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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载【学问纵横】中考数学专题讲座 探究、操作性问题探究争论是通过对题意的懂得,解题过程由简洁到难,在承上启下的作用下,引导同学 摸索新的问题,大胆进行分析、推理和归纳,即从特别到一般去探究,以特别去探求一般从而获得结论, 有时仍要用已学的学问加以论证探求所得结论；行操作,考察同学的动手才能、想象才能和概括才能；【典型例题】【例 1】（江苏镇江 探究争论操作性问题是让同学按题目要求进如图,在直角坐标系xOy 中,点 P 为函数y12 x 在第一象限内的图象上的任一x 轴,4点,点 A的坐标为 0 1, ,直线 l 过B0,1且与
2、x 轴平行,过 P 作 y 轴的平行线分别交l 于 C,Q,连结 AQ 交 x 轴于 H ,直线 PH 交 y 轴于 R （1）求证： H 点为线段 AQ 的中点；（2）求证：四边形APQR 为平行四边形；平行四边形APQR 为菱形；y P A H C l x O B Q R 名师归纳总结 - - - - - - -（3）除 P 点外,直线 PH 与抛物线y12 x 有无其它公共点？并说明理由4【思路点拨 】（2）证RAHPQH；设Pm,14m2,证 AP=PQ ;（3）求直线 PR的解析式与抛物线方程y12 x 组成联立方程组,争论方程组解的情形；4第 1 页,共 13 页精选学习资料 -
3、- - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载【例 2】（福建南平）（ 1）如图 1,图 2,图 3,在ABC中,分别以 AB,AC为边, 向ABC外作正三角形,正四边形,正五边形,BE,CD相交于点 O 如图 1,求证：ABEADC；探究：如图 1,BOC；如图 2,BOC；如图 3,BOC（2）如图 4,已知： AB,AD 是以 AB 为边向ABC 外所作正n 边形的一组邻边；AC,AE 是以 AC 为边向ABC 外所作正 n边形的一组邻边BE,CD 的延长相交于点 O猜想：如图 4,BOC（用含 n 的式子表示） ；依据图 4 证明你的猜想【 思 路 点 拨 】（ 2 ） 由 正
4、n 边 形 的 内 角 定 理 , 证名师归纳总结 ABEADC；第 2 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载【例 3】（内江市）AB在 一平 直河岸 l 同 侧有 A,B两 个 村庄 , A,B到 l 的 距离分 别是3km 和2km ,a kma1现方案在河岸l 上建一抽水站P ,用输水管向两个村庄供水方案设计某班数学爱好小组设计了两种铺设管道方案：图13-1 是方案一的示意图,设该方案中管道长度为d ,且d1PBBAkm（其中 BPl 于点 P ）；图 13-2 是方案二的示意图,设该方案中管道长度为d ,且d2
5、PAPBkm（其中点 A 与点 A 关于 l 对称, A B 与 l 交于点 P ）A 图 13-1 B l A P B l A P B l K P C C A图 13-2 A图 13-3 观看运算（ 1）在方案一中,d 1 km（用含 a 的式子表示）；（ 2）在方案二中,组长小宇为了运算 d 的长,作了如图 13-3 所示的帮助线,请你按小宇同学的思路运算,d 2 km（用含 a 的式子表示）探究归纳名师归纳总结 - - - - - - -（ 1）当a4时,比较大小：d1_d （填“ ” 、“ ” 或“ ”）；当a6时,比较大小：d1_d （填“ ” 、“ ” 或“ ”）；（ 2）请你参考
6、右边方框中的方法指导,方法指导m 与 n 的大小时,就 a （当a1时）的全部取值情形进当不易直接比较两个正数行分析,要使铺设的管道长度较短,可以对它们的平方进行比较：2m n m n m n ,m n2 2 m n 与 m n 的符号相同2 2当 m n 0 时,m n 0,即m2 2当 m n 0 时,m n 0,即 m2 2当 m n 0 时,m n 0,即m0,应挑选方案一仍是方案二？【思路点拨 】参考方法指导解答探究n ；归纳（ 2）；n ；n ；第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2 开” 纸、“4 开”【例 4】（浙江宁波）
7、 如图 1,把一张标准纸一次又一次对开,得到“纸、“8 开” 纸、“16 开” 纸 已知标准纸的短边长为 a （1）如图 2,把这张标准纸对开得到的“16 开” 张纸按如下步骤折叠：第一步将矩形的短边AB 与长边 AD 对齐折叠,点B 落在 AD 上的点 B 处,铺平后得折痕 AE ；就其次步将长边 AD 与折痕 AE 对齐折叠,点D 正好与点 E 重合,铺平后得折痕AF AD AB的值是, AD,AB的长分别是,（ 2）“ 2 开” 纸、“ 4 开” 纸、“ 8 开” 纸的长与宽之比是否都相等？如相等,直接写出这个比值；如不相等,请分别运算它们的比值（ 3）如图 3,由 8 个大小相等的小正
8、方形构成“L ” 型图案, 它的四个顶点 E, ,G,H分别在“16 开” 纸的边 AB,BC,CD,DA 上,求 DG 的长（ 4）已知梯形 MNPQ 中, MNPQ,M 90,MN MQ 2 PQ ,且四个顶点M,N, ,Q 都在“4 开” 纸的边上,请直接写出 2 个符合条件且大小不同的直角梯形的面积a 2 开4 开A BD A E F 图 3 H D 8 开 16 开B E 图 2 F B G C C 图 1 （第 26 题）【 思路点拨 】（3）证HDGGCF,FBEGCF,设 DGx ,建立关于x的方程解之；（4）参考图 3 分二类情形争论；名师归纳总结 - - - - - - -
9、第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载【学力训练】1、（山东聊城） 探究争论：如图,把一张长10cm,宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形,再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽视不计）（1）要使长方体盒子的底面积为 48cm 2,那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情形？假如有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；假如没有,请你说明理由；（3）假如把矩形硬纸板的四周分别剪去2 个同样大小的正方形和2 个同样外形、同样大小的矩形,然后折合成一个有盖的长方体盒子,是
10、否有侧面积最大的情形；假如有,请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；假如没有,请你说明理由2、（山东枣庄）把一副三角板如图甲放置,其中ACBDEC90,A45,D30,斜边AB6cm,DC7cm把三角板 DCE绕点 C顺时针旋转15 得到D1CE1（如图乙）这时 AB与 CD 1 相交于点 O,与 D1E1相交于点 F（ 1）求OFE1的度数；（ 2）求线段 AD1 的长；（ 3）如把三角形D1CE1 围着点 C 顺时针再旋转30 得 D2CE2,这时点 B在 D2CE2的内部、A D 1外部、仍是边上？说明理由D A O F 名师归纳总结 C （甲）E B C （乙）E1B 第 5 页,共
11、 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载3、（江苏盐城） 如图甲,在ABC 中, ACB 为锐角点 D 为射线 BC 上一动点,连接AD,以 AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF 解答以下问题：（1）假如 AB=AC , BAC=90o关系为当点 D 在线段 BC 上时（与点B 不重合）,如图乙,线段CF、BD 之间的位置 ,数量关系为 当点 D 在线段 BC 的延长线上时,如图丙,中的结论是否仍旧成立,为什么？FBDAEFCBAEFBA图丙CDE图甲DC图乙第 28 题图（ 2）假如 AB AC , BAC 90o,点
12、 D 在线段 BC 上运动摸索究：当ABC 满意一个什么条件时,CFBC（点 C、F 重合除外）？画出相应图形,并说明理由（画图不写作法）（3）如 AC 4 2 ,BC=3,在（ 2）的条件下,设正方形 相交于点 P,求线段 CP 长的最大值ADEF 的边 DE 与线段 CF 4、（07 丽水市 ）如图,在平面直角坐标系中,直角梯形 ABCO 的边 OC 落在 x 轴的正半轴上,且 AB OC , BC OC , AB =4, BC =6, OC =8正方形 ODEF 的两边分别落在坐标轴上, 且它的面积等于直角梯形ABCO 面积将正方形 ODEF 沿 x 轴的正半轴平行移动,设它与直角梯形A
13、BCO的重叠部分面积为S （ 1）分析与运算：求正方形 ODEF 的边长；（ 2）操作与求解：正方形 ODEF 平行移动过程中,通过操作、观看,试判定 S（ S 0）的变化情形是；A逐步增大 B逐步削减 C先增大后削减 D先削减后增大当正方形 ODEF 顶点 O 移动到点 C 时,求 S 的值；（ 3）探究与归纳：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载S与x的函数关系设正方形 ODEF 的顶点 O 向右移动的距离为x ,求重叠部分面积式yA B E F A B D O C xC x（备用图）探究操作性
14、问题【典型例题】名师归纳总结 【例 1】（江苏镇江 （1）由题可知AOCQ1112 m PQAOHQCH90,AHOQHC ,AOHQCHOHCH ,即 H 为 AQ 的中点（2）由（ 1）可知 AHQH ,AHRQHP ,ARPQ,RAHPQH ,RAHPQHARPQ ,又 ARPQ,四边形 APQR 为平行四边形设Pm,142 m,PQy轴,就Q m,1,就PQ4过 P 作 PGy 轴,垂足为 G ,在 RtAPG中,21m21APAG2PG21m2122 m1m21444平行四边形APQR 为菱形, ,P m,14m2代入得：（3）设直线 PR为 ykxb ,由 OHCH ,得Hm2第
15、7 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - m k 2b0,.学习好资料欢迎下载12 m km,直线 PR为ymx2kmb1m2b1m2.2444设直线 PR与抛物线的公共点为x,14x2,代入直线 PR关系式得：m,14m21x2mx12 m0,1 4xm20,解得 xm 得公共点为424所以直线 PH 与抛物线y12 x 只有一个公共点P 4【例 2】（福建南平）（1） 证法一：ABD与ACE均为等边三角形,ADAB , ACAEBAC ,且BADCAE60BADBACCAE即DACBAEABEADC 120 , 90 , 72 （2）3
16、60 n证法一： 依题意,知BAD 和CAE 都是正 n 边形的内角,ABAD , AEAC ,BADCAEn2180DAE ,即BAEDAC nBADDAECAEABEADCODA180,ABOODA180 13 分ABEADC ,ADCABOODADABBOC360,BOCDAB180BOC180DAB180n2180360nn【例 3】（内江市）观看运算名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）a2；学习好资料欢迎下载（2）242 a探究归纳（1）；d 20d 1d ；（2）2 d 1d2a22a22424 a
17、202当 4 a200,即a5时,d2d20,d112当 4 a200,即a5时,d2 1d2 20,d1d 20d 1d ；当 4 a200,即a5时,2 d 1d20,d1d20d1d 2综上可知：当a5时,选方案二；当a5时,选方案一或方案二；当1a5（缺a1不扣分）时,选方案一【例 4】（浙江宁波）（1）2,21 a,4a（ 2）相等,比值为2 HDGGCF,1a 4（3）设 DGx ,DGH ,在矩形 ABCD 中,BCD90,HGF90,DHGCGF90DGHG1,CFGF2BFCG1ax DG2CF2DG2x 同理BEFCFGEFFG ,F B EG C F4CFBFBC ,2x
18、1ax2a ,解得x21a 即4444（4）32 a ,2718 22 a168【学力训练】名师归纳总结 1、（山东聊城） （1）设正方形的边长为x cm,就第 9 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载图 1 102 82 483 分）即x29x80解得x 18（不合题意,舍去） ,x21剪去的正方形的边长为1cm（注：通过观看、验证直接写出正确结果给（2）有侧面积最大的情形设正方形的边长为x cm,盒子的侧面积为ycm 2,图 2 就 y 与 x 的函数关系式为：y2102 x x282 x x 即y8x236x 改写
19、为y8x928142当x2.25时,y最大40.5即当剪去的正方形的边长为 最大为 40.5cm 22.25cm 时,长方体盒子的侧面积（3）有侧面积最大的情形设正方形的边长为x cm,盒子的侧面积为y cm 2如按图 1 所示的方法剪折,就y 与 x 的函数关系式为：yy2862 x x21022xx 即x13 62169 6当x13时,y最大16966如按图 2 所示的方法剪折,就y 与 x 的函数关系式为：yy2102 x x282xx 2即6x7 3298 3当x7 3时,y最大98 3比较以上两种剪折方法可以看出,按图2 所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大,即当剪名师归纳总结 - -
20、 - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2D 1B去的正方形的边长为7cm 时,折成的有盖长方体盒子的侧面积最大,最大面积为98cm332、（山东枣庄）A（1）如下列图,315 ,E 190,5 1275 又B45,O4 FOFE1B14575120C3 2 1 （2）OFE1120, D1FO=60 E 1CD E 130,490 又ACBC ,AB6,OAOB3ACB90,CO1AB16322又CD17,OD1CD1OC734在RtAD O中,AD 12 OAOD 122 32 45（3）点 B 在D CE2内部理由
21、如下：设BC （或延长线）交D E 于点 P,就PCE2153045在RtPCE2中,CP2 CE27 2,2CB3 2722,即 CBCP ,点 B 在D CE2内部3、（江苏盐城） （1） CF 与 BD 位置关系是垂 直、数量关系是相等；当点 D 在 BC 的延长线上时的结论仍成立名师归纳总结 由正方形 ADEF 得AD=AF , DAF=90oBGAEF第 11 页,共 13 页 BAC=90o , DAF= BAC , DAB= FAC,又 AB=AC , DAB FAC , CF=BD DC图丁- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料
22、欢迎下载ACF= ABD BAC=90o , AB=AC , ABC=45o , ACF=45o, BCF= ACB+ ACF= 90o即 CFBD （2）画图正确 当 BCA=45o 时, CF BD（如图丁）理由是：过点A 作 AG AC 交 BC 于点 G, AC=AG FEx可证：GAD CAF ACF= AGD=45oBCF=ACB+ ACF= 90o即 CFBD （3）当具备 BCA=45o 时,过点 A 作 AQBC 交 BC 的延长线于点Q,（如图戊）A DE 与 CF 交于点 P 时, 此时点 D 位于线段 CQ 上, BCA=45o,可求出 AQ= CQ=4 设 CD=x
23、,DQ=4 x,QBD C图戊P简洁说明AQD DCP,CP DQCD,CPx,4x4B AQCP2 xx1 4x2214y0 x3 当 x=2 时, CP 有最大值 1 4、（07 丽水市 ）（ 1）S ODEF=S ABCO148636,2设正方形的边长为x ,6（舍去）E F A x236,x6或x（2） C M C S1 3 2626433D O ON （如图）（3）当 0 x 4 时,重叠部分为三角形,如图可得 OMO OAN ,名师归纳总结 MOx , MO = 3 4 2x yB 6S13x x32 x E A F D O OC x224当 4 x 6 时,重叠部分为直角梯形,如
24、图Sx4x616x122（如图）第 12 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载当 6 x 8 时,重叠部分为五边形,如图可得,MD3 2x6,AFx46yyF B xS1x4x613x6x6E A 222 =32 x15x39M OC 4O D 当 8 x 10 时,重叠部分为五边形,如图（如图）SS AFO DMS BFO C3x215x39x8A E B F 4 =3x29x94当 10 x 14 时,重叠部分为矩形,如图S6x866x84yE A B F M 名师归纳总结 O D C OxO D O C Ox第 13 页,共 13 页（如图）（如图）- - - - - - -