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1、 电子信息类考研信号与系统考研 2021 考点复习笔记 一 采 样 1.1 复习笔记 本章重点介绍了采样和采样定理，采样定理在连续时间信号和离散时间信号之间起着桥梁作用，采样在利用离散时间系统技术来实现连续时间系统并处理连续时间信号方面有着至关重要的作用。学完本章读者应该掌握以下内容：（1）重点掌握采样的过程和采样定理，牢记奈奎斯特采样频率。（2）掌握内插的定义及如何利用内插由样本重建信号。（3）重点掌握连续时间信号的离散时间化处理过程。（4）了解数字微分器及其频率特性。（5）掌握离散时间信号采样的原理及恢复原离散时间信号的方法。一、用信号样本表示连续时间信号：采样定理 1 冲激串采样（1）冲
2、激串采样的定义 冲激串采样是指用一个周期冲激串p（t）去乘待采样的连续时间信号 x（t）。该周期冲激串 p（t）称为采样函数，周期 T 称为采样周期，而 p（t）的基波频率2/T 称为采样频率。（2）冲激串采样过程（见图 7-1-1）在时域中有 xp（t）x（t）p（t）在频域中有 即 Xp（j）是频率的周期函数，它由一组移位的 X（j）的叠加组成，但在幅度上标以 1/T 的变化。图 7-1-1 冲激串采样过程（3）采样定理 频带宽度有限信号 x（t），在|M时，X（j）0。如果s2M，其中s2/T，那么 x（t）唯一地由其样本 x（nT），n0，1，2，所确定。其中频率 2M称为奈奎斯特率。
3、已知这些样本值，重建 x（t）的办法：产生一个冲激幅度就是这些依次而来的样本值的周期冲激串。将该冲激串通过一个增益为 T，截止频率大于M而小于sM的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是 x（t）。2 零阶保持采样（1）零阶保持的含义 在一个给定的瞬时对 x（t）采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止，利用零阶保持采样的原理图如图 7-1-2 所示。图 7-1-2 利用零阶保持采样（2）零阶保持采样的过程 零阶保持的输出 x0（t）在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统（该系统具有矩形的单位冲激响应）来得到，如图 7-1-3 所示。用一个单位冲激响应为 hr（t），频率响应为
4、 Hr（j）的线性时不变系统来处理 x0（t）。给出一个 Hr（j），以使 r（t）x（t）。这就要求 若 Hr（j）的截止频率等于s/2，则紧跟在一个零阶保持系统后面的重建滤波器的理想模和相位特性如图 7-1-4 所示。零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，用不着附加任何低通滤波。图 7-1-3 零阶保持输出 x0（t）的原理图 图 7-1-4 为零阶保持采样重建信号的重建滤波器的模和相位特性 需要注意以下两点：零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，而不用附加任何低通滤波；Hr（j）不可能真正实现，必须进行充分近似设计。二、利用内插由样本重建信号 内插是一个由样本
5、值来重建某一函数的常用过程，也就是用一连续信号对某一组样本值的拟合。1 零阶保持 零阶保持可以看成在样本之间进行内插的一种形式，图 7-1-5 是零阶保持和理想内插滤波器的传输函数。图 7-1-5 零阶保持和理想内插滤波器的传输函数 2 线性内插（一阶保持）（1）线性内插是将相邻的样本点用直线直接连起来，如图7-1-6 所示。图 7-1-6 线性内插（虚线表示原始信号，实线表示线性内插）（2）利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插（即带限内插）输入 xr（t）xp（t）*h（t）时 上式体现了在样本点 x（nT）之间如何拟合成一条连续曲线，因此代表了一种内插公式。对于理想低通滤波器 H（j），
6、h（t）为 所以有 按照上式在cs/2 时的重建过程如图 7-1-7 所示，其中（a）图表示带限信号 x（t），（b）图表示 x（t）的样本冲激串；（c）图表示用 sinc 函数的叠加取代冲激串的理想带限内插。图 7-1-7 利用 sinc 函数的理想带限内插 3 高阶保持 零阶保持是一种很粗糙的近似，高阶保持是更为平滑的内插手段，它们所产生的恢复信号具有更好的平滑度。三、欠采样的效果：混叠现象 混叠是指采样后信号的频谱发生重叠导致失真的现象。即当s2M时，x（t）的频谱 X（j）不在 X0（j）中重复，因此利用低通滤波不能把 x（t）从采样信号中恢复出来，这时单项发生重叠，被重建的信号 xr
7、（t）不等于 x（t）。需要注意：采样定理明确要求采样频率大于信号中最高频率的 2 倍，而不是大于或等于最高频率的 2 倍。四、连续时间信号的离散时间处理 1 对连续时间信号的处理方法 处理方法分为以下三个过程，框图如图 7-1-8 所示。（1）连续时间到离散时间的转换（C/D）：xdnxc（nT）。（2）离散时间系统内部处理，xdn和 ydn都是对应于 xc（t）和 yc（t）的离散时间信号。（3）离散时间到连续时间的转换（D/C），实现的是作为它的输入的各样本点之间的内插。图 7-1-8 连续时间信号的离散时间处理 2 连续时间信号 xc（t）和它的离散时间表示 xdn之间的关系。把从连续
8、时间到离散时间的变换表示成一个周期采样的过程，再紧跟着一个把冲激串映射为一个序列的环节，整个系统的表示如图 7-1-9 所示，其中图（a）表示整个系统；图（b）表示两种采样率的 xp（t），虚线包络代表 xc（t）；图（c）表示两种不同采样率的输出序列。图 7-1-9 用一个周期冲激串采样，再跟着一个到离散时间序列的转换 需要注意：连续时间的频率变量用表示，将离散时间的频率变量用表示。3Xc（j）、Xp（j）和 Xd（ej）的关系 xc（t）和 yc（t）的连续时间傅里叶变换分别用 Xc（j）和 Yc（j）表示；而xdn和 ydn的离散时间傅里叶变换分别用 Xd（ej）和 Yd（ej）表示。（
9、1）用 xc（t）的样本值来表示 xp（t）的连续时间傅里叶变换 Xp（j）又（tnT）的傅里叶变换是 ejnT，所以 现在考虑 xdn的离散时间傅里叶变换，即 因为 xdnxc（nT），因此 从而可得 Xd（ej）和 Xp（j）的关系 又因为 因此得到 （2）Xc（j）、Xp（j）和 Xd（ej）三者之间的关系（见图 7-1-10）Xd（ej）是 Xp（j）的重复，唯频率坐标有一个尺度变换。xdn和 xr（t）之间的频谱关系，是通过先把 xc（t）的频谱 Xc（j）按 进行周期重复，然后再跟着一个按 的线性频率尺度变换联系起来的。图 7-1-10 在两种不同采样率下，Xc（j）、Xp（j）和
10、 Xd（ej）之间的关系 4 利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统（见图7-1-11）图 7-1-11 利用离散时间滤波器过滤连续时间信号的系统 图 7-1-12 图 7-1-11 所示系统的频域说明 其中（a）连续时间信号的频谱 Xc（j）；（b）冲激串采样以后的谱；（c）离散时间序列 xdn的谱；（d）Hd（ej）和 Xd（ej）相乘后得到的 Yd（ej）；（e）Hp（j）和 Xp（j）相乘后得到的 YP（j）；（f）Hc（j）和 Xc（j）相乘后得到的 Yc（j）。（1）图 7-1-12 左边是某一代表性的频谱 Xc（j）、Xp（j）和 Xd（ej），其中假定Ms/2，所以没有混叠发
11、生。相应于时间滤波器输出的谱 Yd（ej）是 Xd（ej）和 Hd（ej）相乘，如图 7-1-12（d）所示。（2）变换到 Yc（j）就相应于进行频率尺度的变换，然后进行低通滤波，所得到的频谱分别如图 7-1-12（e）和图 7-1-12（f）所示。（3）因为 Yd（ej）是两个互为重叠的频谱积，如图 7-1-12（d）所示，所以对两者都应施加频率尺度的变换和滤波。（4）将图 7-1-12（a）和（f）进行比较，可得 Yc（j）Xc（j）Hd（ejT），在输入是充分带限的，并满足采样定理的条件下，图 7-1-12 的整个系统事实上就等效于一个响应为 Hc（j）的连续时间系统，而 Hc（j）与离
12、散时间频率响应 Hd（ej）的关系为 等效的连续时间滤波器的频率响应是该离散时间滤波器在一个周期内的特性，只是频率轴有线性尺度变化。5 数字微分器 连续时间理想带限微分器的频率响应及用于实现一个连续时间带限微分器的离散时间滤波器的频率响应如表 7-1-1 所示。表 7-1-1 连续时间理想带限微分器及相应离散时间滤波器的频率响应 6 半采样间隔延时 在输入 xc（t）是带限的，且采样率足够高以避免混叠的条件下，整个系统的输入、输出关系为 yc（t）xc（t），代表延时时间。连续时间延时系统频率响应的模和相位特性及相应的离散时间延时系统的频率响应的模和相位特性如表 7-1-2 所示。表 7-1-2 连续时间延时系统及相应的离散时间延时系统的频率响应 二 1 章信号系统重点考点复习 1、连续时间和离散时间系统 1 系统的分类（见表 1-1-11）表 1-1-11 连续和离散时间系统的定义及特点 （a）连续时间系统 （b）离散时间系统 图 1-1-2 2 系统的互联（见表 1-1-12）表 1-1-12 系统的联结方式及框图 2、基本系统性质（见表 1-1-13）表 1-1-13 基本系统性质的定义及特点