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1、名师精编欢迎下载第 3 讲等比数列及其前n 项和1等比数列的有关概念(1)等比数列的定义如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比， 公比通常用字母q(q0)表示数学语言表达式：anan1q(n2)，q 为常数(2)等比中项如果 a，G，b 成等比数列，那么G 叫做 a 与 b 的等比中项即： G 是 a 与 b 的等比中项 ? a，G，b 成等比数列 ? G2ab. 2等比数列的通项公式及前n 项和公式(1)若等比数列 an 的首项为 a1，公比是 q，则其通项公式为 ana1qn1；若等比数列 an的第 m 项
2、为 am，公比是 q,则其第 n 项 an可以表示为 anamqnm. (2)等比数列的前 n 项和公式：当 q1 时，Snna1；当 q1 时，Sna11qn1qa1anq1q. 3等比数列及前 n 项和的性质(1)若 an为等比数列，且 klmn(k，l，m，nN*)，则 ak alam an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，akm，ak2m，仍是等比数列，公比为 qm. (3)当 q1，或 q1 且 n 为奇数时， Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为 qn. (4)若 an，bn( 项数相同 )是等比数列，则 an( 0)，1an， a2n， an
3、 bn，anbn仍是等比数列考点一等比数列的判定与证明【例 1】 (2015 济宁测试 )设数列 an 的前 n 项和为 Sn，若对于任意的正整数n都有 Sn2an3n，设 bnan3. 求证：数列 bn是等比数列，并求an. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页名师精编欢迎下载规律方法证明数列 an 是等比数列常用的方法： 一是定义法，证明anan1q(n2，q 为常数 )；二是等比中项法，证明a2nan1 an1.若判断一个数列不是等比数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法【训练 1】 (2013 陕西卷 )设
4、an是公比为 q 的等比数列(1)推导 an 的前 n 项和公式；(2)设 q1，证明数列 an1不是等比数列考点二等比数列基本量的求解【例 2】 (2013湖北卷 )已知等比数列 an满足： |a2a3|10，a1a2a3125. (1)求数列 an 的通项公式；(2)是否存在正整数 m，使得1a11a21am1？若存在，求 m 的最小值；若不存在，说明理由规律方法等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是， 在使用等比数列的前n 项和公式时， 应该要分类讨论， 有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程【训练
5、 2】 (1)已知 an 是首项为 1 的等比数列， Sn是an的前 n 项和，且 9S3S6，则数列1an的前 5 项和为 _(2)设 an是由正数组成的等比数列，Sn为其前 n 项和已知 a2a41，S37，则S5_. 考点三等比数列性质的应用【例 3】 (1)(2012 新课标全国卷 )已知 an为等比数列， a4a72，a5a68，则 a1a10()A7 B5 C5 D7 (2)等比数列 an的首项 a11， 前 n 项和为 Sn， 若S10S53132， 则公比 q_. 规律方法熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多， 主要是考查 “等积性 ”，题
6、目“小而巧 ”且背景不断更新 解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质， 不要把两者的性质搞精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页名师精编欢迎下载混【训练 3】 (1)已知 x，y，zR，若 1，x，y，z，3 成等比数列，则 xyz的值为()A3 B 3 C3 3 D 3 3 (2)(2014 昆明模拟 )在各项均为正数的等比数列an 中，a321，a521，则 a232a2a6a3a7()A4 B6 C8 D 84 2 1等比数列的判定方法有以下几种：(1)定义：an1anq(q 是不为零的常数， nN*
7、)? an是等比数列(2)通项公式： ancqn1(c、q 均是不为零的常数， nN*)? an是等比数列(3)等比中项法： a2n1an an2(an an1 an20 ，nN*)? an 是等比数列2方程观点以及基本量 (首项 a1和公比 q)思想仍然是求解等比数列问题的基本方法：在 a1，q，n，an，Sn五个量中，知三求二3在求解与等比数列有关的问题时，除了要灵活地运用定义和公式外，还要注意等比数列性质的应用，以减少运算量而提高解题速度基础巩固题组一、选择题1(2013 六安二模 )已知数列 an 的前 n 项和 Sn3n2，nN*，则()Aan 是递增的等比数列B an 是递增数列，
8、但不是等比数列Can 是递减的等比数列Dan 不是等比数列，也不单调2(2016 广州模拟 )已知等比数列 an 的公比 q2，前 n 项和为 Sn.若 S372，则S6等于()A.312B.632C63 D.1272精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页名师精编欢迎下载3(2013 新课标全国卷 )等比数列 an 的前 n 项和为 Sn.已知 S3a210a1，a59，则 a1()A.13B13C.19D194在等比数列 an中，a37，前 3 项之和 S321，则公比 q 的值为()A1 B12C1 或12D1 或1
9、25(2014 浙江十校联考 )若方程 x25xm0 与 x210 xn0 的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1 的等比数列，则 mn 值为()A.14B.12C2 D4 二、填空题6(2016 江西九校联考 )实数项等比数列 an 的前 n 项的和为 Sn，若S10S53132，则公比 q 等于_7在等比数列 an中，a1a230，a3a460，则 a7a8_. 8设等比数列 an的公比为 q，前 n 项和为 Sn，若 Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则 q 的值为 _三、解答题9在数列 an 中，已知 a11，且 an12an3n4(nN*)(1)求证：数列 an1an3是等比数列；(
10、2)求数列 an 的通项公式及前 n 项和 Sn. 10(2013 济南期末 )已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且满足 a24，a3a417. (1)求 an的通项公式；(2)设 bn2an2，证明数列 bn是等比数列并求其前n 项和 Tn. 第 4 讲数列求和1公式法(1)等差数列的前 n 项和公式：Snn a1an2na1n n12d. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页名师精编欢迎下载(2)等比数列的前 n 项和公式：Snna1，q1，a1anq1qa11qn1q，q1.2数列求和的几种常用方法(1)
11、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减(2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差， 在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的(4)倒序相加法如果一个数列 an 的前 n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和可用倒序相加法， 如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的(5)并项求和法在一个数列的前 n
12、项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn1002992982972 2212(1002992)(982972) (2212)(10099)(9897) (21)5 050. 3常见的拆项公式(1)1n n11n1n1；(2)12n1 2n11212n112n1；(3)1nn1n1n. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页名师精编欢迎下载辨 析 感 悟数列求和的常用方法(1)当 n2 时，1n211n11n1.() (2)求 Sna2a23a3nan时只要把上式
13、等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求得 () (3)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin2 1 sin22 sin2 3 sin2 88 sin2 89 44.5.() (4)(2014 南京调研改编 )若 Sn1234 (1)n1 n，则 S5025.() 感悟 提升 两个防范一是用裂项相消法求和时，注意裂项后的系数以及搞清未消去的项，如(1)二是含有字母的数列求和， 常伴随着分类讨论， 如(2)中 a 需要分 a0， a1， a1且 a0 三种情况求和，只有当a1 且 a0 时可用错位相减法求和 . 考点一分组转化法求和【例 1】 已知数列 an 的通项公式是
14、an2 3n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn. 规律方法(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式【训练 1】 (2014 湖州质检 )在等比数列 an中，已知 a13，公比 q1，等差数列bn 满足 b1a1，b4a2，b13a3. (1)求数列 an 与bn的通项公式；(2)记 cn(1)nbnan，求数列 cn的前 n 项和 Sn. 精选学习资料 - - - - - -
15、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页名师精编欢迎下载考点二裂项相消法求和【例 2】 (2013江西卷 )正项数列 an的前 n 项和 Sn满足：S2n(n2n1)Sn(n2n)0. (1)求数列 an 的通项公式 an；(2)令 bnn1n22a2n，数列bn 的前 n 项和为 Tn，证明：对于任意的 nN*，都有Tn564. 规律方法使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项， 未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的【训练 2】(2013 滨州一模 )已知数列 an的前 n 项和是
16、Sn， 且 Sn12an1(nN*)(1)求数列 an 的通项公式；(2)设 bnlog13(1Sn1)(nN*)，令 Tn1b1b21b2b31bnbn1，求 Tn. 考点三错位相减法求和【例 3】 (2013 山东卷)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，且 S44S2，a2n2an1. (1)求数列 an 的通项公式；(2)设数列 bn 的前 n 项和为 Tn，且 Tnan12n ( 为常数 )，令 cnb2n，(nN*)，求数列 cn 的前 n 项和 Rn. 所规律方法(1)一般地，如果数列 an是等差数列，bn 是等比数列，求数列 an bn的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，
17、一般是和式两边同乘以等比数列 bn的公比，然后作差求解(2)在写出 “ Sn” 与“ qSn” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐 ”以便下一步准确写出 “SnqSn”的表达式【训练 3】 (2013 嘉兴二模 )在数列 an中，a12，an13an2. (1)记 bnan1，求证：数列 bn为等比数列；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页名师精编欢迎下载(2)求数列 nan 的前 n 项和 Sn. 数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的
18、积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和基础巩固题组一、选择题1等差数列 an 的通项公式为 an2n1，其前 n 项和为 Sn，则数列Snn的前 10项的和为()A120 B70 C75 D100 2若数列 an 的通项公式为 an2n2n1，则数列 an的前 n 项和为 ()A2nn21 B2n1n21 C2n1n22 D2nn2 3数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 Sn1234 (1)n1 n，则 S17()A9 B8 C17 D16 4 (2014 西安质检 )已知数列 an满足 a11， an1 an2n(nN*)， 则 S2 012()A22 0
19、121 B3 21 0063 C3 21 0061 D3 21 0052 5(2014 杭州模拟 )已知函数 f(x)x22bx 过(1,2)点，若数列1f n的前 n 项和为Sn，则 S2 014的值为()A.2 0122 011B.2 0102 011C.2 0142 013D.2 0142 015二、填空题6在等比数列 an中，若 a112，a44，则公比 q_；|a1|a2|an|_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页名师精编欢迎下载7(2013 山西晋中名校联合测试 )在数列 an 中，a11，an1(1)n(an1)，记Sn为an的前 n 项和，则 S2 013_. 8 (2014 武汉模拟 )等比数列 an的前 n 项和 Sn2n1， 则 a21a22 a2n_. 三、解答题9正项数列 an 满足： a2n(2n1)an2n0. (1)求数列 an 的通项公式 an；(2)令 bn1n1 an，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页