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1、学习必备欢迎下载目录1.5 因动点产生的梯形问题例 1 2012 年上海市松江中考模拟第24 题例 2 2012 年衢州市中考第 24 题例 3 2011 年北京市海淀区中考模拟第24 题例 4 2011 年义乌市中考第 24 题例 5 2010 年杭州市中考第 24 题例 6 2010 年上海市奉贤区中考模拟第24 题例 7 2009 年广州市中考第 25 题1.5 因动点产生的梯形问题例 1 2012年上海市松江区中考模拟第24 题已知直线 y3x3 分别与 x 轴、y 轴交于点A，B，抛物线 yax22xc 经过点 A，B（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）
2、记该抛物线的对称轴为直线l， 点 B 关于直线l 的对称点为 C，若点 D 在 y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形求点 D 的坐标；将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线 y3x3 交于点 E， 若73t a nD P E， 求四边形BDEP的面积图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 松江 24” ，拖动点 P 向右运动，可以体验到，D、P 间的垂直距离等于7 保持不变，DPE 与 PDH 保持相等精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页学习必备欢迎下载请打开超级画板文件名“12 松江
3、24” ， 拖动点 P 向右运动，可以体验到，D、P 间的垂直距离等于7 保持不变， DPE 与 PDH 保持相等，tan0.43DPE，四边形BDEP的面积为24思路点拨1这道题的最大障碍是画图，A、B、C、D 四个点必须画准确，其实抛物线不必画出，画出对称轴就可以了2抛物线向右平移，不变的是顶点的纵坐标，不变的是D、P 两点间的垂直距离等于73已知 DPE 的正切值中的7 的几何意义就是D、P 两点间的垂直距离等于7，那么点 P 向右平移到直线x3 时，就停止平移满分解答（1）直线 y3x3 与 x 轴的交点为A(1，0)，与 y 轴的交点为B(0,3)将 A(1，0)、B(0,3)分别代
4、入yax22xc，得20,3.acc解得1,3.ac所以抛物线的表达式为yx22x3对称轴为直线x 1，顶点为 (1,4)（2）如图2，点 B 关于直线l 的对称点C 的坐标为 (2,3)因为 CD/AB，设直线CD 的解析式为y3xb，代入点 C(2,3)，可得 b3所以点 D 的坐标为（ 0，3） 过点 P 作 PHy 轴，垂足为H，那么 PDH DPE 由73tanDPE，得3tan7PHPDHDH而 DH 7，所以 PH3因此点 E 的坐标为（ 3，6） 所以1()242BDEPSBDEPPH梯形图 2 图 3 考点伸展第（ 2）用几何法求点D 的坐标更简便：因为 CD/AB，所以 C
5、DB ABO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页学习必备欢迎下载因此13BCOABDOB所以 BD3BC6，OD3因此 D（0，3） 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页学习必备欢迎下载例 2 2012年衢州市中考第24题如图 1，把两个全等的RtAOB 和 RtCOD 方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD 在 x 轴上已知点A(1，2)，过 A、C 两点的直线分别交x 轴、 y 轴于点 E、F抛物线 y ax2bxc 经过 O、A
6、、 C 三点（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点 P 为线段 OC 上的一个动点，过点P 作 y 轴的平行线交抛物线于点M，交 x 轴于点 N，问是否存在这样的点 P，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若 AOB 沿 AC 方向平移（点A 始终在线段AC上，且不与点C 重合） ， AOB 在平移的过程中与COD重叠部分的面积记为S 试探究 S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 衢州 24” ， 拖动点 P 在线段 OC 上运动，可以体验到，在AB 的左侧，存在等腰梯形A
7、BPM拖动点A 在线段 AC 上运动，可以体验到，RtA OB 、Rt COD、RtAHG、RtOEK 、RtOFG 和 RtEHK 的两条直角边的比都为12请打开超级画板文件名“12 衢州 24” ，拖动点P 在线段 OC 上运动，可以体验到，在AB 的左侧，存在AM=BP 拖动点A 在线段 AC 上运动，发现S最大值为0.375思路点拨1如果四边形ABPM 是等腰梯形，那么AB 为较长的底边，这个等腰梯形可以分割为一个矩形和两个全等的直角三角形，AB 边分成的3 小段，两侧的线段长线段2 AOB 与 COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，可以通过割补得到，即OFG减去 OEH3求 OE
8、H 的面积时，如果构造底边OH 上的高 EK，那么 RtEHK 的直角边的比为124设点 A移动的水平距离为m，那么所有的直角三角形的直角边都可以用m 表示满分解答（1）将 A(1，2)、O(0，0)、C(2，1)分别代入yax2bxc，得2,0,421.abccabc解得32a，72b，0c所以23722yxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学习必备欢迎下载（2）如图 2，过点 P、M 分别作梯形ABPM 的高 PP、 MM ，如果梯形ABPM 是等腰梯形，那么AMBP，因此 yAy MyP yB直线 OC 的
9、解析式为12yx，设点 P 的坐标为1( ,)2xx，那么237( ,)22M xxx解方程23712()222xxx，得123x，22xx2 的几何意义是P 与 C 重合，此时梯形不存在所以2 1(, )3 3P图 2 图 3 （3）如图 3， AOB 与 COD 重叠部分的形状是四边形EFGH ，作 EK OD 于 K设点 A移动的水平距离为m，那么 OG1m，GB m在 RtOFG 中，11(1)22FGOGm所以21(1)4OFGSm在 RtAHG 中， A G2m，所以111(2)1222HGA Gmm所以13(1)(1)22OHOGHGmmm在 RtOEK 中， OK2 EK；在
10、RtEHK 中， EK 2HK ；所以 OK4HK因此4432332OKOHmm所以12EKOKm所以211332224OEHSOH EKm mm于是22213111(1)44224OFGOEHSSSmmmm2113()228m因为 0m1，所以当12m时， S取得最大值，最大值为38考点伸展第（ 3）题也可以这样来解：设点A的横坐标为a由直线 AC：y x3，可得 A (a, a3)由直线 OC：12yx，可得1( ,)2F aa由直线 OA：y2x 及 A(a, a3)，可得直线OA：y2x3a3，33(,0)2aH由直线 OC 和直线 OA可求得交点E(2a2，a1)精选学习资料 - -
11、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学习必备欢迎下载由 E、F、G、H 4 个点的坐标，可得例 3 2011年北京市海淀区中考模拟第24 题已知平面直角坐标系xOy 中，抛物线 yax2(a1)x 与直线ykx 的一个公共点为A(4，8)（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点 P 在线段 OA 上，过点P 作 y 轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ 长度的最大值；（3）记（ 1）中抛物线的顶点为M，点 N 在此抛物线上，若四边形AOMN 恰好是梯形，求点 N 的坐标及梯形AOMN 的面积备用图动感体验请打开几何画板文件名“
12、11 海淀 24” ，拖动点 P 在 OA 上运动，观察PQ 的长随点 P 变化的跟踪点，可以体验到，当P 运动到 OA 的中点时， PQ 的长取得最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页学习必备欢迎下载答案（1）抛物线的解析式为y x22x，直线的解析式为y2x（2）如图 1，当 P 为 OA 的中点时，PQ 的长度取得最大值为4（3）如图 2，如果四边形AOMN 是梯形，那么点N 的坐标为 (3，3)，梯形 AOMN 的面积为 9图 1 图 2 例 4 2011年义乌市中考第24 题已知二次函数的图象经过A（2
13、，0） 、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x4，设顶点为点 P，与 x 轴的另一交点为点B（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）如图 1，在直线y2x 上是否存在点D，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图 2，点 M 是线段 OP 上的一个动点（ O、P 两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P 向点 O 运动， 过点 M 作直线 MN/x 轴，交 PB 于点 N 将 PMN 沿直线 MN对折，得到 P1MN 在动点 M 的运动过程中，设P1MN 与梯形 OMNB 的重叠部分的面积为 S，运动时间为t 秒，求 S关于 t 的
14、函数关系式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页学习必备欢迎下载图 1 图 2 动感体验请打开几何画板文件名“11 义乌 24” ，拖动点 M 从 P 向 O 运动，可以体验到，M 在到达 PO 的中点前，重叠部分是三角形；经过中点以后，重叠部分是梯形思路点拨1第（2）题可以根据对边相等列方程，也可以根据对角线相等列方程，但是方程的解都要排除平行四边形的情况2第（ 3）题重叠部分的形状分为三角形和梯形两个阶段，临界点是PO 的中点满分解答（ 1）设抛物线的解析式为2(4)ya xk，代入A（ 2， 0） 、C(0， 1
15、2) 两点，得40,1612.akak解得1,4.ak所以二次函数的解析式为22(4)4812yxxx，顶点 P 的坐标为（ 4， 4） （2）由2812(2)(6)yxxxx，知点 B 的坐标为（ 6，0） 假设在等腰梯形OPBD，那么 DPOB6设点 D 的坐标为 (x，2x)由两点间的距离公式，得22(4)(24)36xx解得25x或 x 2如图 3，当 x 2 时，四边形ODPB 是平行四边形所以，当点D 的坐标为 (52，54)时，四边形OPBD 为等腰梯形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 17 页学习必备欢迎下
16、载图 3 图 4 图 5 （3）设 PMN 与 POB 的高分别为PH、PG在 RtPMH 中，2PMt，PHMHt所以24P Gt在 RtPNH 中，PHt，1122NHPHt所以32MNt 如图 4， 当 0t2 时， 重叠部分的面积等于PMN 的面积此时2133224St tt如图 5，当 2t4 时，重叠部分是梯形，面积等于PMN 的面积减去PDC 的面积由于2P DCPMNSP GSPH，所以2222433(24)44P DCtSttt此时222339(24)1212444Stttt考点伸展第（ 2）题最好的解题策略就是拿起尺、规画图：方法一，按照对角线相等画圆以P 为圆心， OB
17、长为半径画圆，与直线y2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点方法二，按照对边相等画圆以B 为圆心， OP 长为半径画圆，与直线y2x 有两个交点，一个是等腰梯形的顶点，一个是平行四边形的顶点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页学习必备欢迎下载例 5 2010 年杭州市中考第24 题如图 1， 在平面直角坐标系xOy 中， 抛物线的解析式是y 2114x， 点 C 的坐标为 ( 4，0)，平行四边形OABC 的顶点 A，B 在抛物线上， AB 与 y 轴交于点M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，
18、点P(t，0)在 x 轴上(1) 写出点 M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以 MQ，PC 为腰的梯形时 求 t 关于 x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； 当梯形 CMQP 的两底的长度之比为12 时，求 t 的值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“10 杭州 24” ，拖动点 Q 在抛物线上运动，从 t 随 x 变化的图象可以看到， t 是 x 的二次函数，抛物线的开口向下还可以感受到，PQCM 12 只有一种情况，此时Q 在 y 轴上； CMPQ1 2 有两种情况思路点拨1第（1）题求点 M 的坐标以后， RtOCM 的两条直角边的比为12，这是本题的基本背景图2第（ 2）题
19、中，不变的关系是由平行得到的等角的正切值相等，根据数形结合，列关于 t 与 x 的比例式，从而得到t 关于 x 的函数关系3探求自变量x 的取值范围，要考虑梯形不存在的情况，排除平行四边形的情况4梯形的两底的长度之比为12，要分两种情况讨论把两底的长度比转化为QH 与MO 的长度比精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页学习必备欢迎下载满分解答(1)因为 ABOC 4，A、B 关于 y 轴对称，所以点A 的横坐标为2将 x2 代入 y2114x，得 y2所以点M 的坐标为（ 0，2） (2) 如图 2，过点 Q 作 Q
20、Hx 轴，设垂足为H，则 HQy2114x，HPx t 因 为CM/PQ ， 所 以 QPH MCO 因 此tan QPH tan MCO ， 即12HQOMHPOC所以2111()42xxt整理，得2122txx如图 3，当 P 与 C 重合时，4t，解方程21422xx，得15x如图 4，当 Q 与 B 或 A 重合时，四边形为平行四边形，此时，x 2因此自变量x 的取值范围是15x，且 x 2 的所有实数图 2 图 3 图 4 因为 sinQPHsinMCO，所以HQOMPQCM，即PQHQCMOM当12PQHQCMOM时，112HQOM解方程21114x，得0 x（如图 5） 此时2t
21、当2PQHQCMOM时，24HQOM解方程21144x，得2 3x如图 6，当2 3x时，82 3t；如图 6，当2 3x时，82 3t图 5 图 6 图 7 考点伸展精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页学习必备欢迎下载本题情境下，以Q 为圆心、 QM 为半径的动圆与x 轴有怎样的位置关系呢？设点 Q 的坐标为21,14xx，那么222222111144QMxxx而点 Q 到 x 轴的距离为2114x因此圆 Q 的半径 QM 等于圆心Q 到 x 轴的距离，圆Q 与 x 轴相切例 6 2010年上海市奉贤区中考模拟第
22、24 题已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1 所示，点A 的坐标为 (4,0)，点 C 的坐标为)20( ，直线xy32与边 BC 相交于点D(1)求点 D 的坐标；(2)抛物线cbxaxy2经过点 A、D、O，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M，使 O、D、A、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学习必备欢迎下载图 1动感体验请打开几何画板文件名 “10 奉贤 24” ， 分别双击按钮 “MO/A
23、D” 、“MA/OD” 和 “ MD/OA” ，可以体验到，在“MO/AD”和“ MA/OD”两种情况下，根据两直线平行，内错角相等，可以判定直角三角形相似；在“MD/OA”情况下，根据对称性可以直接得到点M 的坐标思路点拨1用待定系数法求抛物线的解析式，设交点式比较简便2过 AOD 的三个顶点分别画对边的平行线与抛物线相交，可以确定存在三个梯形3用抛物线的解析式可以表示点M 的坐标满分解答(1)因为 BC/x 轴，点 D 在 BC 上， C(0,2)，所以点 D 的纵坐标为 2把 y 2 代入xy32，求得 x3所以点D 的坐标为 (3,2)(2)由于抛物线与x 轴交于点O、A(4,0)，设
24、抛物线的解析式为yax(x4)，代入 D (3,2)，得23a所求的二次函数解析式为2228(4)333yx xxx(3) 设点 M 的坐标为228,33xxx如图 2，当 OM/DA 时，作 MNx 轴， DQx 轴，垂足分别为N、Q由 tanMONtanDAQ，得228332xxx因为 x0 时点 M 与 O 重合，因此28233x，解得 x7此时点M 的坐标为（ 7，14） 如图 3，当 AM/OD 时，由 tanMAN tanDOQ，得22823343xxx因为 x4 时点 M 与 A 重合，因此2233x， 解得 x 1 此时点 M 的坐标为10( 1,)3精选学习资料 - - -
25、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页学习必备欢迎下载如图 4，当 DM /OA 时，点 M 与点 D 关于抛物线的对称轴对称，此时点M 的坐标为（1， 2） 图 2 图 3 图 4 考点伸展第（ 3）题的、用几何法进行计算，依据是两直线平行，内错角的正切相等如果用代数法进行，计算过程比较麻烦以为例，先求出直线AD 的解析式，再求出直线 OM 的解析式，最后解由直线OM 和抛物线的解析式组成的二元二次方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页学习必备欢迎下载例 7
26、 2009年广州市中考第25题如图 1，二次函数)0(2pqpxxy的图象与x 轴交于 A、B 两点，与y 轴交于点 C（0， 1） ， ABC 的面积为45（1）求该二次函数的关系式；（2）过 y 轴上的一点M（0，m）作 y 轴的垂线， 若该垂线与 ABC 的外接圆有公共点，求 m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D，使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由图 1 动感体验请打开几何画板文件名“09 广州 25” ， 可以看到， ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，AB 是它的外接圆直径，拖动点M 在 y 轴上运动，
27、可以体验到，过M 的直线与圆相切或者相交时有公共点在抛物线上有两个符合条件的点D，使以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形思路点拨1根据 ABC 的面积和AB 边上的高确定AB 的长，这样就可以把两个点的坐标用一个字母表示2数形结合，根据点A、B、 C 的坐标确定OA、OB、OC 间的数量关系，得到AOC COB，从而得到 ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，AB 是它的外接圆直径，再根据对称性写出m 的取值范围3根据直角梯形的定义，很容易确定符合条件的点D 有两个， 但是求点 D 的坐标比较麻烦，根据等角的正切相等列方程相对简单一些满分解答精选学习资料 - - - - - - -
28、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学习必备欢迎下载（1）因为 OC1， ABC 的面积为45，所以 AB25设点 A 的坐标为（ a， 0） ，那么点B 的坐标为（ a25， 0） 设抛物线的解析式为)25)(axaxy， 代入点 C （0， 1） ， 得1)25(aa 解得21a或2a因为二次函数的解析式qpxxy2中，0p， 所以抛物线的对称轴在y 轴右侧因此点 A、B 的坐标分别为)0,21(，)0,2(所以抛物线的解析式为123)2)(21(2xxxxy（2） 如图 2， 因为1OBOA，12OC，所以OBOCOCOA 因此 AOC COB所以
29、ABC 是以 AB 为斜边的直角三角形，外接圆的直径为AB因此 m 的取值范围是45 m45图 2 图 3 图 4 （3）设点 D 的坐标为)2)(21(,(xxx如图 3，过点 A 作 BC 的平行线交抛物线于D，过点 D 作 DEx 轴于 E因为OBCDABtantan，所以21BOCOAEDE因此2121)2)(21(xxx解得25x此时点D 的坐标为)23,25(过 点B 作AC的 平 行 线 交 抛 物 线 于D ， 过 点D作DF x轴 于F 因 为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学习必备欢迎下载CAODBFtantan， 所以2AOCOBFDF 因此22)2)(21(xxx 解得25x 此时点 D 的坐标为)9,25(综上所述，当D 的坐标为)23,25(或)9 ,25(时，以 A、B、C、D 为顶点的四边形为直角梯形考点伸展第（ 3）题可以用代数的方法这样解：例如图3，先求得直线BC 为121xy，再根据 AD/BC 求得直线AD 为4121xy，由直线 AD 和抛物线的解析式组成的方程组，得到点 D 的坐标精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页