信号与系统考研复习.doc

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1、第1章 信号与系统的基本概念1.1 基本要求1. 了解信号与系统的基本概念与定义，信号与系统的关系； 2. 了解信号的分类及时域描述方法，掌握常用信号、 (为实数)、 ()、的特点、性质，能画出它们的波形图； 3. 了解信号的时域分解方法与信号的基本运算方法，掌握信号的波形变换包括压缩、扩展、移位、反褶(倒置)、比例改变等； 4. 了解系统的分类及描述系统的方法，了解连续时间系统的数学模型及方框图模型；5. 了解系统的线性、时不变性、因果性和可逆性，初步学会相应的判断方法。1.2公式摘要1.2.1基本信号的定义1. 单位阶跃信号： 2. 符号函数：3. 冲激函数的定义：4. 抽样信号：5. 冲

2、激偶信号：1.2.2冲激函数的性质 1. 与普通函数相乘：，注意：无意义。2. 抽样性：， 3. 是偶函数： 4. 与阶跃函数的关系：5. 与冲激偶函数的关系：6. 尺度变换：7. 卷积运算：1.2.3 冲激偶的基本性质1. 是奇函数：2. 与普通函数相乘：3. 尺度变换： 4. 卷积运算：，5. 积分：1.2.4信号的时域分解1. 直流分量与交流分量： 2. 偶分量与奇分量： 其中偶分量，奇分量3. 脉冲分量：1.2.5线性时不变因果特性 若线性时不变因果系统的激励信号为，响应为，则该系统具有下列特性 1. 叠加性与齐次性： 2. 时不变特性： 3. 微分特性： 4. 积分特性： 5. 因果

3、性：若时 ，则时 1.3考试范围 1. 信号的分类 （1）区分模拟、连续时间离散幅度、抽样和数字信号。 （2）区分周期和非周期信号。 （3）区分能量信号和功率信号。 （4）区分奇信号和偶信号，证明相关性质。 2. 信号的描述 （1）用函数表达式（通常要用到）表示波形图。 （2）已知信号表达式，画出波形图。 （3）已知某信号波形或表达式，画出乘奇异信号后的波形。 3. 求信号的周期、奇偶分量、交直流分量、能量或平均功率 （1）求信号的最小正周期。 （2）求信号的直流分量和交流分量。 （3）求出或画出信号的奇分量和偶分量。 （4）求信号的能量或平均功率。 4. 奇异信号的性质 （1）利用的含义化简

4、表达式或证明等式。 （2）利用的各种性质化简表达式或证明等式。 （3）利用的各种性质化简表达式或证明等式。 5. 信号的尺度、移位、反褶、求导和积分运算 （1）已知原信号根据运算过程求结果信号。 （2）已知原信号和结果信号求可能的几种运算过程。 （3）求信号的取值区间随着运算的变化情况。 6. 系统的线性、时不变特性、因果性和稳定性判断 7. 系统框图与微分方程 （1）已知框图写出微分方程。 （2）已知微分方程画出相应框图。 8. 线性时不变系统特性及应用 （1）证明线性时不变系统的一些特性。 （2）已知某激励的响应，求该激励微分或积分的响应。 （3）已知两种激励的响应，求对线性组合激励的响应

5、。 9. 信号的正交分解 （1）证明两个信号正交或其他正交特性。 （2）求信号的正交分解形式或某一正交分量 （3）分析信号正交分量与原信号之间的功率特性。第2章 连续时间系统的时域分析2.1基本要求1. 掌握建立连续时间系统的数学模型的方法，对于电系统会借助微分算子与积分算子来建立系统的微分方程。2. 掌握微分方程的时域求解方法。(1) 时域完全解可分解为“齐次解+特解”、“零输入响应+零状态响应”、“稳态响应+瞬态响应”和“自由响应+强迫响应”。(2) 了解用经典法求解微分方程的步骤：能求出典型激励函数、作用下的特解；深刻理解起始点的跳变(从到状态的转换)，了解由状态求状态的方法；掌握微分方

6、程的齐次解的求解方法，牢固掌握微分方程的特征方程、特征根的求法及由特征根写齐次解的方法；掌握求完全解的方法。(3)掌握零输入响应的求解方法。(4)牢固掌握用卷积积分求解零状态响应的方法：冲激响应的计算方法，重点学会用转移算子求；深刻理解的物理意义；熟记最基本的卷积积分公式，掌握借助图解法来确定卷积积分的上、下限的方法，会用基本卷积公式及图解法求。2.2公式摘要2.2.1根据特征根情况设齐次解形式1. 若特征根为互不相同实根，齐次解可设为。其中为待定系数。2. 若为重特征根，则与有关的齐次解部分可设为。其中为待定系数。3. 若与为一重共轭复根，则对应齐次解部分可设为。其中为待定系数。4. 若与为

7、重共轭复根，则对应齐次解部分可设为。其中和为待定系数。2.2.2根据自由项形式与特征根情况设特解1. 自由项为常数，不是特征根，特解可设为。2. 自由项为常数，是重特征根，特解可设为。3. 自由项为，不是特征根，特解可设为。4. 自由项为，是重特征根，特解可设为。5. 自由项为，不是特征根，特解可设为。6. 自由项为，是重特征根，特解可设为。7. 自由项为，不是特征根，特解可设为。8. 自由项为，是重特征根，特解可设为。9. 自由项为或，不是特征根，则特解可设为。10. 自由项为或，是重特征根，则特解可设为。11. 自由项为，不是特征根，则特解可设为。12. 自由项为，是重特征根，则特解可设为

8、。13. 自由项为，不是特征根，则特解可设为。14. 自由项为，是重特征根，则特解可设为。注：这里，为待定系数；为次多项式；为次多项式；为次多项式；和为次多项式。2.2.3 求其始状态到初始条件的跳变1. 目测法。适用于简单的二阶以下的线性常系数微分方程，且自由项中不含的各阶导数项，即不含冲激偶。2. 冲激函数平衡法。适用于任何线性常系数微分方程。2.2.4 当最高求导次数不低于微分方程阶次，求和1. 对于冲激响应来说：除了零输入响应部分外，还包含和其导数项，最高为次。2. 对于阶跃响应来说：当时，不含项；当时，含有及其导数项，最高为次。2.2.5 用扩展的线性时不变特性求解1. 特性一：零状

9、态响应满足线性、时不变和微积分特性。2. 特性二：零输入响应对其始状态满足线性关系。3. 充分利用上述两条特性，列写方程组，最终求解问题。2.2.6 利用卷积定义求卷积1. 注意充分利用数轴来确定分界点，分区间求解。2. 注意积分上下限的确定。2.2.7 求解用算子符号表示的微分方程1. 通常可先将算子方程转换为普通的微分方程求解。2. 简单的算子方程可用类似求拉氏逆变换的方法求解。2.2.8 理解和应用连续时间LTI系统特征函数为的性质1. 若用T表示线性时不变系统，则。2. 是与有关的的特征值，。2.3 考试范围1. 根据电路图或仿真框图建立微分方程2. 时域经典法求解微分方程，步骤如下：

10、（1）列出特征方程，求出特征根；（2）根据特征根，设齐次解形式；（3）根据自由项和特征根情况，设特解形式；（4）将特解形式代入，求出待定系数，确定特解；（5）写出完全解形式，其中有个齐次解系数待定；（6）确定初始条件；（7）利用初始条件确定待定系数；（8）写出完全解，注意注明。3. 求起始状态、初始条件或跳变值4. 求卷积（1）简单的卷积可用卷积性质求解。（2）稍复杂的卷积可用定义和画图法求解，关键在于确定各种情况下的积分区间。（3）了解复杂卷积的数值法求解原理和过程。（4）证明卷积的其他性质，如面积特性、移位特性和尺度变换特性等等。5. 求零输入响应6. 求零状态响应7. 求冲激响应（1）已

11、知系统框图，求总冲激响应。（2）已知微分方程，求冲激响应。（3）已知其他条件，求冲激响应（综合类题型）。8. 利用冲激响应判断系统的记忆性、稳定性和因果性9. 求阶跃响应10. 利用线性时不变性质求解11. 求解用算子符号表示的微分方程第3章 傅里叶变换3.1 基本要求1. 了解函数正交的条件、完备正交函数集及信号的正交函数分解；2. 掌握傅里叶级数(包括三角形式与指数形式)的定义、性质及将周期信号展开为傅里叶级数的方法； 3. 掌握傅里叶变换和反变换的定义、性质及计算方法； 4. 掌握信号的频域分析的概念，掌握各种信号(包括周期信号、非周期信号、抽样信号、调幅信号)频谱的特点及绘制频谱图的方

12、法，了解信号的频域特性与时域特性的关系，深刻理解信号的频带宽度与信号脉冲宽度之间的关系，理解帕塞瓦尔定理的物理意义；5. 了解时域抽样与频域抽样的方法及应用，掌握时域抽样定理与频域抽样定理的内容，深刻理解其物理意义。3.2 公式摘要3.2.1 傅立叶级数的性质（设）1. 掌握和利用微积分特性。2. 掌握和利用反褶共轭特性。3. 掌握和利用时移特性。4. 掌握和利用频移特性。5. 掌握和利用功率特性。6. 利用与单周期信号傅立叶变换关系。3.2.2 函数对称性与傅立叶级数系数的关系1. 若函数初看起来无任何对称性，则要注意看看去直流后的函数对称性如何。2. 要特别注意与正弦余弦相关的某些特殊函数

13、（如半波余弦，全波余弦等）的傅立叶系数的求解或判断有无问题。3.2.3 求非周期信号的傅立叶变换1. 利用时移-尺度变换特性：先将信号表示为常见信号的尺度变换或时移的线性组合，再利用性质。2. 利用频移特性：将信号表示为的线性组合后，再利用该性质。3. 利用微积分特性：通常先对求导，先求出其导数的傅立叶变换，再利用时域积分特性求的傅立叶变换，但是需要特别注意千万不要把的傅立叶变换等同于的傅立叶变换，因为积分常数未必为。4. 利用时域卷积定理：将信号看成两个简单信号的卷积形式，然后利用该性质。5. 利用频域卷积定理：将信号看成两个简单信号的乘积形式，然后利用该性质。3.2.4 求傅立叶逆变换1.

14、 利用对称性：将变为在时域上求出的傅立叶变换，再利用对称性求出。2. 利用奇偶虚实性：可用于解答给出傅立叶变换幅频特性、相频特性和时域信号奇偶虚实性条件的傅立叶逆变换。3. 利用频域微积分特性：首先判断与哪个常见函数傅立叶变换的积分或微分形式匹配，然后用该性质求。4. 利用部分分式分解法化简成、和的线性组合形式，逆变换对应、和的线性组合。3.2.5利用傅立叶变换的性质求定积分1. 利用零点：，。2. 利用能量守恒：。3. 经常用到变换对。4. 此外，还经常用到频域卷积定理（时域信号相乘）和频域微分（时域信号乘上）性质。3.2.6 求周期信号和抽样信号的傅立叶变换1. 求周期信号的傅立叶变换一般

15、有两种解法。一种是将信号转换为单周期信号与单位冲激序列的卷积，用时域卷积定理求；一种用周期信号的傅立叶级数求，。这里，通常需要充分利用变换对。2. 抽样信号的傅立叶变换通常采用频域卷积定理求，公式为。3.2.7 抽样定理1. 求奈奎斯特频率的关键在于确定信号的最高频率成分。经常用到变换对：，并考虑卷积定理和频移特性对频率范围的影响。2. 利用抽样定理思想分析具体系统，确定无失真恢复条件，计算低通滤波器的幅值和截止频率。3.3 考试范围1. 周期信号的傅立叶级数（1）利用定义求傅立叶级数。（2）利用性质求傅立叶级数。（3）借助单周期信号的傅立叶变换求傅立叶级数。（4）求直流系数、谐波有效值、平均

16、功率。（5）证明傅立叶级数的有关性质。（6）根据对称性判断傅立叶系数的有无。（7）傅立叶有限级数逼近周期函数的最小方均误差的计算。2. 非周期信号的傅立叶变换（1）利用定义求傅立叶变换，注意傅立叶变换值（直流项）可能需要单独求。（2）利用各种傅立叶变换性质求傅立叶变换。（3）利用各种傅立叶变换性质求非周期信号的各种特征量。（4）证明傅立叶变换的各种其他性质。3. 傅立叶逆变换（1）利用定义求傅立叶逆变换。（2）利用对称性求傅立叶逆变换。（3）利用奇偶虚实性求傅立叶逆变换。（4）利用频域微积分特性求傅立叶逆变换。（5）利用部分分式展开法求傅立叶逆变换。4. 频谱、带宽、脉宽、谱线间隔、包络幅度（

17、1）求某个频率或频带对应的频谱。（2）求等效带宽、谱线间隔。（3）分析带宽、脉宽、谱线间隔、包络幅度间的关系。（4）证明有关性质。5. 利用傅立叶变换性质求定积分或证明积分等式6. 相关、功率谱和能量谱（1）求自相关函数和互相关函数。（2）求功率谱和能量谱。（3）证明相关、功率谱及能量谱的有关性质。7. 周期信号和抽样信号的傅立叶变换（1）求周期信号的傅立叶变换。（2）求抽样信号的傅立叶变换。8. 抽样定理（1）求奈奎斯特频率、角频率或周期。（2）判断是否会出现频谱混叠。（3）证明有关性质。（4）分析具体系统，确定从抽样信号无失真恢复原始信号所用低通滤波器的幅度和截止频率。第4章 拉普拉斯变换

18、、连续时间系统的s域分析4.1 基本要求1. 深刻理解拉普拉斯变换的定义、收敛域的概念；2. 熟练掌握拉普拉斯变换的性质、卷积定理的意义和它们的运用；3. 能根据时域电路模型画出s域等效电路模型，并求其冲激响应、零输入响应、零状态响应和全响应；4. 能根据系统函数的零、极点分布情况分析、判断系统的时域与频域特性；5. 理解全通网络、最小相移网络的概念以及拉普拉斯变换与傅立叶变换的关系；6. 会判断系统的稳定性。4.2 公式摘要1. 拉氏变换、傅氏变换和算子符号之间的区别和联系（1）拉氏变换法在求解问题时能够把初始条件的作用计入，而算子符号则不能。但是拉氏变换不能反映出零输入响应，可能会丢失一些

19、固有频率，而算子符号则不会。（2）傅氏变换为时域到频域变换，只能描述振荡重复频率；拉氏变换为时域到复频域变换，不仅能描述振荡，也能反映振荡幅度的衰减或增长速率。（3）拉氏变换收敛域坐标则对应傅立叶不存在；收敛坐标则对应傅立叶变换只需将用替换即可；收敛坐标，则不能简单地用替换得到对应的傅立叶变换，除此之外还将出现冲激项。2. 利用拉氏变换性质求拉氏变换（1）单边拉氏变换收敛域形式为，极点在左边。（2）利用延时定理求解拉氏变换适用于且。利用尺度变换求解拉氏变换适用于且。（3）利用时域微积分特性求解单边拉氏变换需要注意起始值和积分值。必须理解采用的原因是需要把处可能有的冲激考虑在内。（4）注意单边拉

20、氏变换的卷积定理要求参与卷积的信号为因果信号。（5）务必注意：对信号作各种操作后，会对收敛域有影响。3. 求双边拉氏变换及其收敛域（1）反因果信号的双边拉氏变换求解时需将它的积分区间通过变量替换为0到正无穷，以便判断收敛域范围。其收敛域形式为，极点在右边。（2）因果信号的双边拉氏变换求解过程与单边拉氏变换求解过程一样。其收敛域为，极点在左边。（3）双边信号的双边拉氏变换求解时需分为（1）（2）两部分进行。其收敛域为，若则双边拉氏变换不存在。（4）有限信号 的双边拉氏变换的求解按公式直接进行。收敛域至少为除和外的整个平面。4. 求拉普拉斯逆变换、初值或终值（1）利用部分分式展开法求拉氏逆变换时，

21、需要注意拉氏变换是否是有理真分式。若为有理假分式，即，则需用长除法变为多项式和真分式之和，再用部分分式将真分式展开。若设分母多项式可表示为，则假分式可描述为，最终可得（2）若拉氏变换表达式为有理分式与相乘，则需反向利用延时定理求逆变换。当拉氏变换为无理式时，需要用留数定理求逆变换。（3）利用初值定理求逆变换的初值时需要注意拉氏变换是否为有理真分式。若不是有理真分式，则需用长除法得到多项式和有理真分式，而在求初值时，只对真分式部分采用初值定理。（4）利用终值定理求逆变换终值时需要注意定理适用条件，即在平面的虚轴上及右半平面内无极点。5. 微分方程所示系统的域分析，步骤如下：（1）微分方程逐项取拉

22、氏变换，利用微积分性质代入初始条件。（2）对拉氏变换方程进行代数运算，求出响应的象函数。（3）对响应的象函数进行拉氏反变换，得到全响应的时域表示。6. 电路的域分析（1）电路元件的域模型（电阻、电感和电容）（2）等效电路法求全响应的步骤为 根据所给电路（即时的电路）求时刻电容的初始电压和电感的初始电流； 求已知输入信号的拉氏变换； 根据所给电路（即时的电路），作出其域等效电路； 针对域等效电路，根据基尔霍夫定律列写、方程，直接求出响应的拉氏变换； 再进行逆变换，就得到全响应。7. 系统函数与系统冲激响应和频率响应的关系（1）系统函数可表示为的根称为系统函数的零点。的根称为系统函数的极点。（2）

23、由于，所以的极点确定的变化模式，对的幅度和相位也有影响。（3）系统函数的零极点与系统的频率响应也有直接关系，如果系统函数的极点均在左半开平面，即系统是稳定系统，那么它在虚轴上也收敛，则有（4）稳定系统对正弦信号的稳态响应为，其中。8. 系统函数与系统稳定性的关系（1）一个系统，如果对任意的有界输入，其零状态响应也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出（）稳定的系统，简称为稳定系统。（2）若系统函数的所有极点全部位于平面的左半平面，则该系统是稳定的。（3）若系统函数的极点除在左半平面外，在轴上还有一阶极点，则该系统是临界稳定。（4）若系统函数在轴上有二阶或二阶以上的极点或在右半平面有极点，则该系

24、统是不稳定系统。（5）对于高阶系统，由于极点不太好求，可采用霍尔维兹稳定性或罗斯准则来判别系统的稳定性。将系统函数的分母多项式分为奇偶次幂项和，即，然后将作连分式展开：当全部系数时系统稳定（霍尔维兹稳定性准则）。或者利用下述罗斯判据判断：1）多项式的全部系数符号相同；2）无缺项；3）罗斯阵列中第一列数字的符号相同。罗斯阵列按如下规则排列：第1行 1 第2行 第3行 第4行 阵列中前2项直接等于分母多项式的系数，第3行后按下式计算：9. 梅森公式梅森公式表明信号流图中源点和沟点之间的传输函数为，式中表示由源点到沟点得第条前向通路的增益；为除去第条前向通路后的特征行列式；称为信号流图的特征行列式，

25、其值为，其中为所有不同回路的传输函数之和；为所有两两互不接触回路的传输函数之和；为所有三个都互不接触回路的传输函数乘积之和。4.3 考试范围1. 求拉氏变换及其收敛域（1）利用基本信号的拉氏变换及线性、时移特性。（2）利用基本信号的拉氏变换及微分、积分特性。（3）利用基本信号的拉氏变换及尺度变换特性。（4）利用基本信号的拉氏变换及s域平移特性。（5）利用基本信号的拉氏变换及卷积特性。（6）注明拉氏变换的收敛域。2. 求双边拉氏变换及其收敛域（1）左边信号的双边拉氏变换及收敛域。（2）右边信号的双边拉氏变换及收敛域。（3）双边信号的双边拉氏变换及收敛域。3. 求拉普拉斯逆变换（1）利用长除法和部

26、分分式法求拉氏逆变换。（2）利用延时定理求有理分式与相乘的逆变换。（3）利用留数定理求拉氏逆变换。（4）对于双边拉氏变换，根据极点位置分析可能的收敛域，并根据响应的收敛域求双边拉氏逆变换。4. 求初值和终值（1）利用初值定理求初值，注意是否满足定理条件。（2）利用终值定理求初值，注意是否满足定理条件。5. 求“因果周期”信号或抽样信号的拉氏变换（1）求“因果周期”信号拉氏变换。（2）求抽样信号的拉氏变换。6. 证明拉氏变换和逆变换有关的性质（1）证明基本性质。（2）证明收敛特性。（3）证明其他性质或定理。7. 利用双边拉氏变换求解电路题（考虑整个时间轴）8. 已知单边拉氏变换求对应的傅立叶变换

27、（1）收敛坐标为。用替换即可。（2）收敛坐标为。傅立叶变换不存在。（3）收敛坐标为。需考虑虚轴上极点引起的冲激项。9. 求系统函数（1）已知微分方程。（2）已知系统框图。（3）已知电路图。（4）已知信号流图，用梅森公式求。10. 求系统的全响应、零状态响应、零输入响应、冲激响应和阶跃响应（1）已知微分方程。（2）已知电路，画出电路系统的域模型，再求响应。（3）已知系统框图或信号流图。11. 判断稳定性和因果性（1）根据系统函数绘制零极点，并根据平面上的极点分布判断系统稳定性和因果性。（2）用罗斯霍尔维兹准则判断。12. 系统的信号流图描述（1）已知微分方程求系统的模拟框图和信号流图。（2）已知

28、系统函数求模拟框图和信号流图。13. 频响特性（1）已知系统函数求系统频率响应。（2）已知电路图求系统频率响应。（3）已知微分方程求系统频率响应。（4）分析电路的滤波特性（低通、高通、全通、带通、带阻）。（5）判断全通函数和最小相移特性。14. 其他题型（1）求初值和终值。（2）已知信号流图或系统框图求微分方程。（3）根据系统函数构造相对应的电路。（4）利用初值定理求零输入响应。（5）求系统函数的可能收敛域，判断各种情况下系统的因果性和稳定性。（6）利用LTI系统的特征函数满足的特性求解。第5章 傅立叶变换应用于通信系统滤波、调制与抽样5.1 基本要求1. 系统的傅立叶分析（1）LTI系统的特

29、征函数。特征函数通过LTI系统的响应为。（2）求LTI系统对正余弦信号的稳态响应。余弦信号的傅立叶变换为，则由卷积定理知，系统对余弦信号的响应为，经过化简，求逆变换可得。同理，系统对正弦信号的响应为。（3）LTI系统对一般周期信号激励的稳态响应。一般情况下，可采用两种方法：傅立叶级数和傅立叶变换，但是通常很难求出最终的逆变换。傅立叶级数法：根据特征函数概念，LTI系统对复指数信号的频率响应为同频率复指数信号，只是幅度有变化。对一个LTI系统而言，如果已知各个，那么系统对一个由复指数函数线性组合构成的输入产生的响应就可以直接求得，即。傅立叶变换法：利用卷积定理，但通常很难求逆变换。（4）求LTI

30、系统对非周期信号的响应比较简单，通常利用卷积定理，然后求逆变换（一般只需用部分分式展开法求）。（5）求理想滤波器对周期信号（包括简单的正余弦、调幅信号和特定的周期信号）的响应，只需根据理想滤波器的频率特性取舍周期信号相应频率分量，并注意幅度和相移即可。（6）信号通过线性系统的自相关函数、能量谱和功率谱分析。2. 无失真传输（1）无失真传输的时域条件为；频域条件为。求满足无失真传输所需的电路参数条件，可先求满足的参数条件，最终判断是否满足相位不失真的条件。（2）分析有失真情况下的线性畸变，主要分析幅度失真和相位失真情况，即分析对不同频率的幅度衰减和相位改变情况。3. 理想滤波器和匹配滤波器的应用

31、。注意滤波器截止频率、幅值或奈奎斯特频率等关键参数对系统功能的影响等。4. 系统的物理可实现性的判断，可利用时域充分必要条件，也可利用频域的必要条件，还可利用频域的充要条件：与满足希尔伯特变换关系。5. 窗函数的概念和应用；调制与解调系统分析；抽样和多路复用系统分析。第7章 离散系统的时域分析7.1 基本要求1. 差分方程的经典解法（1）迭代法：通常不能给出完整解析解；优点是概念清楚、比较简便。（2）时域经典法：。其中为齐次解，为特解。 设齐次方程为，。特征方程为，特征根为。则，若为重根，其余特征根均为单根，则，其中为待定系数。 特解求解方法：将代入右端化简得自由项，由自由项形式和特征根情况决

32、定特解，如下所述：若自由项为次多项式，1不是特征根，则特解设为；若自由项为次多项式，1为重特征根，则特解可以设为；若自由项为，不是特征根，则特解设为；若自由项为，为重特征根，则特解设为；若自由项为， 不为特征根，则特解可以设为；若自由项为， 为重特征根，则特解可以设为。最后，根据方程两端对应项系数相等的原则求出特解的待定系数。 阶差分方程的完全解：。利用给定的边界条件代入完全解的表达式，可得联立方程：解此方程组，可求得系数。（3）卷积和法：。其中为零输入响应，为零状态响应。同样的，响应的边界条件也分为两部分，即。式中为零输入响应边界值，为零状态响应边界值。 零输入响应是当激励时系统的响应，即齐

33、次方程的解：。若为阶重根，其余为单根，则。式中为差分方程特征根，为待定系数，利用给定零输入边界值等条件可以求得。将边界条件分别代入表达式，可得方程组解此方程组，可求得系数。值得指出：经典法中所用的边界值是零输入响应边界值和零状态响应边界值的总和，而此处用来确定系数的边界值仅是零输入响应的边界值，此时的零状态响应边界值为0。判断为0的条件是其序号应满足不等式。式中：为输出序列的最高序号，为输入序列的最高序号。 零状态响应：，式中为系统单位样值响应。 单位样值响应计算：。式中为系统的特征根；为待定系数，由单位样值的作用转换为系数的边界值来确定。此边界值可使用迭代法求得。系统的全响应可分解为零输入响

34、应和零状态响应，而零状态响应又可分为自然响应分量和受迫响应分量，它们与经典法中的齐次解和特解之间有如下关系：2. 卷积和的计算（1）对于无限序列，直接利用定义求。（2）对于两个有限序列，可以采用对位相乘求和法。例如：，如下： 2 1 4 1 3 1 5 10 5 20 5 2 1 4 1 6 3 12 3 6 5 23 12 21 57.3 考试范围1. 典型序列的性质，如序列周期的计算和周期性判断。2. 序列波形绘制、序列的运算和各种分解方法。3. 运用线性时不变特性解题。4. 求离散时间系统的齐次解和特解。5. 离散时间系统零输入响应、零状态响应的求解。6. 离散时间系统单位样值响应和单位

35、阶跃响应的求解。7. 离散时间系统仿真框图的绘制以及因果性和稳定性的判断。8. 卷积和反卷积的计算。第8章 Z变换、离散时间系统的Z域分析8.1 基本要求 通过本章的学习，应理解Z变换的定义、收敛域（ROC）的概念；掌握Z变换的性质，Z变换及逆Z变换的计算方法，以及离散系统的Z域分析法。深刻理解系统函数及与离散系统因果性、稳定性的关系，离散系统的频率响应。能绘制系统的幅频响应、相频响应曲线。8.2 公式摘要1. 双边Z变换的收敛域（1）对于双边Z变换，不同序列在不同收敛域条件下，可以对应同一个变换式。收敛域形式为，。（2）有限长序列，只在上有值。它的收敛域至少为。有限长序列的收敛域分以下几种情

36、况：当时，序列的收敛域为，包括。当时，序列的收敛域为，不包括。当时，序列的收敛域为。（3）右边序列定义在上，其Z变换收敛域至少为。根据值不同，可分为以下两种情况：当时，序列为反因果序列，其收敛域为；当时，序列的收敛域为。（4）左边序列定义在上，其Z变换收敛域至少为。根据值不同，可分为以下两种情况：当时，序列为反因果序列，收敛域为；当时，序列的收敛域为。（5）双边序列定义在 上，其Z变换可以写成如下形式：前者的收敛条件为；后者的收敛条件为。若，则收敛域为。2. 逆Z变换的求解（1）双边序列不适合用幂级数展开法求解。（2）部分分式法基本原理如下：对第一种类型：及均不为极点，可直接将展开成部分分式，

37、然后乘以得，再利用常用Z变换公式进行逆Z变换求出。对第二种类型：为极点，必须先将有限的的几项用长除法除出来，再对剩余部分进行部分分式展开；对第三种类型：为极点，必须先将有限的几项用长除法分解出来，再对剩余部分进行部分分式展开。3. 系统Z域的分析设线性时不变阶离散时间系统用差分方程描述为（1）当系统的初始条件为，而输入信号时，对上式取Z变换可得由此解出，则系统的零输入响应为。（2）如果不等于0，而初始条件为0，则差分方程的Z变换可求得零状态响应的Z变换为系统的零状态响应可由得到。（3）当系统不但具有初始条件，而且不等于0时，由求出，则全响应为。4. 扩展的初值定理（1）因果序列，收敛域，。（2

38、）反因果序列，收敛域，。（3）双边序列，收敛域，由不能简单推出。不能令，也不能令。（4）右边序列，收敛域，令，则。也可用长除法求。（5）左边序列，收敛域，令，则。也可用长除法求。5. 扩展的终值定理（1）右边序列（包含因果序列），。条件：极点在单位圆内，单位圆上只允许在处出现一阶极点。（2）左边序列（包含反因果序列），。条件：极点在单位圆外，单位圆上只允许在处出现一阶极点。（3）双边序列，与无法简单确定。6. 系统函数的零极点与系统的稳定性系统函数可表示为，当时，所以称为零点；当时，所以称为极点。的极点决定单位样值响应的形式；同时极点相对于平面上单位圆的位置，决定系统是否是稳定系统。（1）极点

39、全部在单位圆内的系统，其单位样值响应是收敛的，系统是稳定系统；（2）的一阶极点在单位圆上的系统，其单位样值响应的幅度不随变化，系统处于临界稳定；（3）在单位圆上有二阶或二阶以上极点或在单位圆外有极点的系统，其单位样值响应是发散的，系统是不稳定系统。8.3 考试范围1根据Z变换的定义和性质求Z变换。2. Z变换性质的证明，收敛域的判断。3. 利用留数法、长除法和部分分式展开法或常用幂级数公式以及Z变换的性质求逆Z变换。4. 根据极点判断可能的各种收敛域，分别求对应的序列。5. 用Z变换分析离散时间系统，并求解其响应，包括全响应、零输入响应、零状态响应和单位样值响应。6. 根据定义、信号流图、零极点分布求。7. 系统函数的应用（1）求系统的单位样值响应。（2）求系统的零状态响应，即，式中为系统激励的Z变换。（3）求系统的零输入响应，即根据的极点和初始条件求系统的零输入响应。（4）由直接写出系统的差分方程。（5）由的极点分布进行系统稳定性的判别。对于稳定因果系统，其系统函数的极点必在单位圆内。（6）研究稳定系统的频率特性，即对于稳定系统，。（7）由求稳定系统正弦稳态响应，即若已知激励，则系统的正弦稳态响应为。（8）能够根据画出系统的仿真框图和信号流图。