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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【学问纵横】中考数学专题讲座 几何与函数问题客观世界中事物总是相互关联、相互制约的； 几何与函数问题就是从量和形的侧面去描述客观世界的运动变化、相互联系和相互制约性；函数与几何的综合题,对考查同学的双基和探究才能有肯定的代表性,通过几何图形的两个变量之间的关系建立函数关系式,进一步争论几何的性质,沟通函数与几何的有机联系,可以培育同学的数形结合的思想方法；【典型例题】【例 1】（上海市） 已知 AB 2,AD 4,DAB 90, ADBC（如图） E 是射线 BC 上的动点（点 E与点B不重合）,M是线段DE的中点（1）设 B
2、E x,ABM 的面积为 y ,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域；（2）假如以线段 AB 为直径的圆与以线段 DE 为直径的圆外切,求线段 BE 的长；（3）联结 BD ,交线段 AM 于点 N ,假如以 A, ,D 为顶点的三角形与BME 相像,求线段 BE 的长D A D A M B E C B 备用图 C 【思路点拨】（ 1）取 AB 中点 H ,联结 MH ；（2）先求出 DE; （3）分二种情形争论；【例 2】（山东青岛）已知：如图（1）,在 RtACB 中,C 90,AC 4cm,BC 3cm,点 P 由 B 动身沿 BA 方向向点 A 匀速运动,速度为 1cm/
3、s ；点 Q 由 A 动身沿 AC 方向向点 C 匀速运动,速度为 2cm/s；连接 PQ 如设运动的时间为 t s（ 0 t 2）,解答以下问题：（1）当 t 为何值时, PQBC？（2）设AQP 的面积为 y （cm ）,求 y 与 t 之间的函数关系式；2（3）是否存在某一时刻 t ,使线段 PQ 恰好把 RtACB 的周长和面积同时平分？如存在,求出此时 t 的值；如不存在,说明理由；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）如图（ 2）,连接 PC ,并把学习必备欢迎下载PQP C ,那么是否存在某PQC沿
4、 QC 翻折,得到四边形一时刻 t ,使四边形 PQP C 为菱形？如存在,求出此时菱形的边长；如不存在,说明理由B B P P A Q C A Q C 图（ 1）图（ 2）P【思路点拨 】（1）设 BP 为 t,就 AQ = 2t,证 APQ ABC；（2）过点 P 作 PHAC 于H（3）构建方程模型,求 t；（4）过点 P 作 PMAC 于,PNBC 于 N,如四边形 PQP C是菱形,那么构建方程模型后,能找到对应 t 的值；【例 3】（山东德州） 如图（ 1）, 在 ABC中, A90 , AB4,AC3,M是 AB上的动点（不与 A,B 重合）,过 M点作 MN BC交 AC于点
5、N以 MN为直径作 O,并在 O内作内接矩形 AMPN令 AMx（ 1）用含 x 的代数式表示NP的面积 S；（ 2）当 x 为何值时, O与直线 BC相切？（ 3）在动点 M的运动过程中,记NP与梯形 BCNM重合的面积为 y,试求 y 关于 x 的函数表达式,并求 x 为何值时, y 的值最大,最大值是多少？A 名师归纳总结 B M O A N C B M O A N C B M P O N P C D 第 2 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 图（ 1）学习必备欢迎下载图（ 3）图（ 2）【思路点拨】 （1）证 AMN ABC；（
6、2）设直线BC 与O 相切于点D,连结 AO,OD,先求出 OD （用 x 的代数式表示） ,再过 M 点作 MQBC 于 Q,证 BMQ BCA ；（ 3）先找到图形娈化的分界点,x 2；然后分两种情形争论求y的最大值： 当 0 x 2 时, 当 2 x 4 时；【学力训练 】1、（山东威海）如图,在梯形ABCD中, AB CD,AB7,CD1,ADBC5点M,N 分别在边 AD,BC上运动,并保持MN AB,MEAB,NFAB,垂足分别为 E,F（1）求梯形 ABCD的面积；A90,A D ACC E分别（2）求四边形 MEFN面积的最大值M N （3）试判定四边形MEFN能否为正方形,如
7、能,E F B 求出正方形 MEFN的面积；如不能,请说明理由2、（浙江温州市） 如图,在 RtABC中,AB6,8, D,名师归纳总结 - - - - - - -是边 AB,AC的中点, 点 P 从点 D 动身沿 DE 方向运动, 过点 P 作 PQBC 于 Q ,过点 Q作 QRBA交 AC 于 R ,当点 Q 与点 C 重合时,点 P 停止运动设BQx , QRy （1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；A （2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范畴）；D P R E （3）是否存在点P ,使PQR为等腰三角形？如存在,恳求出全部满意要求的x 的值；如不存在,
8、请说明理由B H Q C 第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3、（湖南郴州） 如图,平行四边形ABCD中, AB5,BC 10,BC边上的高 AM=4, E为 BC边上的一个动点（不与B、C重合）过 E作直线 AB的垂线,垂足为F FE与 DC的延长线相交于点 G,连结 DE,DF（1） 求证： BEF CEGBEF和FAD（2） 当点 E 在线段 BC上运动时, CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由（3）设 BEx, DEF的面积为 y ,请你求B9,M3 3EC出 y 和 x 之间的函数关系式,并求出当x 为何x值时 , y
9、有最大值,最大值是多少？ABADG4、（浙江台州） 如图,在矩形 ABCD 中,点 P 是边 BC 上的动点（点 P 不与点 B ,点 C 重合）,过点 P 作直线 PQBD,交 CD 边于 Q 点,再把PQC沿着动直线 PQ 对折,点 C 的对应点是 R 点,设 CP 的长度为 x ,PQR 与矩形 ABCD 重叠部分的面积为 y（1）求 CQP 的度数；（2）当 x 取何值时,点 R 落在矩形 ABCD 的 AB 边上？（3）求 y 与 x 之间的函数关系式；当 x 取何值时,重叠部分的面积等于矩形面积的7？D （备用图 2）C 27D Q C D C P B A B A R B A （备
10、用图 1）几何与函数问题的参考答案【典型例题】【例 1】（上海市）（1）取 AB 中点 H ,联结 MH ,名师归纳总结 M 为 DE 的中点,MHBE,MH1 2BEAD 第 4 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又ABBE ,MHAB 学习必备欢迎下载SABM1AB MH,得y1x2x0；ADB2BME22（2）由已知得DEx4222以线段 AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切,MH1AB1DE ,即1x4124x2222222解得x4,即线段 BE 的长为4 3；3（3）由已知,以A, ,D为顶点的三角形与BME相像,又易
11、证得DAMEBM 由此可知,另一对对应角相等有两种情形：ADNBEM ；当ADNBEM 时,ADBE,ADNDBE DBEBEM DBDE ,易得BE2AD 得BE8；x4当ADBBME 时,ADBE,ADBDBE DBEBME 又BEDMEB ,BEDMEBDEBE,即BE2EM DE ,得x212 2x4222BEEM2解得x 12,x 210（舍去）即线段 BE 的长为 2P B 综上所述,所求线段BE的长为 8 或 2【例 2】（山东青岛） （1）在 Rt ABC中,ABBC2AC25,由题意知： AP = 5 t ,AQ = 2 t ,如 PQ BC,就 APQ ABC,AQAP ,
12、AB2t55t,t10A Q H C AC47（ 2）过点 P 作 PHAC于 H图 APH ABC,名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - PHAP ,ABPH55t ,学习必备3t欢迎下载PH3,BC35y 1 AQ PH 1 2 t 3 3 t 3 t 2 3 t2 2 5 5（3）如 PQ把 ABC周长平分,就 AP+AQ=BP+BC+CQ 5 t 2 t t 3 4 2 t ,解得：t 1如 PQ把 ABC面积平分,就 S APQ 1S ABC,即3 t 3t =32 5 t =1 代入上面方程不成立,不存在这
13、一时刻t ,使线段PQ把 Rt ACB的周长和面积同时平分P B （4）过点 P作 PM AC于,PNBC于 N,如四边形 PQP C是菱形,那么PQ PCN PMAC于 M, QM=CMPNBC于 N,易知 PBN ABCPNBP,PNt,A 505图Q M C ACAB45PN4t, QMCM4t,55P 4t4t2 t4,解得：t105564,9当t10时,四边形PQP C 是菱形9此时PM33t7,CM4 t 58,539在 Rt PMC中,PCPM2CM2499819菱形 PQP C边长为505 9【例 3】（山东德州） （1） MN BC, AMN= B, ANM C AMN AB
14、C名师归纳总结 AM ABAN,即xAN第 6 页,共 16 页AC43- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AN3 x4学习必备欢迎下载名师归纳总结 S=SMNPSAMN1 3x x3x （0 x 4）2C 第 7 页,共 16 页2 48（2）如图（ 2）,设直线 BC与 O相切于点 D,连结 AO,OD,就 AO=OD =1 MN2 A 在 Rt ABC中, BC AB2AC2=5M O N 由（ 1）知 AMN ABC AM ABMN,即xMNB Q D BC45图（ 2）C MN5x ,4 OD5x 过 M点作 MQBC 于 Q,就MQOD5x
15、M O A N 88在 Rt BMQ与 Rt BCA中, B 是公共角, BMQ BCAB P BM BCQM图（1）AC BM55x25x ,ABBMMA25xx4832424 x96 49当 x96 时, O与直线 BC相切49（3）随点 M的运动,当P 点落在直线BC上时,连结AP,就 O点为 AP的中点 MN BC, AMN=B, AOM APC AMO ABPA AMAO1 AMMB2M O N ABAP2故以下分两种情形争论：B P C 图（3）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 0 x 2 时,yS PMN学习必备欢迎下载3 x 82
16、当 x 2 时,y最大3223.M E A N C 82 当 2 x 4 时,设 PM,PN分别交 BC于 E,FO 四边形 AMPN是矩形,F PN AM,PN AMxB 又MN BC,P （ 4）图四边形 MBFN是平行四边形 FNBM4x PFx4x2 x4又 PEF ACB PF2SPEF SPEF3x226x6ABSABC2ySMNPSPEF3x23x229x2828当 2 x 4 时,y92 x6x69x822883 当x8时,满意 2 x 4,y最大23综上所述,当x8时, y 值最大,最大值是23【例 3】（山东德州） （1） MN BC, AMN=B, ANM C AMN A
17、BC名师归纳总结 AM ABAN,即xAN第 8 页,共 16 页AC43 AN3 x4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - S=SMNPSAMN1 3x x学习必备欢迎下载3 82 x （0 x 4）2 4（2）如图（ 2）,设直线 BC 与 O 相切于点 D,连结 AO,OD ,就 AO =OD = 1 MN2A 在 Rt ABC 中, BC AB 2AC 2=5M N 由（ 1）知 AMN ABCO AM MN,即 x MNB Q D C AB BC 4 5 图（ 2）5MN4 x ,A OD 58 x 过 M 点作 MQBC 于 Q,就 MQ OD
18、 58 x O N 在 Rt BMQ 与 Rt BCA 中, B 是公共角,P B C BMQ BCA图（1）BM QMBC ACBM 5 58 x 25x ,AB BM MA 25 x x 4 x96 3 24 24 49 当 x96 时, O 与直线 BC 相切49（3）随点 M 的运动,当 P 点落在直线 BC 上时,连结 AP,就 O 点为 AP 的中点 MN BC, AMN=B, AOM APCA AMO ABPAMAO1 AM MB2B M 图P O N C ABAP2故以下分两种情形争论：（3） 当 0 x 2时,yS PMN3 x 82 当 x 2 时,y最大3223.82 当
19、 2 x 4 时,设 PM,PN 分别交 BC 于 E,FA 名师归纳总结 M O N 第 9 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 四边形 AMPN 是矩形, PN AM ,PNAM x又 MN BC, 四边形 MBFN 是平行四边形 FNBM 4 xPFx4x2 x4又 PEF ACBPF2SPEFSPEF3x226x6ABSABC2ySMNPSPEF3x23x229x2828当 2 x 4 时,y92 x6x69x822883 当x8时,满意 2x4,y最大23综上所述,当x8时, y 值最大,最大值是23【学力训
20、练 】1、（山东威海） （1）分别过 D,C 两点作 DGAB 于点 G, CHAB 于点 H AB CD , DGCH ,DG CH 四边形 DGHC 为矩形, GHCD 1名师归纳总结 DGCH ,ADBC, AGD BHC 90,A D C B 第 10 页,共 16 页 AGD BHC （HL ）M N AGBH AB2GH7213E G H F 在 Rt AGD 中, AG3,AD5,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 DG4S梯形ABCD17416M D C N 2（2） MN AB,ME AB,NFAB, MENF,ME
21、 NF 四边形 MEFN 为矩形 AB CD ,ADBC,A E G H F B A B MENF, MEA NFB90, MEA NFB（ AAS ） AEBF设 AEx,就 EF72x A A, MEA DGA 90, MEA DGA AEME ME 4x8x724949 6AGDG3S 矩形MEFNMEEF4x 72x 3346当 x7 时, ME47 4,四边形 3MEFN 面积的最大值为（3）能名师归纳总结 由（ 2）可知,设AE x,就 EF72x,ME 4x第 11 页,共 16 页3如四边形 MEFN 为正方形,就MEEF即4x72x解,得x21310 EF72x7221144
22、105- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载142196 00000000 . 四边形 MEFN能为正方形,其面积为S正方形MEFN5252、（浙江温州市） （1）ARt,AB6,AC8,BC10点 D 为 AB 中点,BD1AB312 52DHBA90,BB BHDBAC,DHBD,DHBDAC38ACBCBC10（2）QRAB,QRCA90CC ,RQCABC,RQQC,y10x ,ABBC610即 y 关于 x 的函数关系式为：y3x65（3）存在,分三种情形：名师归纳总结 当 PQPR 时,过点 P 作 PMQR 于 M ,就 QM
23、RM R E R C A 1290 ,C290,1C D P B 1 M 2 H Q cos1cosC84,QM4,105QP5P E R C A 13 5x64,x182D 12555B H 当 PQRQ 时,3x612,Q 55E P C A x6D 当 PRQR 时,就 R 为 PQ 中垂线上的点,B H Q 第 12 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载于是点 R 为 EC 的中点,CR1CE1AC2DGD24tanCQRBA,CRCA3x66,x155282综上所述,当x 为18 5或 6 或15 2时,PQR
24、为等腰三角形3、（湖南郴州） （1）由于四边形ABCD是平行四边形,所以 AB所以BGCE,GBFEH所以BEFCEG（2）BEF与CEG的周长之和为定值理由一：过点 C作 FG的平行线交直线AB于 H ,由于 GFAB,所以四边形FHCG为矩形所以FHCG,FGCH因此,BEF与CEG的周长之和等于BCCHBH由BC10,AB5,AM4,可得 CH 8,BH 6,所以 BCCHBH24 FA理由二：由 AB 5,AM 4,可知BMxEGC在 Rt BEF与 Rt GCE中,有：名师归纳总结 EF4BE,BF3BE ,GE4EC,GC3CE ,第 13 页,共 16 页5555所以,BEF的周
25、长是12 5BE , ECG的周长是12 5CE又 BE CE10,因此BEF与CEG的周长之和是24（3）设 BEx,就EF4x ,GC310x55- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以y12EF1 D2学习必备欢迎下载2 x 56 2配5方22 x 得5：x4 G53 150 x2y6x55 6121256所以,当x55时, y 有最大值最大值为121ABCD,ADBCC 664、（浙江台州） （1）如图,四边形 ABCD 是矩形,又AB9,AD3 3,C90,CD9,BC3 3tanCDBBC3,CDB30CD3CPQ,Q PQBD,CQPCDB
26、30（2）如图（ 1）,由 轴对称 的性质可知,RPQRPQCPQ , RPCP D 由（ 1）知CQP30,RPQCPQ60,A R （图 1）P B RPB60,RP2BPCPx ,PRx ,PB3 3x 在RPB中,依据题意得：23 3x x ,解这个方程得：x2 3（3）当点 R在矩形 ABCD 的内部或 AB 边上时,名师归纳总结 0x2 3,SCPQ1CPCQ1x3x3x2,第 14 页,共 16 页222RPQCPQ,当 0x 2 3时,y3 2x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x3 3,当 R在矩形 ABCD 的外部
27、时（如图（2）, 2 3名师归纳总结 - - - - - - -在 RtPFB中,RPB60,D Q C PF2BP23 3x ,又RPCPx,RFRPPF3x6 3,A E F P B R 图（ 2）在 RtERF中,EFRPFB30,ER3x6SERF1ERFR3 3x218x18 3,22ySRPQSERF,当 2 3x3 3时,y3x218x18 3综上所述, y 与 x 之间的 函数 解析式是：y3x20x2 323x218x18 323x3 3矩形面积9 3 327 3 ,当 0x 2 3时,函数y32 x 随自变量的增大而增2大,所以 y 的最大值是 6 3 ,而矩形面积的7的值727 37 3,2727而 7 36 3 ,所以,当 0x2 3时, y 的值不行能是矩形面积的7；27当 2 3x3 3时,依据题意,得：3x218x1837 3,解这个方程,得x3 32,由于 3 323 3 ,所以x3 32不合题意,舍去所以x3 32第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 综上所述,当x3 32时,学习必备欢迎下载PQR与矩形 ABCD 重叠部分的面积等于矩形面积的名师归纳总结 7第 16 页,共 16 页27- - - - - - -