，P(x0，y0)，可得直线AP的方程为y(x2)， 令xm，得y，即M(m，)因为PBMB，所以kPBkMB1，所以kPBkMB1， 10分即1因为y021所以1 12分因为x02m ，所以化简得3m210m40，解得m 15分因为m2，所以m 16分解法2当
14、AP的斜率不存在或为0时，不满足条件 6分设AP斜率为k，则AP：yk(x2)，联立消去y得(4k21)x216k2x16k240因为xA2，所以xP，所以yP，所以P(，) 8分因为PN的中点为B，所以m2(*) 10分因为AP交直线l于点M，所以M(m，k(m2)，因为直线PB与x轴不垂直，所以1，即k2，所以kPB，kMB因为PBMB，所以kPBkMB1，所以1（*） 12分将(*)代入（*），化简得48k432k210，解得k2，所以m 15分又因为m2，所以m 16分19（本小题满分16分）解：（1）因为f(x)2x33(a1)x26ax，所以f (x)6x26(a1)x6a，所以曲
15、线yf(x)在x0处的切线斜率kf (0)6a， 所以6a3，所以a 2分（2）f(x)f(x)6(a1)x212lnx对任意x(0，+)恒成立，所以(a1) 4分令g(x)，x0，则g(x)令g(x)0，解得x当x(0，)时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增；当x(，)时，g(x)0，所以g(x)在(，)上单调递减所以g(x)maxg()， 6分所以(a1)，即a1，所以a的取值范围为(，1 8分（3）因为f(x)2x33(a1)x26ax，所以f (x)6x26(a1)x6a6(x1)(xa)，f(1)3a1，f(2)4令f (x)0，则x1或a 10分f(1)3a1，f(2)
16、4当1a时，当x(1，a)时，f (x)0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x(a，2)时，f (x)0，所以f(x)在(a，2)上单调递增又因为f(1)f(2)，所以M(a)f(2)4，m(a)f(a)a33a2，所以h(a)M(a)m(a)4(a33a2)a33a24因为h (a)3a26a3a(a2)0，所以h(a)在(1，上单调递减，所以当a(1，时，h(a)最小值为h()12分当a2时，当x(1，a)时，f (x)0，所以f(x)在(1，a)上单调递减；当x(a，2)时，f (x)0，所以f(x)在(a，2)上单调递增又因为f(1)f(2)，所以M(a)f(1)3a1，m(a)
17、f(a)a33a2，所以h(a)M(a)m(a)3a1(a33a2)a33a23a1因为h (a)3a26a33(a1)20所以h(a)在(，2)上单调递增，所以当a(，2)时，h(a)h() 14分当a2时，当x(1，2)时，f (x)0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)f(1)3a1，m(a)f(2)4，所以h(a)M(a)m(a)3a143a5，所以h(a)在2，)上的最小值为h(2)1综上，h(a)的最小值为 16分20（本小题满分16分）解：（1）由3T1S122S1，得3a12a122a1，即a12a10因为a10，所以a11 2分（2）因为3TnSn22Sn， 所
18、以3Tn1Sn122Sn1，得3an12Sn12Sn22an1因为an10，所以3an1Sn1Sn2， 5分所以3an2=Sn2Sn12， ，得3an23an1an2an1，即an22an1， 所以当n2时，2 8分又由3T2S222S2，得3(1a22)(1a2)22(1a2)，即a222a20因为a20，所以a22，所以2，所以对nN*，都有2成立， 所以数列an的通项公式为an2n1，nN* 10分(3)由(2)可知Sn2n1因为S1，SkS1，StSk成等比数列，所以(SkS1)2S1(StSk)，即(2k2)22t2k， 12分所以2t(2k)232k4，即2t2(2k1)232k2
19、1(*)由于SkS10，所以k1，即k2当k2时，2t8，得t3 14分当k3时，由(*)，得(2k1)232k21为奇数，所以t20，即t2，代入(*)得22k232k20，即2k3，此时k无正整数解综上，k2，t3 16分 南京市2018届高三年级学情调研数学附加题参考答案及评分标准21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤DABCO（第21A题）A选修41：几何证明选讲证明：连接OD，因为DA=DC，所以DAO=C2分在圆O中，AO=DO，所以DAO=ADO， 所以DOC=2DAO=2C5分因
20、为CD为圆O的切线，所以ODC=90， 从而DOCC90，即2CC90，故C30， 7分所以OC2OD2OB，所以CBOB，所以CA3CB 10分B选修42：矩阵与变换解：（1）根据逆矩阵公式，可得A1 4分（2）设曲线C上任意一点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下得到点P(x，y)，则 ，所以8分因为(x，y)在曲线C上，所以6x2y21，代入6(x2y)2(3x4y)21，化简得8y23x21，所以曲线C的方程为8y23x21 10分C选修44：坐标系与参数方程解：由直线l的参数方程为，得直线l的普通方程为xy102分由圆C的参数方程为，得圆C的普通方程为(xa)2+(y2a)214分因
21、为直线l与圆C相切，所以1， 8分解得a1 所以实数a的值为1 10分D选修45：不等式选讲解：(1)当x1时，不等式可化为x2x15，解得x2；2分(2)当1x2时，不等式可化为x2x15，此时不等式无解；4分(3)当x2时，不等式可化为x2x15，解得x3； 6分所以原不等式的解集为(，23，). 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分 CDPBA（第22题）xyz22（本小题满分10分）解：（1）以， 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz因为APABAD1，所以A(0，0，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)设C(1，y，0)，则
22、(1，0，1)，(1，1y，0) 2分因为直线PB与CD所成角大小为，所以|cos，|，即，解得y2或y0（舍），所以C(1，2，0)，所以BC的长为2 5分（2）设平面PBD的一个法向量为n1(x，y，z)因为(1，0，1)，(0，1，1)，则即 令x1，则y1，z1，所以n1(1，1，1) 7分因为平面PAD的一个法向量为n2(1，0，0)，所以cosn1，n2， 所以，由图可知二面角BPDA的余弦值为 10分23（本小题满分10分）解：（1）两个球颜色不同的情况共有C4296(种). 3分（2）随机变量X所有可能的值为0，1，2，3P(X0)， 5分P(X1)， P(X2)，P(X3)所以随机变量X的概率分布列为： X0123P8分所以E(X)0123 10分