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1、2013 年中考数学复习专题讲座四：探究型问题一、中考专题诠释探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类二、解题策略与解法精讲由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式
2、或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律2反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致3分类讨论法当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果4类比猜想法 即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用三、中考考点精讲考点一：动态探索型
3、：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件例 1（2012?自贡）如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，BAD=120，AEF 为正三角形，点 E、F 分别在菱形的边 BC、CD 上滑动，且 E、F 不与 B、C、D 重合（1）证明不论 E、F 在 BC、CD 上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点 E、F 在 BC、CD 上滑动时，分别探讨四边形AECF 和CEF 的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值考点二：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目例 3（2012?盐城）如图所示，已知A、B 为直线
4、l 上两点，点 C 为直线 l 上方一动点，连接 AC、BC，分别以 AC、BC 为边向 ABC 外作正方形 CADF 和正方形 CBEG，过点 D 作 DD1l于点 D1，过点 E 作 EE1l 于点 E1（1）如图，当点 E 恰好在直线 l 上时（此时 E1与 E 重合），试说明 DD1=AB；（2）在图中，当 D、E 两点都在直线 l 的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB 之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点 E 在直线 l 的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB 之间的数量关系（不需要证明）例 4（2012?丽水）在直角坐标系中，点A 是抛物线 y=x2在第二
5、象限上的点，连接OA，过点 O 作OBOA，交抛物线于点 B，以 OA、OB 为边构造矩形 AOBC（1）如图 1，当点 A 的横坐标为时，矩形 AOBC 是正方形；（2）如图 2，当点 A 的横坐标为时，求点 B 的坐标；将抛物线 y=x2作关于 x 轴的轴对称变换得到抛物线y=x2，试判断抛物线y=x2经过平移交换后，能否经过 A，B，C 三点？如果可以，说出变换的过程；如果不可以，请说明理由考点三：规律探究型：文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7
6、C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6
7、R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C
8、2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:C
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11、4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码
12、:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4文档编码:CO7C10M2D5T6 HV6R5U3Z7N1 ZK4C2O4U7F4规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用.例 5（2012?青海）如图（*），四边形 ABCD 是正方形，点E 是边 BC 的中点，AEF=90，且 EF 交正方形外角平分线CF 于点 F请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所
13、提出的问题（1）探究 1：小强看到图（*）后，很快发现AE=EF，这需要证明AE 和 EF 所在的两个三角形全等，但ABE和 ECF 显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E 是边 BC 的中点，因此可以选取AB的中点 M，连接 EM 后尝试着去证AEM EFC 就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取 AB 的中点 M，连接 EM AEF=90 FEC+AEB=90 又 EAM+AEB=90 EAM=FEC 点 E，M 分别为正方形的边BC 和 AB 的中点AM=EC 又可知 BME 是等腰直角三角形 AME=135 又 CF 是正方形外角的平分线 ECF=
14、135 AEM EFC（ASA）AE=EF（2）探究 2：小强继续探索，如图2，若把条件“点 E是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 上的任意一点”，其余条件不变，发现AE=EF 仍然成立，请你证明这一结论（3）探究 3：小强进一步还想试试，如图 3，若把条件“点 E 是边 BC 的中点”改为“点 E 是边 BC 延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE=EF 是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由例 6（2012?永州）如图所示，已知二次函数 y=ax2+bx1（a0）的图象过点 A（2，0）和 B（4，3），l 为过点（0，2）且与 x 轴平行的直线
15、，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过 P 作 PHl，H 为垂足文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C
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20、8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编
21、码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2（1）求二次函数 y=ax2+bx1（a0）的解析式；（2）请直接写出使 y0 的对应的 x 的取值范围；（3）对应当 m=0，m=2 和 m=4 时，分别计算|PO|2和|PH|2的值由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；（4）试问是否存在实数m 可使 PO
22、H 为正三角形？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由考点四：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目例 7（2012?黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边 OC、OA 分别与 x轴、y 轴重合，ABOC，AOC=90 ，BCO=45，BC=6，点 C 的坐标为（9，0）（1）求点 B 的坐标；（2）若直线 DE 交梯形对角线 BO 于点 D，交 y 轴于点 E，且 OE=2，OD=2BD，求直线 DE 的解析式；（3）若点 P 是（2）中直线 DE 上的一个动点，是否存在点P，使以 O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接
23、写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由例 8（2012?北海）如图，在平面直角坐标系中有RtABC，A=90，AB=AC，A（2，0）、B（0，1）、C（d，2）（1）求 d 的值；（2）将 ABC 沿 x 轴的正方向平移，在第一象限内B、C 两点的对应点 B、C 正好落在某反比例函数图象上请求出这个反比例函数和此时的直线BC 的解析式；文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9
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30、下，直线 BC 交 y 轴于点 G问是否存在 x 轴上的点 M 和反比例函数图象上的点 P，使得四边形 PGMC是平行四边形？如果存在，请求出点M 和点 P的坐标；如果不存在，请说明理由四、中考真题演练1（2012?广东）如图，直线y=2x6 与反比例函数 y=的图象交于点 A（4，2），与 x 轴交于点 B（1）求 k 的值及点 B 的坐标；（2）在 x 轴上是否存在点 C，使得 AC=AB？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由2（2012?乐山）如图，直线 y=2x+2 与 y 轴交于 A 点，与反比例函数（x0）的图象交于点 M，过 M 作 MHx 轴于点 H，且 tanAHO
31、=2（1）求 k 的值；（2）点 N（a，1）是反比例函数（x0）图象上的点，在x 轴上是否存在点 P，使得 PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U
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37、5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M23（2012?莆田）如图，一次函数y=k1x+b 的图象过点 A（0，3），且与反比例函数（xO）的图象相交于 B、C 两点（1）若 B（1，2），求 k1?k2的值；（2）若 AB=BC，
38、则 k1?k2的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由4（2012?长春）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点 A、C 的坐标分别为 A（2，0）、C（1，2），反比例函数 y=（k0）的图象经过点 B（1）求 k 的值（2）将平行四边形 OABC 沿 x 轴翻折，点 C 落在点 C 处，判断点 C 是否在反比例函数y=（k0）的图象上，请通过计算说明理由文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2
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45、W9 ZL1B5I5G8M27（2012?宜宾）如图，抛物线y=x22x+c 的顶点 A 在直线 l：y=x5 上（1）求抛物线顶点 A 的坐标；（2）设抛物线与 y 轴交于点 B，与 x 轴交于点 C、D（C 点在 D 点的左侧），试判断 ABD 的形状；（3）在直线 l 上是否存在一点 P，使以点 P、A、B、D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点 P的坐标；若不存在，请说明理由8（2012?温州）如图，经过原点的抛物线y=x2+2mx（m0）与 x 轴的另一个交点为A过点 P（1，m）作直线 PMx 轴于点 M，交抛物线于点 B记点 B 关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C 不重合
46、）连接 CB，CP（1）当 m=3时，求点 A 的坐标及 BC 的长；（2）当 m1 时，连接 CA，问 m 为何值时 CACP？（3）过点 P 作 PEPC 且 PE=PC，问是否存在 m，使得点 E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并定出相对应的点 E 坐标；若不存在，请说明理由文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 ZL1B5I5G8M2文档编码:CP5N9E9I2U6 HT1K1C8F2W9 Z
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