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1、读书破万卷下笔如有神三角函数的应用题一、 【学习目标】 1 、了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。 2 、掌握仰角、俯角、坡度、坡角等概念，利用解直角三角形解应用问题。 3 、学会测量底部可以到达的物体的高度。二、 【知识要求 】会利用解直角三角形的知识解决一般图形问题，并能掌握把一般三角形化为直角三角形的方法。三、 【例题分析】第一阶梯 例 1 如图，AD BC ，AC BC ，若AD=3 ，DC=5 ，且B=30 ，求AB的长。解： DAC=90 由勾股定理，有CD2=AD2+AC2AD=3 ，DC=5 AC=4 B=30 AB=2AC AB=8 例 2 如图， ABC中， B=90
2、， D 是 BC上一点，且AD=DC ，若 tg DAC=41,求 tg BAD 。探索 ：已知 tg DAC是否在直角三角形中？如果不在怎么办？要求BAD的正切值需要满足怎样的条件？点拨 ：由于已知中的tg DAC不在直角三角形中，所以需要转化到直角三角形中，即可地 D点作 AC的垂线。又要求 BAD的正切值应已知RtBAD的三边长，或两条直角边AB 、BD的长，根据已知可知没有提供边长的条件，所以要充分利用已知中的tg DAC的条件。由于AD=DC ，即 C= DAC ，这时也可把正切值直接移到RtABC中。解答 ：过 D点作 DE AC 于 E，41DACtg且AEDEDACtg设 DE
3、=k ，则 AE=4k AD=DC, DAC= C， AE=EC AC=8k 41BCABtgC设 AB=m ，BC=4m 由勾股定理，有AB2+BC2=AC2km17178精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 读书破万卷下笔如有神kBC171732由勾股定理，有CD2=DE2+EC2kCD17kBD171715由正切定理，有.815BADtgABDBBADtg 例 3 如图，四边形ABCD 中，D=90 ， AD=3，DC=4 ，A
4、B=13 ，BC=12 ，求 sinB 。探索 ：已知条件提供的图形是什么形？其中D=90 ，AD=3 ，DC=4 ，可提供什么知识？求sinB 应放在什么图形中。点拨 ：因已知是四边形所以不能求解，由于有 D=90 ， AD=3 ，DC=4 ，这样可求AC=5 ，又因有 AB=13 ，BC=12 ，所以可证 ABC是 Rt，因此可求sinB 。解 ：连结 AC D=90 由勾股定理，有AC2=CD2+CD2AD=3 ，CD=4 ，AC=5 AB=13 ，BC=12 132=122+52ACB=90 由正弦定义，有135sinsinBABACB第二阶梯解：过 A点作：AD BC 竽 D点，设
5、BAD=AB=AC BD=CD=CADBADa,2 例 1 如图，在河的对岸有水塔AB ，今在 C处测得塔顶A的仰角为30，前进20 米后到 D处，又测得A的仰角为 45，求塔高AB 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 读书破万卷下笔如有神探索：在河对岸的塔能否直接测得它的高度？为什么在C、D两处测得仰角的含义是什么？怎样用CD的长？点拨 ：要直接隔岸测得塔高是不可能的，也不可能直接过河去测量，这时只能考虑如何利用两个仰角及CD长
6、，由于塔身与地面垂直，且C、D、B三点共线这时可以构成一个直角三角形，且有 ACB=30 ，ADB=45 ，这时就可以借助解直角三角形的知识求解了。解：根据仰角的定义，有ACB=30 ，ADB=45 又 AB CB于 B。DAB=45 DB=AB 设 AB=x 由正切定义，有20) 13(,20) 13(.xCDxCDCBABACBtgDBABADBtg及解得) 13(10 x即塔高) 13(10AB答：塔高 AB为)13(10米。第三阶梯 例 1 已知等腰三角形的顶点为A，底边为a，求它的周长及面积。探索 ：在现在的已知条件下能否求得周长与面积？如果不能求解是因为什么原因造成的，这时底边为a
7、，能否确定腰长及各个内角呢？首先能否确定三角形是直角三角形呢如果不是直角三角形怎么办？点拨 ：由于没有相应的图形，所以应先确定图形，若是等腰三角形，应先假设这个三角形是斜三角形，再根据条件先转化为直角三角形，再求相应的量。设已知 ABC中， AB=AC ，BC=a （如图）根据正弦定义，有sin2.sin2sin2sinaACaaABABBDBAD同理即AB+AC+BC=a+sina由余切定义，有精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - -
8、读书破万卷下笔如有神DBADBADctgAD=ctga2ADBCSABC21ctgaSABC42注意：也可设BAC= ，则 BAD=2。 例 2 有一块矩形纸片ABCD ，若把它对折，B点落在 AD上 F 处，如果DC=6cm ，且 DFC=2，ECB= ，求折痕 CE长。探索 ：根据已知条件图形对折，B点落在 F 点的含义是什么？它会有怎样的结论？这时又可以形成什么图形关系？另知DC 的长能否求折痕呢？又根据条件我们还可以确定什么？这时又可形成怎样的问题？点拨 ：由于 F 点的形成是因对折B点而形成的，因此可有 EBC FEC ，同时又可有 AEF CDF 。根据已知条件DFC=2 及ECB
9、= ，这时就可以形成与角有关的图形。进而可求CE的长。解 ：根据已知条件，有EBC FEC EB=EF ，BC=FC ，ECB= ECF CFD=2 ，且 ECB= ECF= 由余弦定义，有CFCDADCcosADC=90 22sinCDCF由余弦定义，有CECFFCEcoscos2sin6CE 例 3 如图 6-5-5 ，某船向正东方向航行，在 A处望见灯塔C在东北方向， 前进到 B处望见灯塔C在北偏西30，又航行了半小时，望见灯塔C 恰在西北方向，若船速为每小时20 海里，求A、D两点间的距离， （结果不取近似值）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - -
10、欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 读书破万卷下笔如有神图 6-5-5 思路分析：易知 ACD是等腰直角三角形，要求AD ，不能利用ACD直接求得，由于,102120BD图形中再没有其他的直角三角形， 必须构造直角三角形，作 CE AD 于 E，只要求出 CE ，就可能以求出AD ， 借助两个直角三角形（BCE和DCE ）中， BE 、DE与 BD的关系以及BE与 CE之间的关系就可求CE 。 解 作 CE AD ，垂足为E，设 CE=x海里CAD= CDA=90 -45=45， CE=AE=DE=x 。在
11、 RtBCE中，CBE=90 - 30=60，,3360cotxCEBE由 DE-BE=BD 得，212033xx，解得3515x。）xAD海里)(31030(2。答： A 、D两点间的距离为)31030(海里。第四阶梯 例 1 有一段防洪大堤，其横断面为梯形ABCD ，AB DC ，斜坡AD的坡度 i1=1:1.2,斜坡 BC的坡度 i2=1:0.8 ，大坝顶宽 DC为 6 米，为了增强抗洪能力，现将大堤加高，加高部分的横断面为梯形DCFE ，EF DC ，点 E、F分别在 AD 、BC的延长线上（如图6-5-6 ） ，当新大坝顶宽EF为 3.8 米时，大坝加高了几米？精品资料 - - -
12、欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 读书破万卷下笔如有神图 6-5-6 思路分析：本题实质上是梯形CDEF 的有关计算问题， 注意到大堤加高但坡度不变，即 DE 、 CF的坡度公别为1:1.2,1:0.8,又 DC=6 米， EF=3.8 米, 要求大坝加高的高度, 分别作 FH DC于 G,FH DC于 H, 利用 Rt DEG, Rt CFH和矩形 EFHG可以求出新大坝的高度 . 解作 EG DC,FH DC,垂足分别为G,H,则四边形 EFHG
13、是矩形 ,GH=EF=3.8 米. 设大坝加高x 米, 则 EG=FH=x米。 i1=1:1.2, i2=1:0.8, .8.01,2 .11CHFHDGEG.8.0,2.1xCHxDG由 DG+GH+CH=6，得 1.2x+3.8+0.8=6.解得 x=1.1 答： 大坝加高了1.1 米。 例 2 如图 6-5-7 ，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形式气旋风暴，有极强的破坏力， 据气象观测， 距沿海某城市A的正南方向220 千米 B处有一台风中心，其中心最大风力为12 级，每远离台风中心20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15 千米 / 时的速度沿北偏东
14、30方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（ 1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。（2）若会受到台风的影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？图 6-5-7 思路分析：（ 1）作 AD BC于 D，达到或超过四级风力所影响的范围是距台风中心不超过（12-4）20=160 千米的范围内，比较 AD与 160 的大小关系，就可以确定该城市是否受这次台风的影响。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6
15、页，共 11 页 - - - - - - - - - - 读书破万卷下笔如有神（ 2）当 A点距台风中心不超过160 千米时，将受到台风的影响，如图6-5-7 ，AE=AF=160千米，当台风中心从 E处移到 F 处时，该城市都会受到这次台风的影响，利用勾股定理计算出EF的长度，就可以计算出这次台风影响该城市的持续时间。（ 3）显然当台风中心位于D处时， A市所受这次台风的风力最大。 解 （1）如图 6-5-7 ，由点 A作 AD BC ，垂足为D。AB=220 ，B=30 ，)(11021千米ABAD。由题意，当A 点距台风中心不超过160 千米时，将会受到台风的影响，由于AD=110160
16、,所以 A 市会受到这次台风的影响 . (2) 在 BD及 BD的延长线上分别取E,F 两点 , 使 AE=AF=160千米 . 由于当 A点距台风中心不超过160 千米时 , 将会受到台风的影响. 所以当台风中心从E点移到 F点时 , 该城市都会到这次台风的影响. 在 RtADE中, 由勾股定理 ,得5301101602222ADAEDE15602DEEF( 千米 ). 该台风中心以15 千米 / 时的速度移动 , 这次台风影响该城市的持续时间154151560( 小时 ). (3) 当台风中心位于D处时,A 市所受这次台风的风力最大,其最大风马牛不相及力为)(5.62011012级四、 【
17、课后练习 】A组1如图： 6-5-8 ，一铁路路基的横断面为等腰梯形，根据图示数据计算路基的下底宽AB=_ 。2如图 6-5-9 ，在高 2 米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要 _ 米（精确到0.1 米）图 6-5-8图 6-5-9 3如图 6-5-10 ，在高离铁塔150 米的 A 处，用测角仪测得塔顶的仰角为30，已知测角仪高AD=1.52 米，则塔高BE=_（精确到 0.1 米）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -
18、- 读书破万卷下笔如有神图6-5-10图6-5-11 4某防洪堤坝的横断面是梯形，已知背水坡的坡长为60 米，坡角为30，则坝高为_ 米。5升国旗时，某同学站地离旗杆底部24 米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30，若双眼离地面1.5 米，则旗杆高度为_ 米， （用含根号的式子表示）6在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45，沿水平方面再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60，那么电视塔高为_。7若太阳光线与地面成37角，一棵树的影长为10m ，则树高h 的取值范围是（）A3h5 B 、 5h10 C.10h15 8河堤的横断面如图6-5-11 所示。堤高BC是 5 米
19、，迎水坡AB的长是 13 米。那么斜坡AB的坡宽 I 是（）A1：3 B 、1：2 6 C.1:2.4 D.1:2 9. 某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时，光线与地面成80角。房屋朝南的窗子高AB=1.8m,要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，使午间光线不能直接射入室内（如图：6-5-12 ） ，那么挡光板AC的宽度至少应为（）图 6-5-12图 6-5-13 A1.8tan80 m B.1.8cos80 m C.80sin8.1m D.1.8cot80 m10. 如图 6-5-13 ，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6 米，坝高24 米，斜坡AB的坡角为45，斜坡CD的坡度I=1 ：
20、2，则坝底 AD的长为（）A42 米 B 、 （30+243）米 C 、78 米 D 、 （30+83）米11、如图 6-5-14 ，两条宽度都为1 的纸条，交叉重叠放在一起，且它们的交角为a, 则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积为（）Asin1 B.cos1 C.sina D.1 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 读书破万卷下笔如有神图 6-5-14 12. 如图 6-5-15 ，直升飞机在跨河大桥AB的上方 P点处，此时飞机
21、离地面的高度PO=450米，且 A、B、O三点在一条直线上， 测得大桥两端的俯角分别为=30,=45，求大桥 AB的长（精确到 1 米，供选的数据：2 1.41, 31.73 ）. 13. 某型号飞机的机翼形状如图6-5-16 所示，其中AB CD ，根据图中的数据计算AC 、BD和 CD的长度。（结果保留根号）14如 6-5-17 ，某水库大坝的横断面是等腰梯形，坝顶宽度为6 米，坝高 10 米，斜坡AB的坡度是1：2（AR ：BR） ，现要加高2 米，在坝顶宽度和斜坡坡度不变的情况下，加固一条长50 米的大坝，需要多少土方？15 如图 6-5-18, 已知 C城市在 B城市的正北方向， 两
22、城市相距100 千米，计划在两城市间修筑一条高速公路（即线段 BC ） ，经测量，森林保护区A在 B 城市的北偏东40方向上，又在C城市的南偏东56的方向上，已知森林保护区A的范围是以A为圆心，半径为50 千米的圆，问：计算修筑的这条公路会不会穿越保护区？为什么？（已知tan40=0.839,tan56 =1.483）B组1、 1、 知小山的高为h, 为了测得小山顶上铁塔AB的高 x, 在平地上选择一点P， 在 P点处测得B点的仰角为，A点的仰角为。 （见右表中测量目标图6-5-19 ）（1）试用 、 和 h 的关系式表示铁塔高x; （2）在右表中根据第一次和第二次的“测得数据”，填写“平均值
23、”一列中、 的数值；（3）根据表中数据求出铁塔x 的值。（精确到 0.01m）2. 如图 6-5-20 ，某校的教室A位于工地 O的正西方向，且OA=200米，一台拖拉机从O点出发，以每秒5 米的速度沿北偏西53方向行驶，设拖拉机的噪声污染半径为130 米，试问教室A 是否在拖拉机的噪声污染范围内 ？ 若 不 在 ， 请 说 明 理 由 ； 若 在 ， 求 出 教 室A受 污 染 的 时 间 有 几 秒 ？ （ 已 知sin53 0.80,sin37 0.60,tan37 0.75）图 6-5-20C组1、已知 ABC中，BAC=90 ，AD BC 于 D，CD=9 ，AB=20 ，求 sin
24、B 。精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 读书破万卷下笔如有神2、已知水库大坝的横截面是梯形ABCD ，若 BC AD ，坝顶 BC宽 5 米，坝高20 米，斜坡AB的坡度之i=1 2.5 ，斜坡 CD的坡度 i=1 2，求坝底AD及 AB 、 CD长。3、在 RtABC中，ACB=Rt ,CDAB 于点 D，AD 4,54sinACD则 CD ， BC 。A组答案1、34m 2、5.5 3、88.1 米 4.30 5.(83+1.
25、5) 6.a233米7B 8、C 9 、D 10、C 11 、A 12、329 米 13、AC=36米， BD=6米， CD= （33311）米14、5000 米315、过点A 作 AD BC ，垂足为D，在RtADC 中， CD=56tanAD；在RtABD 中， BD=40tanAD，依题意有56tanAD+40tanAD=100。所以 AD=40tan56tan40tan56tan100 53.58 ，因为 AD50 ，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越森林保护区。B组答案：1 （1）x=1tantanh;(2) =2918， =3559；（3）x30.88m2作 AB OM于 B，易知
26、 AOB=90 - 53=37，所以AB=OA sin AOB=OAsin37 2000.60=120( 米) 。因为 120130，所以教室A 在噪声污染范围内，依题意，在OM上取两点C 、D，连结 AC 、AD ，使 AC=AD=130米。在 Rt ABC 中，由勾股定理可得BC=50米，所以 CD=2BC=100 米，5100=20（秒） ，教室 A受噪声污染时间为 20 秒。C组答案 ：1、易证 ABD ABC ，即AB2=BC BD ，设 BD=x ，则20920 xx x=16，即 BD=25 ，AC=15 ，53sin B2、作 BE AD于 E，CF AD于 F，AD=95米，AB 53.9 米，CD 44.7米。3、3，精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - - 文档编码：KDHSIBDSUFVBSUDHSIDHSIBF-SDSD587FCDCVDCJUH 欢迎下载 精美文档欢迎下载 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - - -