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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -分式的基本性质典型例题例 1 以下分式的变形是否正确,为什么？（1）例 2（1）例 3bab（2）bbcaa2aac写出以下等式中的未知分子或未知分母；ab2b（2）a2a2a1a1ab 2a331不转变分式的值,将以下各分式中的分子和分母中的各项系数都化为整数 . （1）例 40 .2x0.3y（2）0 2.x1yy0.5x0 .02y1 4x2y3不转变分式的值,使以下各分式中的分子、分母的最高次项系数为正数. 2（1）1 a2 a3（2）2 x 31 a a x 3 x 2例 5 已知不论 x 取什么数
2、时,分式 ax 3（bx 5 0）都是一个定值,求bx 5a 、 b 应满意的关系式,并求出这个定值 . 例 6 已知一个圆台的下底面是上底面的 4 倍,将圆台放在桌面上,桌面承担压强为 P 牛顿 / 米 ,如将圆台倒放,就桌面受到的压强为多少？例 7 不转变分式的值,使以下分式的分子、分母前都不含“”号：细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 8不转变分式的值,使分式01x1yy的分子、分母中的多
3、项式的系数235.x0 .4都是整数例 9 判定以下分式的变形是不是约分变形,变形的结果是否正确,并说明理由：（1）aab11b；x32x；（2）aba1b；a2b2（3）3 x2x2x2（4）aba1bx2b2a2例 10化简以下各式：（1）3 a3 b3；x2（2）a416；45a2 b2 a2 b8 b（3）x23x3x2xx2x2x6细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -参考答案例 1 分析
4、分式恒等变形的依据是分式的基本性质,应当严格地用基本性质去衡量,M 0 是基本性质的生果组成部分,应特殊留意 . 解 （1）已知分式 b/ a 中已隐含了 a 0,用 a 分别乘以分式的分子、分母,分式的值不变,故（1）是正确的 . （2）由于已知分式 a / b 中,没限制 c , c 可以取任意数,当然也包括了c 0,当分式的分子、分母都乘以 c 0 时,分式没意义,故（ 2）是错误的 . 例 2 分析（1）式中等号两边的分母都是已知的,所以从观看分母入手, 明显,a 2b 3 是由 ab 乘以 ab得到的,由分式的基本性质,2 a b 也要乘以 ab,所以括号内应填 a b ab2 2（
5、2）式中等号两边分子都已知,所以先观看分子,a 2 a 1 a 1 除以a 1 得到右边分子 a 1,依据分式的基本性质, a 31 a 1 a 2a 1,故括号内应填 a 2a 1 .解：（1）a2 b a b2 3 abab a b2（2）a3 2 a 12 a 1a 1 a a 1 例 3 分析 要把分式的分子、分母中各项系数都化为整数,可依据分式的基本性质,将分子、分母都乘以一个恰当的不为零的数,怎样确定这个数呢？（1）中分子、分母中的各项系数是小数,这个数应是各项系数的最小公倍数. （2）中分子、分母中各项系数0 2.1是分数,这个数应当是各项系数的5分母的最小公倍数,即5,2,4,
6、3 的最小公倍数 60. 细心整理归纳 精选学习资料 解：（1）法 1：原式02.x0.3y50 第 3 页,共 7 页 0.5x0 .02y5010x15y25xy - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -法 2：原式0 .2x03.y1000.5x0.02y10020 x 30 y 10 x 15 y50 x 2 y 25 x y（2）原式 15 x 12 y 60 12 x 30 y 1 x 2 y 60 15 x 40 y4 3说明 在将分式的分
7、子、分母都乘以（或除以）同一个不为零的数时,要遍乘分子分母的每一项,防止漏乘 . 例 4 分析（1）式中分子要变号,分母也要变号,所以应当同时转变分子、分母的符号. （2）式中分母需要变号,分子不需要变号,所以需要同时转变分母和分式本身的符号 . 解：（1）1aa2 1aa2a2a1 第 4 页,共 7 页 - - - - - - - - - 1a2a31a2a3a3a21（2）x2x32xx32x2x3323 x23xx例 5分析在讨论某些有关特值的数学问题时,我们可以不考虑一般值,而是直接利用取符合条件特殊值代入讨论解决,这就是所谓的特殊值法. 解：当x0时,ax33bx55x1时,ax3
8、a3bx5b5不论 x 取什么实数,ax3是一个定值bx5a33,5 a153 a15b553 5b5 a3 ba把a3b代入原式,得5ax33bx33bx5 355bx5bx5bx55细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - a 、 b 的关系为5 a3 b；定值为35例 6就解：设圆台的压力为 G 牛顿,下底面积为S 1米 ,上底面积为S 2米 . GPG,S 14S 2S 1PS 14PS 2当圆台倒放时,桌面受到的压强为：G 4 S 2 P4 P 牛顿 /
9、 米 S 2 S 2答：桌面受到的压强为 4 P 牛/ 米 . 说明 运用分式学问,有助于解决物理中问题（1）5 m；（2）4 b；（3）3 x；（4）a b2 n a 6 x y 2 a 3 b例 7 分析 依据 “分式的变号法就：分子、分母、分式的符号中,同时改变其中任意两个,分式的值不变”解：（1）同时转变分子和分式的符号,得5 m5 m；2 n2 n（2）同时转变分母和分式的符号,得4 b4 b；aa（3）先确定是分母的符号,再变号,得63xy63xy63 xy；xxx（4）先确定是分子的符号,然后变号,得2 a3 b2 a3 b2 a3 b 第 5 页,共 7 页 - - - - -
10、 - - - - ababab说明1分式中的分数线实际上起到了括号的作用假如分式的分子或分母是多项式,要把它看成是一个整体,考虑这个整体的符号,如（3）,（4）题,千万不行误会成63 xy63xy或2 a3 b2a3b；xxabab细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -2对于（ 4）题,也可处理成2 a3 b3 b2 a的形式abab例 8分析此分式分子中各系数的最小公倍数是6,分母中各系数的最小公倍数是 10,而 10 和 6 的小公倍数是 30于是可利用分式
11、的基本性质：分子、分母同时乘以 30解：说明1x1 3y1x1y3015 x10y2230 5.x0 4.y1x2y3015 x12y251利用分式基本性质将分式的分子、分母化成整系数形式,表达了数学化繁为简的策略,并为分式作进一步处理,供应了便利条件2操作过程中, 用数 30 的确定是问题的关键所在 因此不仅要考虑到分子、分母,仍要考虑分式,使化成整系数一次到位例 9分析约分变形的前提是分子、分母有公因式解：（1）、（2）、（3）题的变形都不是约分,结果都是错误的（1）分式的分子和分母分别是一个整式,利用分式的基本性质,“除以一个整式 a ”是对分子、分母的整体进行的而只对分子和分母中的某一
12、项进行,就违反了分式基本性质的使用前提,所以是错误的（2）分式的分母是个平方和的形式,不能分解因此分子、分母没有公因式,它是最简分式故此题的变形是毫无依据的（3）当分子、分母都是乘积的形式, 才有约分的可能, 而这里x32x2与x2是和的形式,因此不能进行约分正确的结果解法是：因式x32x22x2x2x22x2x2x21x21xxx2（4）此题是约分变形因此分母化成abab的形式,与分子约去公ab可得说明1对于代数式的恒等变形形式多样,但每一种变形却是运用定义、定理,并依据法就规范操作,而绝不能随心所欲；2对（ 1）、（2）、（3）题的变形错误,实际上也可以举反例说明如（1） 第 6 页,共
13、7 页 题：当a2,b3时,223113（2）、（3）题同理细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -例 10分析化简就是把分式的分子、分母中的公因式约去使其成为最简公式因此对分子、分母是单项式时候,先分别化成与公因式的乘积形式；对于多项式仍旧要先分解因式解：说明（1）3 a3b33 a2ba2a2；45a23 ba2b15 b15 b（2）2a4b16a242a244a2b4；a28 b2 ba2（3）x23xx23x2xx3x1x21xx2x2x6x1xx2x31当分式中分子或分母的系数为负时,处理负号是第一要进行的2约分是实现化简分式的一种手段通过约分将分式化成最简才是目的 而最简分式为分式间的进一步运算供应了便利条件3把分式的分子、分母因式分解是约分的需要,但也要依据分式的详细情况,而不行盲目进行分解例如（2）题,分式a24已经是最简分式了,因此2 b就没有必要将分子再连续分解了细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - -