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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20XX 年中考数学精选压轴题一、函数与几何综合的压轴题1. （2004 安徽芜湖）如图,在平面直角坐标系中,AB、 CD 都垂直于x 轴,垂足分别为 B、D 且 AD 与 B 相交于 E 点.已知： A-2,-6, C1,-3 1 求证： E 点在 y 轴上；2 假如有一抛物线经过A,E, C 三点,求此抛物线方程. . AD 与 BC 相交x 3 假如 AB 位置不变,再将DC 水平向右移动kk0个单位,此时于 E 点,如图,求AEC 的面积 S 关于 k 的函数解析式y y ED B D B O x O E C（1,-3
2、）C（1+k,-3）A A （2, -6）（ 2,-6）图图 解 （1）（本小题介绍二种方法,供参考）方法一：过E 作 EO x 轴,垂足OAB EO DCEO ABDO,EOBODBCDDB又 DO +BO =DBEOEO1EODB231ABDC AB=6, DC =3, EO=2又DO DBEO,DOABAB6 DO =DO ,即 O与 O 重合, E 在 y 轴上名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载方法二：由 D（1, 0）, A（-2, -6）,得 DA 直线方程： y=2x-2再由 B（-
3、2,0）, C（1,-3）,得 BC 直线方程： y=-x-2 x 0联立得y 2 E 点坐标（ 0,-2）,即 E 点在 y 轴上（ 2）设抛物线的方程 y=ax 2+bx+ca 0过 A（-2,-6）, C（1,-3）4 a 2 b c 6E（ 0,-2）三点,得方程组 a b c 3c 2解得 a=-1, b=0,c=-2 抛物线方程 y=- x 2-2 （ 3）（本小题给出三种方法,供参考）由（ 1）当 DC 水平向右平移k 后,过 AD 与 BC 的交点 E作 EFx 轴垂足为F；同（ 1）可得：E FE F1得： EF=2 ABDC方法一：又EF ABE FDF,DF1DBABDB
4、3SAEC= SADC- SEDC=1 2DCDB1DCDF1DC2DB223=1 3DCDB =DB=3+ kS=3+k 为所求函数解析式方法二： BA DC , S BCA=S BDA S AE C= S BDE1BDE F1 3 2k23k2 S=3+k 为所求函数解析式. 证法三： S DEC S AE C=DE AE =DC AB=12 同理： S DEC S DE B=1 2,又 S DE CS ABE =DC2AB2=1 4 SAE C2S 梯形ABCD21ABCDBD3k992 S=3+k 为所求函数解析式. 2. （2004 广东茂名）已知：如图,在直线坐标系中,以点径 AC
5、 为22的圆与 y 轴交于 A、D 两点 . （ 1）求点 A 的坐标；M （1, 0）为圆心、直名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2）设过点学习必备欢迎下载AB 是否 M 的切线？A 的直线 y xb 与 x 轴交于点B.探究：直线并对你的结论加以证明；（ 3）连接 BC ,记 ABC 的外接圆面积为 S1、 M 面积为 S2,如 S 1 h,抛物线S 2 4yax 2bxc 经过 B、M 两点, 且它的顶点到 x 轴的距离为 h .求这条抛物线的解析式 . 解（1）解：由已知AM 2 ,OM 1, y x1
6、 在 Rt AOM 中, AO AM2OM21,点 A 的坐标为A （0,1）（ 2）证：直线y xb 过点 A （0, 1） 1 0b 即 b1令 y0 就 x 1 B（ 1,0）,AB BO2AO22 12 12在 ABM 中, AB 2 ,AM 2 , BM 2 AB2AM2222 24BM2 ABM 是直角三角形,BAM 90 直线 AB 是 M 的切线（ 3）解法一：由得BAC 90,AB 2 ,AC 22 ,10M C x BCAB2AC222222 BAC 90 ABC 的外接圆的直径为BC,y S 1BC21025222A 而S 2AC2222222S 1h,5 即22h,h5
7、B S 244D 设经过点B（ 1, 0）、 M （ 1,0）的抛物线的解析式为：y a（ 1）（ x1）,（ a 0）即 y ax2a, a5, a5 名师归纳总结 抛物线的解析式为y 5x25 或 y 5x25 第 3 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解法二：（接上）求得 h5 学习必备欢迎下载由已知所求抛物线经过点B（ 1,0）、 M （1、 0）,就抛物线的对称轴是y 轴,由题意得抛物线的顶点坐标为（0,5）抛物线的解析式为y a（x 0）25 又 B（ 1,0）、 M （1,0）在抛物线上,抛物线的解析式为 y5x 25 或
8、 y 5x 25 解法三：（接上）求得h5 由于抛物线的方程为 y ax 2 bxc（a 0）a50, a 5 abc05a5a5由已知得abc0解得b0或b04acb2c5c5y5x25 或 y 5x25. 4 a抛物线的解析式为3.2004 湖北荆门 如图,在直角坐标系中,以点P（1,1）为圆心, 2 为半径作圆,交x 轴于 A、B 两点,抛物线yax2bxc a0 过点 A、B,且顶点 C 在 P 上. 1求P 上劣弧AB 的长；2求抛物线的解析式；3在抛物线上是否存在一点D,使线段 OC 与 PD 相互平分？如存在, 求出点 D 的坐标；x 如不存在,请说明理由. y 解 （1）如图,
9、连结PB,过 P 作 PM x 轴,垂足为M. 在 Rt PMB 中, PB=2,PM=1, A O B P（1, 1） MPB 60, APB 120名师归纳总结 AB 的长120243 . A O y C x 第 4 页,共 28 页M B 1803（ 2）在 Rt PMB 中, PB=2,PM=1, 就 MB MA 又 OM=1 , A（ 13 , 0）, B（13 ,0）,P（1,1）C - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载由抛物线及圆的对称性得知点 C 在直线 PM 上,就 C1, 3. 点 A、B、C 在抛物线上,就0a 1
10、32b 13ca1OPCD 为平行四边形,且0a 132b 13c解之得b23abcc2yx22x2抛物线解析式为（ 3）假设存在点D,使 OC 与 PD 相互平分,就四边形PC OD. 又 PC y 轴,点 D 在 y 轴上, OD 2,即 D（0, 2） . 又点 D（ 0, 2）在抛物线 y x 2 2 x 2 上,故存在点 D（ 0, 2）,使线段 OC 与 PD 相互平分 . 4. （2004 湖北襄樊）如图,在平面直角坐标系内,在y轴的正半轴上,A、B 是 x 轴上是两点,且Rt ABC 的直角顶点C（0,3）OAOB 31,以 OA、OB 为直径的圆分别交 AC 于点 E,交 B
11、C 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. （ 1）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式；名师归纳总结 （ 2）请猜想：直线EF 与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想. x 第 5 页,共 28 页（ 3）在AOC 中,设点M 是 AC 边上的一个动点,过M 作 MN AB 交 OC 于点N.试问：在 x轴上是否存在点P,使得PMN 是一个以MN 为始终角边的等腰直角三角形？如存在,求出P 点坐标；如不存在,请说明理由. y E C 解1在 Rt ABC 中, OC AB,Q F AOC COB. A O1O O2B x OC2OA OB . OA OB31,C0,3, 323 OB
12、OB .y OB 1. OA3. y2 axbxc .M E 1 2 C F A-3,0,B1,0. 设抛物线的解析式为3 Q 4 A O1P O O2B - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3x223x3.就9 a3 bc0,0,解之,得a3 , 32 33,abcbyc3.c3.经过 A、B、C 三点的抛物线的解析式为332EF 与 O1、 O2都相切 . 证明：连结 O1E、OE 、OF. ECF AEO BFO 90, 四边形 EOFC 为矩形 . QE QO. 1 2. 3 4,2+490, EF 与 O1 相切 . 同理： E
13、F 理 O2 相切 . 3作 MPOA 于 P,设 MN a,由题意可得 MP MN a. MN OA, CMN CAO. 名师归纳总结 MNCN.第 6 页,共 28 页AOCOa33a.3解之,得a3 33 .2此时,四边形OPMN 是正方形 . MNOP3 33 .2P3 33,0.2考虑到四边形PMNO 此时为正方形,点 P 在原点时仍可满意PNN 是以 MN 为始终角边的等腰直角三角形. 故 x 轴上存在点P 使得PMN是一个以MN为始终角边的等腰直角三角形且P3 33,0或P0,0.25.（2004 湖北宜昌）如图,已知点A0 ,1、C4,3、E15 ,423 ,P 是以 AC 为
14、 8- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 对角线的矩形学习必备欢迎下载2+bx+1ABCD 内部 不在各边上 的 个动点,点 D 在 y 轴,抛物线 y ax以 P 为顶点1说明点 A、C、E 在一条条直线上；2能否判定抛物线yax2+bx+1 的开口方向 .请说明理由；X 3设抛物线yax2+bx+1 与 x 轴有交点F、GF 在 G 的左侧 , GAO 与 FAO 的面积差为3,且这条抛物线与线段AE 有两个不同的交点这时能确定a、b 的值吗.如能,恳求出a、b 的值；如不能,请确定a、b 的取值范畴此题图形仅供分析参考用 Y 解 （ 1）由题意,A0
15、 ,1、C4,3确定的解析式为： y=1 x+1. 2D P C A 将点 E 的坐标 E15 ,423 代入 y= 81 x+1 中,左边 = 223 ,8O B 右边 =1 215 +1= 423 ,8左边 =右边,点E 在直线 y=1 x+1 上,即点 2A 、C、E 在一条直线上. （ 2）解法一： 由于动点P 在矩形 ABCD 内部, 点 P 的纵坐标大于点A 的纵坐标,而点 A 与点 P 都在抛物线上,且 向下P 为顶点,这条抛物线有最高点,抛物线的开口解法二： 抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为 4 ab 2,且 P 在矩形 ABCD 内4 a部, 14 ab
16、 2 3,由 1 1b 2得b 2 0, a 0,抛物线的开口向下 . 4 a 4 a 4 a（ 3）连接 GA 、FA , S GAO S FAO =3 2 1 GO AO 2 1 FO AO=3 OA=1 , GOFO=6. 设 F（ x1,0）、 G（ x2,0）,就 x1、x2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个根,且名师归纳总结 x1x2,又 a0, x1x2=1 0, x10x2,aF Y O P E C G X 第 7 页,共 28 页D GO= x2, FO= x 1, x2（ x1）=6,即 x2+x1=6, x 2+x1= bb =6,aA B a b= 6a, 抛物线解
17、析式为：y=ax2 6ax+1, 其顶点 P 的坐标为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3, 1 9a）, 顶点 P 在矩形 ABCD 内部, 1 19a3, 2 a 0. 9AE 有两个不同的交由方程组y=ax26ax+1 得： ax2（ 6a+1 ）x=0 2y=1 x+1 2 x=0 或 x=6aa1=6+1 . 2 a2当 x=0 时,即抛物线与线段AE 交于点 A ,而这条抛物线与线段点,就有： 06+1 2 a15 ,解得：42 a9112综合得：2 a91 b= 6a,1 b241236. （2004 湖南长沙）已知两
18、点O0,0、B0 ,2, A 过点 B 且与 x 轴分别相交于点 O、C, A 被 y 轴分成段两圆弧,其弧长之比为 31,直线 l 与 A 切于点 O,抛物线的顶点在直线 l 上运动 . （1）求 A 的半径；（2）如抛物线经过 O、 C 两点,求抛物线的解析式；（3）过 l 上一点 P 的直线与 A 交于 C、E 两点,且PC CE,求点 E 的坐标；（4）如抛物线与x 轴分别相交于C、F 两点,其顶点P 的横坐标为m,求 PEC 的面积关于m 的函数解析式. y 解 1由弧长之比为31,可得 BAO 90o0 x 再由 AB AO r,且 OB 2,得 r2 2 A 的切线 l 过原点,
19、可设l 为 ykx任取 l 上一点 b, kb,由 l 与 y 轴夹角为45o可得：b kb 或 b kb,得 k 1 或 k1,名师归纳总结 直线 l 的解析式为y x 或 yx 第 8 页,共 28 页又由 r2 ,易得 C2, 0或 C 2, 0 由此可设抛物线解析式为y axx2或 yaxx2 再把顶点坐标代入l 的解析式中得a1 抛物线为yx2 2x 或 yx22x 6 分3当 l 的解析式为y x 时,由 P 在 l 上,可设Pm, mm 0 过 P 作 PP x 轴于 P , OP |m|, PP |m|, OP2m2,又由切割线定理可得：OP 2 PC PE,且 PC CE,得
20、 PCPEm PP 7分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 C 与 P 为同一点,即 PEx 轴于 C, m 2,E2, 2 8 分同理,当 l 的解析式为 yx 时, m 2, E2, 2 4如 C2,0,此时 l 为 y x, P 与点 O、点 C 不重合, m 0 且 m 2,当 m0 时, FC22 m,高为 |yp|即为 m, S22m mm22m2 2m；02同理当 0m 2 时, S m 22m；当 m2 时, Sm Sm 22 m m0 或m2又如 C2,0,2 m2 0m2此时 l 为 yx,同理可得；S2 m2 m
21、 m2 或m2 m2 2m0A A 7.（2006 江苏连云港） 如图,直线ykx4与函数ymx0,m0的图像交于A、xB 两点,且与x、y 轴分别交于C、D 两点名师归纳总结 （ 1）如COD 的面积是AOB 的面积的2 倍,求 k 与 m 之间的函数关系式；如第 9 页,共 28 页（ 2）在（1）的条件下, 是否存在k 和 m ,使得以 AB 为直径的圆经过点P,20 存在,求出k 和 m 的值；如不存在,请说明理由B解（1）设A x 1y 1,Bx 2y 2其中x 1x 2,y 1y 2,CA由SCOD2SAOB,得SCOD2SAODSBOD1 OC 2OD21 OD 21y1 OD
22、2y ,OC2y1y2,又OCm4,y 1my228,即y 1y2224y 1y28,OPD由y可得x,代入ykx4可得y4ykm0xy- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载y 1 y 2 4,y 1 y 2 km,16 4 km 8,即 k 2 C Am又方程的判别式 16 4 km 8 0,所求的函数关系式为 km 2 m 0 B（ 2）假设存在 k , m ,使得以 AB 为直径的圆经过点 P 2 , 0 O M P N D就 AP BP,过 A 、 B 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 M、 N MAP与 BPN 都与 APM互余
23、,MAP BPN Rt MAP Rt NPB ,AM MPPN NBy 1 2 x 1, x 1 2 x 2 2 y 1 y 2 0, m2 m2 y 1 y 2 0,x 2 2 y 2 y 1 y 2即 m 2 2 m y 1 y 2 4 y 1 y 2 y 1 y 2 2 0 由（ 1）知 y 1 y 2 4,y 1 y 2 2,代入得 m 2 8 m 12 0,m 2 或 6 ,又 km 2 ,k m 21 或 k m 613,存在 k , m ,使得以 AB为直径的圆经过点 P 2 , 0 ,且k m 21 或k m 61328. （ 2004 江苏镇江）已知抛物线 y mx m 5
24、x 5 m 0 与 x 轴交于两点A x 1 ,0、B x 2 ,0 x 1 x 2 ,与 y 轴交于点 C,且 AB=6. （1）求抛物线和直线 BC 的解析式 . （2）在给定的直角坐标系中,画抛物线和直线 BC. （3）如 P 过 A、 B、 C 三点,求 P 的半径 . （4）抛物线上是否存在点 M,过点 M 作 MN x 轴于点 N,使 MBN 被直线 BC分成面积比为 1 3的两部分？如存在,恳求出点 M 的坐标；如不存在,请说明理由 . 名师归纳总结 解（1）由题意得：x 1x 2m5,x 1x25,x 2x 16.第 10 页,共 28 页mmx 1x 224x x 1 236
25、,m522036,mm- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备2 x欢迎下载5.O y x 解得m 11,m 25.4x7经检验 m=1,抛物线的解析式为：y或 ： 由m x 2m5 x50 得 ,x1或x5 mm 0,156,m1.m抛物线的解析式为y2 x4x5.由x24x50得x 15,x 21. A（ 5, 0）, B（1,0）, C（0, 5）. 设直线 BC 的解析式为ykxb ,就bb5,0.b5,kk5.5x5.y直线 BC 的解析式为2图象略 . （ 3）法一：在Rt DAOC中,OAOC5,OAC45 .BPC90. 26,又BC
26、OB2OC213.2P 的半径PB262法二：由题意, 圆心 P 在 AB 的中垂线上, 即在抛物线y2 x4x5的对称轴直线x2上,设 P（ 2, h）（ h 0）,名师归纳总结 连结 PB、PC,就PB21222 h,PC25h2 2 2,第 11 页,共 28 页由PB2PC2,即12 2h25h2 2 2,解得 h=2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - P 2, 2,P 的半径PB学习必备2欢迎下载13. 1222法三：延长 CP 交P 于点 F. 4 t5,就点E 的坐标为CF 为P 的直径,CAFCOB90 .又ABCAFC,DACF D
27、OCB.CFAC,CFAC BC.BCOCOC又AC5 25 25 2,CO5,BC5 21 226,CF5 25262 13.P 的半径为13.（ 4）设MN 交直线BC 于点E,点M 的坐标为 , t t2 ,5t5.3,、B ,直径 CD如S DMEB:S DENB1 3,就ME:EN1 3.EN:MN3 4,t24 t545t5.3解得t11（不合题意舍去）,t25 , 3M5 40 ,3 9.如S DMEB:S DENB3 1,就ME:EN3 1.EN MN1 4,t24 t545 t5.解得t31（不合题意舍去）,t 415,M15,280 .存在点 M,点 M 的坐标为5 40
28、,3 9或（ 15, 280）. 9.如图, M 与 x 轴交于A、 B 两点,其坐标分别为A x 轴于 N,直线 CE 切 M 于点 C,直线 FG 切 M 于点 F,交 CE 于 G,已知点名师归纳总结 G 的横坐标为3. 第 12 页,共 28 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 如抛物线yx22x学习必备欢迎下载m 的值及点D 的坐标 . m经过 A、 B、D 三点,求2 求直线 DF 的解析式 . 3 是否存在过点G 的直线,使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等G E x 于 4？如存在,恳求出满意条件的直线的解析式；如不存在,请
29、说明理由. 解 1 抛物线过A、 B 两点,D y 31m , m=3. 1F 抛物线为yx22x3. M 又抛物线过点D,由圆的对称性知A N O 点 D 为抛物线的顶点. C D 点坐标为1,4. 2 由题意知： AB=4. （第 9 题图）CD x 轴, NA=NB=2. ON =1. 由相交弦定理得：NANB=ND NC,NC4=2 2. NC=1. C 点坐标为1,1 . 设直线 DF 交 CE 于 P,连结 CF,就 CFP=90 . 2+3= 1+4=90 . GC、GF 是切线,GC=GF . 3=4. D y 1=2. GF=GP . 名师归纳总结 GC=GP . bk27b
30、1,A M 4 O F G 1 x 可得 CP=8. P 点坐标为 ,1N 3 2 设直线 DF 的解析式为ykxP E C 就7kb4解得k58kb1b275 x 8第 13 页,共 28 页8直线 DF 的解析式为：y83 假设存在过点G 的直线为y1x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载10就3k1b11,b13k11. 由方程组yk1x3k11得x22k1x43kyx22x3由题意得2k14,k16. A（ 3,6）,并与当k16时,400,方程无实数根,方程组无实数解. 满意条件的直线不存在. 10. （ 2004 山西）已知二
31、次函数y1x2bxc 的图象经过点2x 轴交于点B（ 1,0）和点 C,顶点为P. （ 1）求这个二次函数的解析式,并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；（ 2）设 D 为线段 OC 上的一点,满意DPC BAC ,求点 D 的坐标；（ 3）在 x 轴上是否存在一点M ,使以 M 为圆心的圆与AC 、PC 所在的直线及yx 轴都相切？假如存在,恳求出点M 的坐标；如不存在,请说明理由. 解 （1）解：二次函数y1x2bxc 的图象过点A（ 3,6）,B（ 1,0）2得93 bc6解得b1y 2c31bc022这个二次函数的解析式为：y1x2x3O 22由解析式可求P（1, 2）, C（3,0
32、）画出二次函数的图像名师归纳总结 （2）解法一：易证：ACB PCD 45第 14 页,共 28 页又已知： DPC BAC DPC BAC DC BCPC易求AC6 2,PC2 2,BC4ACDC4OD345D5 ,0 3333解法二：过A 作 AE x 轴,垂足为E. 设抛物线的对称轴交x 轴于 F. 亦可证AEB PFD、PE PFEB.易求： AE 6,EB 2, PF2 FD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - FD2OD2学习必备欢迎下载5 ,0 315 3D33（3）存在 . （1）过 M 作 MH AC,MG PC 垂足分别为 的延长线交 y 轴于 T H、G,设 AC 交 y 轴于 S, CP SCT 是等腰直角三角形,M 是 SCT 的内切圆圆心,MG MH OM 又MC 2 OM 且 OM MC OC 2 OM OM 3, 得 OM 3 2 3M 3 2 3,0（2）在 x 轴的负半轴上,存在一点 M 同理 OMOCM C,OM OC 2 OM得 OM 3 2 3 M 3 2 3,0即在 x 轴上存在满意条件的两个点 . y 6 5 4 3 S 2 M E -2 1 B F H 3 C x M -3 D 2 -1