2022年高中必修五数学数列讲义 .pdf

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1、1 第二章数列第一节：数列及其通项公式一数列的概念1数列的定义：；2表示法：；3数列的分类：；4通项公式：；5递推公式的概念：；注意：数列与集合有本质的区别 ；项与项数的区别；an与na的区别；不是每一个数列都有通项公式；na是 n 的函数。二数列通项公式的求法1根据数列的有限项，写出数列的通项公式。练习1已知数列 an 的前几项，写出数列的一个通项公式11，4，9，16，； an = ; 22 468,3 9 27 81；an = ; 33 1 3 1 31,2 3 4 5 6an = ; 49，99，999，9999，； an = ; 57，77，777，7777，； an = ; 67，

2、-77，777，-7777，； an = ; 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页2 70.5,0.55,0.555,0.5555, ； an = ; 81-1，1，-1，； an = ; 91，0，1，0，； an = ; 1011，101，1001，10001，； an = ; 1112341,2,3,4,2345； an = ; 121 3 75,2 4 8 16；an = ; 13210172637,1,3791113，； an = ; 2数列 1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，中 x,y,

3、z的值依次是A 42，41，123 B 13，39，123 C 24，23，123 D 28，27，123 3数列 1，1，2，3，5，8，；的第 7 项是。4数列an中，11(2)(nnnannn为奇数）（为偶数），则an的前 5 项是。xxxf1-)(，设*)(Nnnfan(1) 求证：1na；2an 是递增数列还是递减数列？为什么？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 24 页3 2已知数列的前n 项和求数列的通项公式（1）已知数列 an 的前 n 项和为221nSnn，求数列 an 的通项公式；（2）已知数列 an 的

4、前 n 项和为22nSnn，求数列 an 的通项公式。注 意： 1. 用数 列的 前n项和nS求通 项na的公 式是：；2. 什 么 时 候 运 用an=Sn-Sn-1求 出 的 公 式 具 有 通 用性：。练习：(3) 已知数列 an 的前 n 项和为1( 1)nnSn,则通项 an = ; 4已知数列 an 的前 n 项和为32nnS,则通项 an = ; 5已知数列 an 的前 n 项和为110log(1)nSn,则通项 an = ; 6 已 知 数 列 an 的 前n 项 和 为12111222nnnnS,则 通 项an= ; 注意： 1公式表示的是数列的前n 项和与通项之间的关系。2

5、要注意不要无视n=1 的情形，这是大家易出错的地方。3用递推公式求数列的通项公式 1 数 列na中 ，1112,(2,3,4,1nnnaaana， 则 它 的 前5 项是。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 24 页4 2数列na中，12211,2,nnnaaaaa则7a。3数列na中，满足112,2nnaaa，求数列 an 的通项公式；4数列na中，满足112,nnaaan，求数列 an 的通项公式；5数列na中，满足112,2nnaaa，求数列 an 的通项公式；6数列na中，满足112,1nnnaaan，求数列 an

6、的通项公式；第二节：等差数列一.1.定义：如果一个数列从第二项起， 每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。2.通项公式：1(1)naand或()nmaanm d3.等差中项：,a A b成等差数列， A 叫 a,b 的等差中项注：任意两个数都有等差中项2abA4.证明一个数列是等差数列的方法：一般用daann 1常数，而不用其它等价形式，假设确实无法证明daann 1，有时也可采用证明)2( ,11naaaannnn来完成。5.等差数列的性质：10d，na单增；0d，na单减；0d，是常数列。2等差数列中任意连续的三

7、项也成等差数列，反之亦然。3一个数列是等差数列，则通项公式可写成naknb,)k bR，反之亦然。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 24 页5 一个数列是等差数列，则其前n 项和可写成BnAnSn2,)A BR，反之亦然。4数列na是等差数列， 假设 m+n=p+q ，则qpnmaaaa5数列na是等差数列，项数m,p,n 成等差数列，那么,mpnaaa也成等差数列。6数列na是等差数列，则mmmmmSS,SS,S232仍成等差数列。二.等差数列的前 n 项和：1()2nnn aaS或1(1)2nn nSnad练习与应用：

8、通项公式、前 n 项和公式的基本运算1在等差数列 an中，a5=10,a12=31,求首项 a1与公差 d. 2.在等差数列 an中，a2=-5,a6=a4+6,那么 a1= . 3.在等差数列 an中，a15=8,a20=20,则 a25= . 4. 在等差数列 an中，a2+a5+a8=9,a3a5a7= -21,求通项 an. 5.在等差数列 an中，a15=8,a60=20,则 a75= . mmmmmSS,SS,S232仍成等差数列6. 在等差数列 an中，S10=310，S20=1220，求 Sn与通项 an. 假设 m+n=p+q ，则qpnmaaaa6在等差数列 an中， a3

9、+a4+a5+a6+a7=450,则 a2+a8= . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页6 7.a3,a15是方程 x2-6x-1=0 的两个根，求 a7+a8+a9+a10+a11= . 8在等差数列na中，23a，则该数列的前5 项和为A10 B16 C 20 D32 9.在等差数列na中，nS表示前n项和，且58218aaa，则9S的值为 A18 B 60 C 54 D27 10.等差数列 an，)9( ,30,240,1849naSSnn，则项数 n 为11在等差数列 an中， 前 4 项的和为 21，后

10、 4 项的和为 67，前 n 项的和为 286，则项数 n= . na中，nS表示前n项和，且0, 01312SS，当nS取得最大值时的n值为A6 B7 C 12 D不能确定13. 假设na是等差数列，首项01a，02423aa，02423aa，则使前n项和0nS成立的最大自然数n是A48 B 47 C 46 D45 14 04 年 重 庆 卷 . 文 理9 假 设 数 列na是 等 差 数 列 ， 首 项120032004200320040,0,.0aaaaa，则使前 n 项和0nS成立的最大自然数n是： A 4005 B 4006 C 4007 D 4008 15.等差数列 an，bn的前

11、 n 项和为 Sn，Tn，且71427nnSnTn,求1111ab. n是等差数列 an的前 n 项和，假设9535aa，则59SS的值为A：21B：2 C：1 D：-1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页7 17在等差数列 an中，am=n,an=m,且 mn, 则 am+n= . 18.已知等差数列na，nS是其前n 项和，对于不相等的正整数m,n，有nSmSmn,，则nmS的值为. 其奇数项和、偶数项和1、 假 设 等 差 数列 共 有 偶 数 项n2项 奇 数项 、 偶 数 项 各n项 ： 即奇S12531

12、naaaa偶Snaaaa2642则偶SndS奇，偶SnSS2奇nnaaSS1奇偶中间一对2、假设等差数列共有奇数项12n项奇数项比偶数项多1项 ：即奇S1212531nnaaaaa偶Snaaaa2642则1naSS偶奇1na为中间项，偶S12nSS奇1nnSS奇偶项数之比19. .等差数列 an共有 2n-1 项，所有奇数项的和为132，所有偶数项的和为120，则 n= . 20. 如果等差数列 an共有 10 项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为。21如果等差数列 an的项数是奇数，11a，an的奇数项的和是175，偶数项的和是 150，求这个等差数列的公差d。nS的最值问题

13、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页8 22. 等差数列 an中，an=2n-10,则nS的最小值时 n= . 23. 等差数列 an中，an=2n-11,则nS的最小值时 n= . 24在等差数列 an中, ,SS,a83125则前 n 项和nS的最小值为A：-80 B：-76 C：-75 D：-74 25.已知等差数列na，nS是其前 n 项和，且877665,SSSSSS，则以下结论错误的选项是A d 0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则 a3+a5=( ) A:5 B:10 C:15 D:20 精选学

14、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页10 7。 等比数列 an,1185,8,16aaaA： -4 B： 4 C： -2 D：2 8 。 等 比 数 列 an ，512,1247483aaaa， 公 比q为 整 数 ， 则10a。9.等比数列 an中，,aa,aa60304321则65aaA：90 B：120 C：15 D：80 10。等比数列 an中，,baa),a( ,aaa20191090则10099aaA：89abB：9)ab(C：910abD：10)ab(11。 an是各项为正数的等比数列，965aa，则1032

15、313alogalogalog=A：12 B：10 C：8 D：523log12 已知数列 an是各项都为正数的等比数列，设nnalogb2，求证数列 bn是等差数列。13。已知等比数列na的163a，且6510212aaa，求na的通项公式 . 14 。 各 项 均 为 正 数 的 等 比 数 列na中 ， 假 设1074aa， 则1021lglglgaaa；15na为等比数列，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页11 177, 299Sq，求9963aaa2前n项的和为,48nS前n2项之和602nS，求nS3

16、二。等比数列的前n 项和。11121(1)(1)11(1)nnnnaa qaqqSaaaqqna q1等比数列 an中，64216aa，318aa，40nS，求 q 和 n。2等比数列 an中，334,12aS，求1a和 q。3等比数列 an中，49nS，2112nS，则3nS= 。4等比数列 an中，11,512,341,nnaaS求 q。5求数列11,3,9,27,3,n的前 n 项和。6求222211,1,(1) ,(1),naaa的前 n 项和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页12 7求2422222,n

17、nyyy，求前 2k 项的和。8求211, ,na aa的前 n 项和。9等比数列 an,前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,前 3n 项的和为 ( ) A:183 B:108 C:75 D:63 10an成等差数列，1351a,a,a成等比数列，则该等比数列的公比为A：21B：2 C：41D：3111 an成等差数列， bn成等比数列，)n,i (b,qi2101，假设11ba，1111ba，则A：66baB：66baC：66baD：66ba或66ba12y,a,a,x21成等差数列，y,b,b,x21成等比数列，则21221bb)aa(的取值范围是A：), 4B： 0，4C：),

18、(40D：),),(40精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页13 13一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2 倍，又它的 首 项 为1 ， 且 中 间 两 项 的 和 为24 ， 则 此 等 比 数 列 的 项 数 为A12 B10 C8 D6 第四节数列的综合应用一、数列求和一 公式法1求 1，4，7，10， 3n-2,的前 n 项和。2求数列2422222,nnyyy，求前 2k 项的和 . 3求21nSaaa二 分项求和1求和 1+2+3+4+2n-1+2n2 (x-2)+(x2-2)+xn-

19、2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24 页14 3. 2(1)(2)()naaan22111()()()nnxxxyyy5.1 22334(1)n n6.1 325(21)nn三 裂项求和1111223(1)nSn n2.1111 335(21)(21)nn3.数列an成等比数列 ,各项都为正数，且q1,求证1223111111lglglglglglglglgnnnnaaaaaaaa4.) 1(1431321nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共

20、24 页15 5.)32)(12(1751531nn6) 13)(23(1741411nn7.)2(1531421311nn8.)3(1631521411nn9求n21132112111四 错位相减、其它123135212222nn2.nn2232221323.nn212252324求和2335(21)nxxxnx51+23+37+n(2n-1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 24 页16 6.已知数列 an+1是等比数列，11a，2q，求nnaaaa32132放缩及其他12222221234991002数列1414

21、13131212222222，的前 10 项和为 。A5517B111211C1113243D11132893.求和11112231nSnn4. 求121213511311nnS5. 求值设244(xxxf），求)19991998()19992()19991(fff: 6.求证：2221111223n7.21(1)(1)1 22 3(1)22nn nn n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页17 8nnn2131211)11(2二、用已知数列的前n 项和求数列的通项公式前文已有三、用递推公式求通项1已知数列 an

22、，满足， a1=2,an+1=an+2,求an 的通项公式。2。已知数列 an ，满足， a1=2,an+1=an+2n,求an 的通项公式。3。已知数列 an ，满足， a1=2,an+1=an+2n,求an 的通项公式。4已知数列 an ，满足， a1=2, an+1=an+) 1(1nn，求an 的通项公式。点击： 但凡具有an+1=an+)(nf形式都可运用此法，其中)(nf表示可求和的数列。5已知数列 an ，满足， a1=2,an=3an-1,n2求an 的通项公式。6 已知数列 an ，满足， a1=1,11nnnaan求an 的通项公式。7已知数列 an 满足，)2,(2,11

23、11nNnaaannn，求an 的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 24 页18 规律：。8已知数列 an ，满足， a1=2,an+1=2an+1,求an 的通项公式。9已知数列 an ，满足， a1=1,an+1=3an+1,求an 的通项公式。点击：1nnakab型通项公式可用此法。10*115,25nnaaan，求an 的通项公式。11*. 已知数列 an nnnaaa22, 111，求an 的通项公式。12*.已知数列 an nnnaaa23, 111，求an 的通项公式。13*.115,25nnaa

24、an，求an 的通项公式。点击：115,( )nnaakaf n型通项公式可用此法。递推公式的变形1已知数列 an ，满足， a1=21,0211nnnnaaaa，求an 的通项公式。2已知数列 an ，满足， a1=1,nnnaaa551求an 的通项公式。3项为 1 的正项数列，2211(1)0nnnnnanaaa，求数列的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页19 四nS与na的相互转化1已知数列 an满足，111,2,(2)2nnnaaS Sn， 1问数列1nS是否为等差数列。 2求 Sn和 an.

25、 2已知数列 an满足，naSnn2，求数列 an的通项公式。3已知数列 an，满足2log (1)1nSn，求通项 an. 4已知数列 an满足，41S，当2n时，)SS(annn121,求 Sn和 an. 5正数数列 an，12nnaS，求数列 an的通项公式。605， 山东 已知数列 an，51a， 前 n 项和为nS， 且)Nn(nSS*nn521，1求数列 an的通项公式。2求nnaaaa32132精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页20 几个必须熟练掌握的综合题目1. 已知数列na是等差数列，前n项和为

26、nS且3321aaa；897aa求数列na的通项公式 . 2设数列nb满足，nnSb1，求数列nb的前n和nT. 2.05 济南2 模已知数列an的前n 项和Sn是 n 的二次函数，且622321a,a,aan. 求 Sn和 an. 3. 已知数列 an满足，)n)(n( nnaaaan2132321，求数列 an的通项公式。4.数列数列 an，满足11a，当2n时，2321naaaan，求数列 an的通项公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页21 5. 设函数12)(xxxf， 数列na中，11a，2n时，

27、前 n项和nS满足)(1nnSfS（1）求数列na的通项公式；2设12nSbnn，求bn的前 n 项和nT。6.已知点列)(,(NnbaPnnn在直线12:xyL上，且yLP与为1轴的交点，数列na是公差为 1 的等差数列 . 1 求 数 列na,nb的 通 项 公 式 ； 2 假 设,)2(51nPPncnn求20432cccc7.在等比数列na中，11a， 公比 q0， 设nnab2log， 且0,6531531bbbbbb1求数列na的通项公式；2假设)6(1nnbnc，求数列nc的前 n 项和nS。8.已知数列 an是等差数列， Sn是前 n 项和，且56127321S,aaa， 1求

28、数列an的通项公式。2令)Rx( ,xabnnn，求数列 bn的前 n 项和。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页22 9.07 天津文在数列na中，12a，1431nnaan，n*N证明数列nan是等比数列；求数列na的前n项和nS；证明不等式14nnSS，对任意n*N皆成立10数列na的前n项和为nS，11a，*12()nnaS nN求数列na的通项na；求数列nna的前n项和nT11设数列na满足211233333nnnaaaa，a*N求数列na的通项；设nnnba，求数列nb的前n项和nS12. 已知数列n

29、a项和为nS，满足)3(21nnSna*Nn（1）证明：数列 3na是等比数列，并求数列na的通项公式；（2）设nnanb3，求数列nb的前 n 项和。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页23 13. 已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS求na及nS；令bn=211na(nN*)，求数列nb的前n项和nT14. 2010 上海已知数列na的前n项和为nS，且585nnSna，*nN(1) 证明：1na是等比数列；(2) 求数列nS的通项公式，并求出使得1nnSS成立的最小正整数n. 15. 2009全国卷理本小题总分值12 分设数列na的前n项和为,nS已知11,a142nnSaI设12nnnbaa，证明数列nb是等比数列II 设nnnac2，求证数列cn是等差数列。3求数列na的通项公式和前n 项和公式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24 页24 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页