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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载三角函数的应用题 一、【学习目标】 1 、明白解直角三角形在测量及几何问题中的应用； 2 、把握仰角、俯角、坡度、坡角等概念,利用解直角三角形解应用问题； 3 、学会测量底部可以到达的物体的高度；二、【学问要求 】会利用解直角三角形的学问解决一般图形问题,并能把握把一般三角形化为直角三角形的方法；三、【例题分析】第一阶梯 例 1 如图, AD BC,ACBC,如AD=3,DC=5,且 B=30 ,求AB的长；解： DAC=90由勾股定理,有CD 2=AD 2+ACAD=3,DC=5 AC=4
2、 B=30AB=2AC AB=8 1 例 2 如图,ABC中, B=90 , D 是 BC上一点,且AD=DC,如 tg DAC=4,求 tg BAD；探究 ：已知 tg DAC是否在直角三角形中？假如不在怎么办？要求BAD 的正切值需要满意怎样的条件？点拨 ：由于已知中的 tg DAC不在直角三角形中,所以需要转化到直角三角形中,即可地 D点作 AC的垂线；又要求 BAD的正切值应已知 Rt BAD的三边长,或两条直角边 AB、BD的长,依据已知可知没有提供边长的条件,所以要充分利用已知中的 tg DAC的条件；由于 AD=DC,即 C=DAC,这时也可 把正切值直接移到 Rt ABC中；解
3、答 ：过 D点作 DEAC 于 E,且tgDAC14tgDACDEAE设 DE=k,就 AE=4k AD=DC, DAC=C, AE=EC AC=8k tgCAB1BC4设 AB=m, BC=4m 由勾股定理,有 AB 2+BC 2=AC 2m817k 第 1 页,共 10 页 17细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -BC3217k学习必备欢迎下载17由勾股定理,有CD 2=DE 2+EC 2CD17kkBD151717由
4、正切定理,有tgBADDB.ABtgBAD158 例 3 如图,四边形ABCD中, D=90 , AD=3,DC=4,AB=13,BC=12,求 sinB ；探究 ：已知条件供应的图形是什么形？其中D=90 ,AD=3,DC=4,可供应什么学问？求sinB 应放在什么图形中；点拨 ：因已知是四边形所以不能求解,由于有 D=90 , AD=3,DC=4,这样可求 AC=5,又因有 AB=13,BC=12,所以可证ABC是 Rt ,因此可求 sinB ；解 ：连结 AC D=90由勾股定理,有AC 2=CD 2+CDAD=3,CD=4,AC=5 AB=13,BC=12 13 2=12 2+5 2A
5、CB=90由正弦定义,有sinBBACABsin513其次阶梯 解：过 A 点作： ADBC 竽 D点,设 BAD=AB=AC a,BD=CD= 2BADCADA的仰角为 30 ,前进20 米后到 D处,又测得A的 例 1 如图,在河的对岸有水塔AB,今在 C处测得塔顶仰角为 45 ,求塔高AB； 第 2 页,共 10 页 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载探究 ：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什
6、么在 C、D两处测得仰角的含义是什么？怎样用 CD的长？点拨 ：要直接隔岸测得塔高是不行能的,也不行能直接过河去测量,这时只能考虑如何利用两个仰角及CD长,由于塔身与地面垂直,且C、D、B 三点共线这时可以构成一个直角三角形,且有 ACB=30 , ADB=45 ,这时就可以借助解直角三角形的学问求解了；解：依据仰角的定义,有ACB=30 , ADB=45又 ABCB于 B；DAB=45 DB=AB 设 AB=x 由正切定义,有tgADBAB31米；DB及tgACBAB.CBCDx 31CD20 ,x 3120解得x1031 即塔高AB103答：塔高 AB为101 第三阶梯 例 1 已知等腰三
7、角形的顶点为 A,底边为 a,求它的周长及面积；探究 ：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？假如不能求解是由于什么缘由造成的,这时底边为 a,能否确定腰长及各个内角呢？第一能否确定三角形是直角三角形呢假如不是直角三角形怎么办？点拨 ：由于没有相应的图形,所以应先确定图形,如是等腰三角形,应先假设这个三角形是斜三角形,再依据条件先转化为直角三角形,再求相应的量；设已知ABC中, AB=AC,BC=a（如图）依据正弦定义,有sinBADBD2a.ABa即AB2sinasin同理AC2sinaAB+AC+BC=a+sin由余切定义,有细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - -
8、- - - - - - 第 3 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -ctgBAD学习必备欢迎下载AD DBactgS ABC1BCADAD=2 例 2 有一块矩形纸片2S ABCa2ctg4留意：也可设BAC= ,就 BAD=2 ；ABCD,如把它对折,B 点落在 AD上 F 处,假如 DC=6cm,且 DFC=2 ,ECB= ,求折痕 CE长；探究 ：依据已知条件图形对折,B点落在 F 点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么图形关系？另知 DC 的长能否求折痕呢？又依据条件我
9、们仍可以确定什么？这时又可形成怎样的问题？点拨 ：由于 F 点的形成是因对折B点而形成的,因此可有EBC FEC,同时又可有AEF CDF；依据已知条件DFC=2及ECB= ,这时就可以形成与角有关的图形；进而可求CE的长；解 ：依据已知条件,有 EBC FEC EB=EF, BC=FC,ECB=ECF CFD=2 ,且 ECB= ECF=由余弦定义,有CDcos ADCCFADC=90 2CDCFsin 2由余弦定义,有cos FCE CFCE6CEsin 2 cos 例 3 如图 6-5-5 ,某船向正东方向航行,在 A 处望见灯塔 C在东北方向, 前进到 B 处望见灯塔 C在北偏西 30
10、 ,又航行了半小时,望见灯塔 C 恰在西北方向,如船速为每小时 20 海里,求 A、D两点间的距离, （结果不取近似值）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载图 6-5-5 思路分析：易知 ACD是等腰直角三角形,要求AD,不能利用 ACD直接求得,由于BD20110,图形中再没有2其他的直角三角形, 必需构造直角三角形,作 CEAD 于 E,只要求出 CE,就可能以求出AD,借助
11、两个直角三角形（ BCE和 DCE）中, BE、DE与 BD的关系以及BE与 CE之间的关系就可求CE； 解 作 CEAD,垂足为 E,设 CE=x海里CAD=CDA=90- 45 =45 , CE=AE=DE=x；在 Rt BCE中, CBE=90- 30 =60 ,BECEcot603 3x ,由 DE-BE=BD得,x3 x 3201,3海里）；海里；2解得x1553；AD2x3010答： A、D两点间的距离为30103第四阶梯 例 1 有一段防洪大堤,其横断面为梯形 ABCD,AB DC,斜坡 AD的坡度 i1=1:1.2, 斜坡 BC的坡度 i2=1:0.8 ,大坝顶宽 DC为 6
12、米,为了增强抗洪才能,现将大堤加高,加高部分的横断面为梯形 DCFE,EF DC,点 E、F分别在 AD、 BC的延长线上（如图 6-5-6 ）,当新大坝顶宽 EF为 3.8 米时,大坝加高了几米？细心整理归纳 精选学习资料 第 5 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载图 6-5-6 思路分析：此题实质上是梯形CDEF的有关运算问题, 留意到大堤加高但坡度不变,即 DE、CF的坡度公别为1:1.2,1:0.8,又
13、DC=6 米, EF=3.8 米 , 要求大坝加高的高度 可以求出新 大坝的高度 . 解, 分别作 FHDC 于 G,FHDC 于 H, 利用 Rt DEG, Rt CFH和矩形 EFHG作 EGDC,FHDC,垂足分别为 G,H,就四边形 EFHG是矩形 ,GH=EF=3.8 米. 设大坝加高 x 米, 就 EG=FH=x米； i1=1:1.2, i 2=1:0.8, EG 1, FH 1 .DG 1 . 2 CH 0 8.DG 1 . 2 x , CH 0 . 8 x .由 DG+GH+CH=6,得 1.2x+3.8+0.8=6. 解得 x=1.1 答： 大坝加高了 1.1 米； 例 2
14、如图 6-5-7 ,台风是一种自然灾难,它以台风中心为圆心在四周数十千米范畴内形式气旋风暴,有极强的破坏力, 据气象观测, 距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心,其中心最大风力为 12 级,每远离台风中心 20 千米,风力就会减弱一级,该台风中心现正以 15 千米 / 时的速度沿北偏东 30 方憧憬C移动,且台风中心风力不变,如城市所受风力达到或超过四级,就称为受台风影响；（ 1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由；（ 2）如会受到台风的影响,那么台风影响该城市的连续时间有多长？（ 3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？图 6-5-7 思路分析：（ 1）作
15、ADBC于 D,达到或超过四级风力所影响的范畴是距台风中心不超过（12-4 ） 20=160 千米的范畴内,比较 AD与 160 的大小关系,就可以确定该城市是否受这次台风的影响；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -（ 2）当 A 点距台风中心不超过学习必备欢迎下载6-5-7 ,AE=AF=160千米,当台风中心160 千米时,将受到台风的影响,如图从 E处移影响该城到 F 处时,该城市都会受到这
16、次台风的影响,利用勾股定理运算出 EF 的长度,就可以运算出这次台风市的连续时间；（ 3）明显当台风中心位于 D处时, A 市所受这次台风的风力最大； 解 （ 1）如图 6-5-7 ,由点 A 作 ADBC,垂足为D；AD=110160,所以 A 市会受AB=220,B=30 ,AD1AB110千米；2由题意,当A 点距台风中心不超过160 千米时,将会受到台风的影响,由于到这次台风的影响 . 2 在 BD及 BD的延长线上分别取E,F 两点 , 使 AE=AF=160千米 . 由于当 A 点距台风中心不超过160 千米时 , 将会受到台风的影响. 415 小时 . 所以当台风中心从E点移到
17、F 点时 , 该城市都会到这次台风的影响. 在 Rt ADE中 , 由勾股定理 , 得DEAE2AD22 1602 110305EF2DE6015 千米 . 该台风中心以15 千米 / 时的速度移动 , 这次台风影响该城市的连续时间6015153 当台风中心位于D处时 ,A 市所受这次台风的风力最大, 其最大风马牛不相及力为1211065.级20四、【课后练习 】A 组1如图： 6-5-8 ,一铁路路基的横断面为等腰梯形,依据图示数据运算路基的下底宽 AB=_；2如图 6-5-9 ,在高 2 米,坡角为 30 的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要 _ 米（精确到 0.1 米）图 6-5-8 图
18、 6-5-9 3如图 6-5-10 ,在高离铁塔150 米的 A 处,用测角仪测得塔顶的仰角为30 ,已知测角仪高AD=1.52 米,就塔高BE=_（精确到 0.1 米）细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -图学习必备欢迎下载图6-5-106-5-11 4某防洪堤坝的横断面是梯形,已知背水坡的坡长为 60 米,坡角为 30 ,就坝高为 _ 米；5升国旗时,某同学站地离旗杆底部 24 米处行注目礼,当
19、国旗升至旗杆顶端时,该同学视线的仰角恰为 30 ,如双眼离地面 1.5 米,就旗杆高度为 _ 米,（用含根号的式子表示）6在地面上一点,测得一电视塔尖的仰角为 45 ,沿水平方面再向塔底前进 a 米,又测得塔尖的仰角为 60 ,那么电视塔高为 _；7如太阳光线与地面成 37 角,一棵树的影长为 10m,就树高 h 的取值范畴是（）A3h5 B 、 5h10 C.10h15 8河堤的横断面如图6-5-11 所示；堤高BC是 5 米,迎水坡AB的长是 13 米；那么斜坡AB的坡宽 I 是（）A1：3 B 、1：2 6 C.1:2.4 D.1:2 9. 某地夏季中午,当太阳移到屋顶上方偏南时,光线与
20、地面成 80 角；房屋朝南的窗子高 AB=1.8m,要在窗子外面上方安装一个水平挡光板 AC,使午间光线不能直接射入室内（如图：6-5-12 ）,那么挡光板 AC的宽度至少应为（）图 6-5-12图 6-5-13 A1.8tan80 m B.1.8cos80 m C. 1 . 8 m D.1.8cot80 msin 8010. 如图 6-5-13 ,水库大坝的横断面为梯形,坝顶宽 6 米,坝高 24 米,斜坡 AB的坡角为 45 ,斜坡 CD的坡度I=1 ：2,就坝底 AD的长为（）A42 米 B 、（30+24 3 ）米 C 、78 米 D 、（30+8 3 ）米11、如图 6-5-14 ,
21、两条宽度都为 1 的纸条,交叉重叠放在一起,且它们的交角为 a, 就它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）A1 B. 1 C.sina D.1 sin cos细心整理归纳 精选学习资料 第 8 页,共 10 页 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载图 6-5-14 12. 如图 6-5-15 ,直升飞机在跨河大桥 AB的上方 P点处,此时飞机离地面的高度 PO=450米,且 A、B、O三点在一条直线上, 测得大桥两端的俯角分别为
22、=30 , =45 ,求大桥 AB的长（精确到 1 米,供选的数据：2 1.41, 3 1.73 ） . 13. 某型号飞机的机翼外形如图 6-5-16 所示,其中 AB CD,依据图中的数据运算 AC、BD和 CD的长度；（结果保留根号）14如 6-5-17 ,某水库大坝的横断面是等腰梯形,坝顶宽度为6 米,坝高 10 米,斜坡 AB的坡度是 1：2（AR：BR）,现要加高 2 米,在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情形下,加固一条长 50 米的大坝,需要多少土方？15如图 6-5-18, 已知 C城市在 B城市的正北方向, 两城市相距 100 千米,方案在两城市间修筑一条高速大路（即线段 BC）,
23、经测量,森林爱护区 A在 B 城市的北偏东 40 方向上,又在 C城市的南偏东 56 的方向上,已知森林爱护区 A的范畴是以 A为圆心,半径为 50 千米的圆,问：运算修筑的这条大路会不会穿越爱护区？为什么？（已知 tan40 =0.839,tan56 =1.483）B 组1、 1、 知小山的高为 h, 为了测得小山顶上铁塔 AB的高 x, 在平地上挑选一点 P,在 P点处测得 B 点的仰角为 ,A 点的仰角为 ；（见右表中测量目标图 6-5-19 ）（1）试用 、 和 h 的关系式表示铁塔高 x; （2）在右表中依据第一次和其次次的“ 测得数据” ,填写“ 平均值” 一列中 、 的数值；（3
24、）依据表中数据求出铁塔 x 的值；（精确到 0.01m）2. 如图 6-5-20 ,某校的教室 A 位于工地 O的正西方向,且 OA=200米,一台拖拉机从 O点动身,以每秒 5 米的速度沿北偏西 53 方向行驶,设拖拉机的噪声污染半径为 130 米,试问教室 A 是否在拖拉机的噪声污染范畴内 ？ 如 不 在 , 请 说 明 理 由 ； 如 在 , 求 出 教 室 A 受 污 染 的 时 间 有 几 秒 ？ （ 已 知sin53 0.80,sin37 0.60,tan37 0.75 ）图 6-5-20C组1、已知 ABC中, BAC=90 ,ADBC 于 D,CD=9,AB=20,求 sinB
25、 ；细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页,共 10 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -学习必备 欢迎下载2、已知水库大坝的横截面是梯形 ABCD,如 BC AD,坝顶 BC宽 5 米,坝高 20 米,斜坡 AB的坡度之 i=1 2.5 ,斜坡 CD的坡度 i=1 2,求坝底 AD及 AB、 CD长；3、在 Rt ABC中,ACB=Rt,CDAB 于点 D,AD4, sin ACD 4 , 就 CD, BC；5A 组答案1、34m 2、5.5
26、3、88.1 米 4.30 5.8 3 +1.5 6. 3 3 a 米27B 8、C 9 、D 10、C 11 、A 12、329 米 13、AC=3 6 米, BD=6米, CD=（11 3 3）米3314、5000 米15、过点 A 作 ADBC,垂足为 D,在 Rt ADC 中, CD= AD；在 Rt ABD 中, BD= AD,依题意有tan 56 tan 40AD + AD =100；所以 AD= 100 tan 56 tan 40 53.58 ,由于 AD50,所以方案修筑的这条高速大路tan 56 tan 40 tan 56 tan 40不会穿越森林爱护区；B 组答案：tan1
27、（1）x= 1 h;2 =29 18 , =35 59 ；（3）x30.88mtan2作 ABOM于 B,易知 AOB=90- 53 =37 ,所以 AB=OA sin AOB=OA sin37 200 0.60=120 米 ；因为 120130,所以教室 A 在噪声污染范畴内,依题意,在 OM上取两点 C、D,连结 AC、AD,使 AC=AD=130米；在 Rt ABC 中,由勾股定理可得 BC=50米,所以 CD=2BC=100米,100 =20（秒）,教室 A 受噪声污染时5间为 20 秒；C组答案 ：20x米；1、易证 ABD ABC,即AB 2=BC BD,设 BD=x,就x920 x=16,即 BD=25,AC=15,sin B352、作 BEAD于 E,CFAD于 F,AD=95米,AB53.9 米,CD44.73、3,细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页,共 10 页 - - - - - - - - -