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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料录欢迎下载目1.3 因动点产生的直角三角形问题例 1 2022 年广州市中考第 24 题例 2 2022 年杭州市中考第 22 题 例 3 2022 年沈阳市中考第 25 题 例 4 2022 年浙江省中考第 23 题 例 5 2022 年北京市中考第 24 题 例 6 2022 年嘉兴市中考第 24 题 例 7 2022 年河南省中考第 23 题1.3 因动点产生的直角三角形问题例 1 2022年广州市中考第24 题如图 1,抛物线y3x23x3与 x 轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧）,与 y84轴交于点 C（1）求点
2、 A、B 的坐标；（2）设 D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当ACD 的面积等于ACB 的面积时,求点 D 的坐标；（3）如直线 l 过点 E4, 0,M 为直线 l 上的动点,当以 角形有且只有三个时,求直线 l 的解析式图 1 动感体验A、B、M 为顶点所作的直角三请打开几何画板文件名“12 广州 24” ,拖动点M 在以 AB 为直径的圆上运动,可以体验到,当直线与圆相切时,符合AMB90 的点 M 只有 1 个名师归纳总结 请打开超级画板文件名“12 广州 24” ,拖动点M 在以 AB 为直径的圆上运动,可以体第 1 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 -
3、- - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载验到,当直线与圆相切时,符合思路点拨AMB90 的点 M 只有 1 个1依据同底等高的三角形面积相等,平行线间的距离到处相等,可以知道符合条件的点 D 有两个2当直线l 与以 AB 为直径的圆相交时,符合AMB 90 的点 M 有 2 个；当直线l与圆相切时,符合AMB 90 的点 M 只有 1 个3敏捷应用相像比解题比较简便满分解答（1）由 y 3 x 2 3 x 3 3 x 4 x 2,8 4 8得抛物线与 x 轴的交点坐标为 A 4, 0、B2, 0对称轴是直线 x 1（2） ACD 与 ACB 有公共的底边 AC,当 ACD 的面积等
4、于ACB 的面积时, 点 B、D 到直线 AC 的距离相等过点 B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D,在 AC 的另一侧有对应的点D设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G,与 AC 交于点 H由 BD/AC,得 DBG CAO所以DGCO3BGAO4所以DG3BG9,点 D 的坐标为1,9444由于 AC/BD,AG BG,所以 HG DG而 DHDH ,所以 DG 3DG27所以 D的坐标为1,2744图 2 图 3 （3）过点 A、B 分别作 x 轴的垂线,这两条垂线与直线 l 总是有交点的,即 2 个点 M以 AB 为直径的 G 假如与直线 l 相交,那么就有 2 个点 M；假如圆与
5、直线 l 相切,就只有 1 个点 M 了联结 GM ,那么 GM l在 Rt EGM 中, GM 3,GE5,所以 EM4名师归纳总结 在 Rt EM 1A 中, AE8,tanM EAM A3,所以 M 1A6第 2 页,共 17 页AE4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载3所以点 M 1 的坐标为 4, 6,过 M 1、E 的直线 l 为y3x4依据对称性,直线l 仍可以是y3x34考点舒展第（ 3）题中的直线l 恰好经过点C,因此可以过点C、E 求直线 l 的解析式在 Rt EGM 中, GM 3,GE5,所以 EM4在 Rt
6、ECO 中, CO3, EO4,所以 CE5因此三角形EGM ECO , GEM CEO所以直线CM 过点 C例 2 2022年杭州市中考第22 题在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数ykx2 x1的图象交于点A1,k和点B 1, k（1）当 k 2 时,求反比例函数的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载k 应满意的条件以及x 的（2）要使反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大,求取值范畴；（3）设二次函数的图象的顶点为Q,当ABQ 是以 AB 为斜边的直角三角形时,求k的值动感
7、体验请打开几何画板文件名“ 12 杭州 22” ,拖动表示实数k 的点在 y 轴上运动, 可以体验到,当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大观看抛物线的顶点 Q 与 O 的位置关系,可以体验到,点 Q 有两次可以落在圆上请打开超级画板文件名“ 12 杭州 22” ,拖动表示实数 k 的点在 y 轴上运动, 可以体验到,当 k0 并且在抛物线的对称轴左侧,反比例函数与二次函数都是y 随 x 增大而增大观看抛物线的顶点Q 与 O 的位置关系,可以体验到,点Q 有两次可以落在圆上思路点拨1由点 A1,k或点 B 1,k的坐标可以知道,反比例函数的解析式就是
8、yk题目x中的 k 都是一样的2由点 A1,k或点 B 1, k的坐标仍可以知道,A、B 关于原点 O 对称,以 AB 为直径的圆的圆心就是 O3依据直径所对的圆周角是直角,当 Q 落在 O 上是,ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形满分解答（1）由于反比例函数的图象过点A1,k,所以反比例函数的解析式是ykx当 k 2 时,反比例函数的解析式是y2x（2）在反比例函数yk中,假如 y 随 x 增大而增大,x那么 k 0当 k0 时,抛物线的开口向下,在对称轴左侧,y 随 x增大而增大线x抛物线ykx2x1k x125k的对称轴是直241图 12所以当 k0 且x1时,反比例函数与二次函数都
9、是y 随 x 增大而增大2（3）抛物线的顶点Q 的坐标是1,5k,A、B 关于原点 O 中心对称,24当 OQ OAOB 时, ABQ 是以 AB 为直径的直角三角形名师归纳总结 由 OQ2OA2,得125k 212k第 4 页,共 17 页24- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解得k 123学习好资料3欢迎下载（如图 2）,k 22（如图 3）33图 2 图 3 考点舒展如图 4,已知经过原点O 的两条直线AB 与 CD 分别与双曲线yk（k0）交于 A、Bx和 C、D,那么 AB 与 CD 相互平分,所以四边形ACBD 是平行四边形问平行四边形 A
10、BCD 能否成为矩形？能否成为正方形？如图 5,当 A、C 关于直线 yx 对称时, AB 与 CD 相互平分且相等,四边形 ABCD 是矩形由于 A、C 可以无限接近坐标系但是不能落在坐标轴上,所以 此四边形 ABCD 不能成为正方形OA 与 OC 无法垂直,因名师归纳总结 图 4 图 5 第 5 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载25 题例 3 2022年沈阳市中考第如图 1,已知抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 A、 B 两点（点 A 在点 B 左侧）,与 y 轴交于点 C0, 3,对称轴是直线x1,直线 B
11、C 与抛物线的对称轴交于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线 BC 的函数表达式；（3）点 E 为 y 轴上一动点, CE 的垂直平分线交CE 于点 F,交抛物线于P、Q 两点,且点 P 在第三象限当线段 PQ 3 AB时,求 tanCED 的值；4当以 C、D、E 为顶点的三角形是直角三角形时,请直接写出点P 的坐标温馨提示：考生可以依据第（动感体验3）问的题意,在图中补出图形,以便作答图 1请打开几何画板文件名“11 沈阳 25” ,拖动点 E 或 F 在 y 轴上运动,可以体验到,CDE 有两次机会成为等腰直角三角形双击按钮 “ PQ3” 可以精确显示 PQ 3 AB时的位4置思
12、路点拨1第（ 1）、（ 2）题用待定系数法求解析式,它们的结果直接影响后续的解题2第（ 3）题的关键是求点E 的坐标,反复用到数形结合,留意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载E 的坐3依据 C、D 的坐标, 可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形,这样写点标就简洁了满分解答（1）设抛物线的函数表达式为 y x 1 2n ,代入点 C0, 3,得 n 4所以抛物线的函数表达式为 y x 1 24 x 22 x 3（2）由 y x 22 x 3 x 1
13、 x 3,知 A 1,0,B3,0设直线 BC 的函数表达式为 y kx b,代入点 B3,0和点 C0, 3,得 3 k b 0, 解得 k 1,b 3所以b 3.直线 BC 的函数表达式为 y x 3（3）由于 AB4,所以 PQ 3 AB 3由于 P、Q 关于直线 x1 对称,所以点 P4的横坐标为 1于是得到点 P 的坐标为 1, 7,点 F 的坐标为 0, 7所以2 2 4 4FC OC OF 3 7 5,EC 2 FC 54 4 2进而得到 OE OC EC 3 5 1,点 E 的坐标为 0, 12 2 2直线 BC: y x 3 与抛物线的对称轴 x 1 的交点 D 的坐标为（
14、1, 2）过点 D 作 DH y 轴,垂足为 H在 Rt EDH 中, DH 1,EH OH OE 2 1 3,所以 tanCED DH 22 2 EH 3 P 11 2, 2,P 2 1 6, 52 2图 2 图 3 图 4 考点舒展名师归纳总结 第（ 3）题求点P 的坐标的步骤是：CDE 的顶点 E 的坐标,再求出CE 的第 7 页,共 17 页如图 3,图 4,先分两种情形求出等腰直角三角形- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 中点 F 的坐标,把点学习好资料欢迎下载PF 的纵坐标代入抛物线的解析式,解得的x 的较小的一个值就是点的横坐标例 4 20
15、22年浙江省中考第23 题设直线 l 1：yk1xb1 与 l 2：yk2xb2,如 l1 l2,垂足为 H,就称直线 的直角线l1 与 l 2 是点 Hy（1）已知直线y1x2；yx2；y2x2；22x4和点 C0,2,就直线 _和_是点 C 的直角线（填序号即可） ；（2）如图,在平面直角坐标系中,直角梯形 OABC 的顶点 A3,0、B2,7、C0,7,P 为线段 OC 上一点,设过 B、P 两点的直线为 l1,过 A、P 两点的直线为 l 2,如 l1 与 l 2 是点 P 的直角线,求直线 l1 与 l2 的解析式图 1 动感体验名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共
16、 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 请打开几何画板文件名“学习好资料欢迎下载APB11 浙江 23” ,拖动点P 在 OC 上运动,可以体验到,有两个时刻可以成为直角,此时BCP POA答案（1）直线和是点C 的直角线PO,即72PO解得 OP（2）当 APB90 时, BCP POA那么BC CPOAPO36 或 OP1如图 2,当 OP6 时, l1：y 1 x 6, l2：y 2x62如图 3,当 OP1 时, l1：y 3x1, l2：y 1 x 13图 2 图 3 例 5 2022年北京市中考第24 题在平面直角坐标系xOy 中,抛物线ym1x25 mx2 m
17、3 m2与 x 轴的交点44名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分别为原点学习好资料欢迎下载O 和点 A,点 B2,n在这条抛物线上（1）求点 B 的坐标；（2）点 P 在线段 OA 上,从点 O 动身向点 A 运动,过点P 作 x 轴的垂线,与直线OB交于点 E,延长 PE 到点 D,使得 EDPE,以 PD 为斜边,在 PCD （当点 P 运动时,点 C、D 也随之运动） PD 右侧作等腰直角三角形当等腰直角三角形 PCD 的顶点 C 落在此抛物线上时,求 OP 的长；如点 P 从点 O 动身向点 A 作匀速运动
18、,速度为每秒 1 个单位,同时线段 OA 上另一个点 Q 从点 A 动身向点 O 作匀速运动, 速度为每秒2 个单位（当点 Q 到达点 O 时停止运动,点 P 也停止运动） 过 Q 作 x 轴的垂线,与直线 AB 交于点 F,延长 QF 到点 M,使得 FMQF,以 QM 为斜边,在 QM 的左侧作等腰直角三角形 QMN （当点 Q 运动时,点 M、N也随之运动） 如点 P 运动到 t 秒时,两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上,求此刻 t 的值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“10 北京 24” ,拖动点 P 从 O 向 A 运动,可以体验到,两个等腰直角三角形的边有三个时
19、刻可以共线思路点拨1这个题目最大的障碍,莫过于无图了2把图形中的始终不变的等量线段排列出来,用含有t 的式子表示这些线段的长3点 C 的坐标始终可以表示为 3t,2t,代入抛物线的解析式就可以运算此刻 OP 的长4当两个等腰直角三角形有边共线时,会产生新的等腰直角三角形,列关于 t 的方程就可以求解了满分解答1 因 为 抛 物 线y2,m1x25 mx2 m3 m2x经 过 原 点 ,所 以44m23m20 解得m 1m 21（舍去）因此y125x 所以点B 的坐42标为（ 2,4）2 如图 4,设 OP 的长为 t,那么 PE2t,EC 2t,点 C 的坐标为 3t, 2t当点 C名师归纳总
20、结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 落在抛物线上时,2 t学习好资料欢迎下载3t10解13 253 t 解得tOP22429如图 1,当两条斜边PD 与 QM 在同一条直线上时,点P、Q 重合此时得t10PQN 是等腰直角三角形,PQ3如图 2,当两条直角边PC 与 MN 在同一条直线上,PE此时 103 t2 t 解得t2PQC 是等腰直角三角形,PQ如图 3,当两条直角边DC 与 QN 在同一条直线上,PD此时 103 t4 t 解得t10图 3 7图 1 图 2 考点舒展在此题情境下,假如以PD 为直径的圆E 与以 Q
21、M 为直径的圆F 相切,求 t 的值如图 5,当 P、Q 重合时,两圆内切,t10图 6 3如图 6,当两圆外切时,t30202图 4 图 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载24 题例 6 2022年嘉兴市中考第如图 1,已知 A、B 是线段 MN 上的两点,MN4,MA1,MB1以 A 为中心顺时针旋转点M,以 B 为中心逆时针旋转点N,使 M、N 两点重合成一点C,构成 ABC,设ABx（1）求 x 的取值范畴；（2）如 ABC 为直角三角形,求 x 的值；（3）探究：ABC 的最大面积
22、？图 1 动感体验请打开几何画板文件名“09 嘉兴 24” ,拖动点 B 在 AN 上运动,可以体验到,三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边；CAB 和 ACB 可以成为直角,CBA 不行能成为直角；观看函数的图象,可以看到,图象是一个开口向下的“时,面积达到最大值思路点拨U” 形,当 AB 等于 1.51依据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边列关于 x 的不等式组,可以求得 x 的取值范畴2分类争论直角三角形ABC,依据勾股定理列方程,依据根的情形确定直角三角形的名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - -
23、- - 学习好资料欢迎下载CD 要依据位置关系分存在性S 2 的问题 AB 边上的高3把 ABC 的面积 S 的问题,转化为类争论,分 CD 在三角形内部和外部两种情形满分解答1 x 3 x ,（1）在 ABC 中,AC 1,AB x,BC 3 x,所以 解得 1 x 21 3 x x .（2）如 AC 为斜边,就 1 x 2 3 x 2,即 x 23 x 4 0,此方程无实根如 AB 为斜边,就 x 2 3 x 2 1,解得 x 5,满意 1 x 23如 BC 为斜边,就 3 x 21 x 2,解得 x 4,满意 1 x 23因此当 x 5或 x 4时, ABC 是直角三角形3 3（3）在
24、ABC 中,作 CD AB 于 D,设 CD h, ABC 的面积为 S,就 S 1 xh2 如 图 2 , 如 点 D 在 线 段 AB 上 , 就 1 h 2 3 x 2 h 2 x 移 项 , 得2 2 2 2 2 2 2 2 3 x h x 1 h两边平方, 得 3 x h x 2 x 1 h 1 h整理,得 x 1 h 2 3 x 4 两 边 平 方 , 得 x 2 1 h 2 9 x 2 24 x 16 整 理 , 得2 2 2x h 8 x 24 x 16所以 S 2 1 x 2h 2 2 x 2 6 x 4 2 x 3 2 1（4x 2）4 2 2 3当 x 3 时（满意4x
25、2）,S 取最大值 2 1 ,从而 S 取最大值 2 2 3 2 2图 2 图 3 名师归纳总结 如图 3,如点 D 在线段 MA 上,就 3x 2h221h2x4）第 13 页,共 17 页同理可得,S21x2h22x26x42x3 21（1x 342- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 易知此时S2学习好资料欢迎下载2综合得, ABC 的最大面积为2 2考点舒展第（ 3）题解无理方程比较烦琐,迂回一下可以防止烦琐的运算：设3ADa,2例如在图 2 中,由AC2AD2BC2BD2列方程1a2ax2x整理,得a3xx4所以1a213x428x224 x16
26、xx2因此S21x21a22x26x44例 7 2022年河南省中考第23 题如图 1,直线y4 x 34和 x 轴、 y 轴的交点分别为B、C,点 A 的坐标是（ -2,0）名师归纳总结 （1）试说明ABC 是等腰三角形；第 14 页,共 17 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料 欢迎下载（2）动点 M 从 A 动身沿 x 轴向点 B 运动,同时动点 N 从点 B 动身沿线段 BC 向点 C运动,运动的速度均为每秒 1 个单位长度 当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动 设M 运动 t 秒时,MON 的面积为 S 求 S 与 t 的函数
27、关系式； 设点 M 在线段 OB 上运动时, 是否存在 S4 的情形？如存在,求出对应的t 值； 如不存在请说明理由；在运动过程中,当MON 为直角三角形时,求t 的值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“08 河南 23” ,拖动点 M 从 A 向 B 运动,观看 S 随 t 变化的图象,可以体验到,当 M 在 AO 上时,图象是开口向下的抛物线的一部分；当 M 在 OB 上时,S随 t 的增大而增大观看 S的度量值,可以看到,S的值可以等于 4观看 MON 的外形,可以体验到,MON 可以两次成为直角三角形,不存在ONM90 的可能思路点拨1第（ 1）题说明ABC 是等腰三角形,示意了两个
28、动点M、N 同时动身,同时到达终点2不论 M 在 AO 上仍是在 OB 上,用含有 t 的式子表示 OM 边上的高都是相同的,用含有 t 的式子表示 OM 要分类争论3将 S4 代入对应的函数解析式,解关于 t 的方程4分类争论MON 为直角三角形,不存在ONM 90 的可能满分解答（1）直线y4 x 34与 x 轴的交点为B（3,0）、与 y 轴的交点 C（0,4）Rt BOC中, OB3,OC4,所以 BC 5点 A 的坐标是（ -2, 0）,所以 BA 5因此 BCBA,所以 ABC 是等腰三角形名师归纳总结 所以（2）如图 2,图 3,过点 N 作 NH AB,垂足为 H在 Rt BN
29、H 中,BNt,sinB4,第 15 页,共 17 页5NH4t 5如图 2,当 M 在 AO 上时, OM2t,此时- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 定义域为 0t2S学习好资料12t欢迎下载4t 1 2OM NH4t2t22555如图 3,当 M 在 OB 上时, OMt 2,此时S1OM NH1t24t2t24t 22555定义域为 2t5图 2 图 3 把 S4 代入 S 2 t 2 4 t ,得 2 t 2 4 t 4解得 t 1 2 11,t 2 2 11（舍5 5 5 5去负值）因此,当点 M 在线段 OB 上运动时,存在 S4 的情形,
30、此时 t 2 11如图 4,当 OMN 90 时,在 Rt BNM 中, BNt,BM 5 t ,cos B 3,所5以5 t 3解得 t 25t 5 8如图 5,当 OMN 90 时, N 与 C 重合,t 5不存在 ONM 90 的可能25所以,当 t 或者 t 5 时, MON 为直角三角形8图 4 图 5 考点舒展在此题情形下,假如MON 的边与 AC 平行,求 t 的值如图 6,当 ON/AC 时, t3；如图 7,当 MN/AC 时, t2.5名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载图 7 图 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 17 页