《2022年高等数学word教案 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学word教案 .pdf（37页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备欢迎下载第14 次课2 学时注：本页为每次课教案首页上次课复习：上次我们学习了函数的微分的定义以及初等函数的微分公式与微分法则，掌握了微分与导数的关系以及微分形式的不变性。dy f (x)dxd(u v) du dv，d(Cu) Cdu，d(u v) vdu udv ，)0()(2vdxvudvvduvud， dy yxdx f (u)(x)dxdy f (u)du 或 dy yudu本次课题（或教材章节题目）：第三章中值定理与导数应用第一节中值定理教学要求： 1. 理解中值定理，特别是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义; 2. 会证明中值定理，特别是学会构造辅助函数证明问题的方法；
2、3. 初步具有应用中值定理论证问题的能力. 重点：罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理辅助函数的构造难点：辅助函数的构造教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案讲授内容及时间分配：罗尔定理15 分钟拉格朗日中值定理25 分钟柯西中值定理25 分钟中值定理的应用举例35 分钟课后作业作业： P1662. 4.5.6.10.11 (1).12. 参考资料精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 37 页学习必备欢迎下载第一节中值定理中值定理1罗尔定理如xf满足：（1）在b,a连续 . （2）在b, a可导 . （3）)()(bfaf,
3、 则至少存在一点ba, 使0/f证明： (1) 如果 f(x)是常函数则 f (x) 0定理的结论显然成立(2) 如果 f(x)不是常函数则f(x)在(a b)内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点(a b)于是0 xfxfffx)()(lim)()(0 xfxfffx)()(lim)()(所以 f (x)=0. 罗尔定理的几何意义连续曲线弧除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，且两个端点纵坐标相等，则在弧上至少有一点该点处曲a b 线的切线水平。例 1 设121xxxxg，则在区间（ -1 ，0）内，方程0 xg/有 2 个实根；0 xg/有 1 个根 . 例 2 设xf在0 ，
4、1 可导，且010ff，证明存在10,，使0/ff。证：设xxfxF在a,b可导，10FF存在10,使0/F即0/ff. 例 3 设xf在0 ，1 可导，且010ff, 证明存在10,，使0/FF。解: 设xfexFx，且10FF由罗尔定理，存在10,， 使0/F，即0/fefe，,0e0/ff2、拉格朗日中值定理如满足：在 a,b连续；在（ a,b ）连续，则存在b,a, 使abfafbf/. 证明引进辅助函数(x) f(x)ab)a(f)b(fx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 37 页学习必备欢迎下载容易验证函数(x
5、)适合罗尔定理的条件(a)(b) 0(x)在闭区间 a b 上连续在开区间(a b)内可导且(x) f (x)ab)a(f)b(f根据罗尔定理可知在开区间(a b)内至少有一点使( ) 0即f ( )ab)a(f)b(f0由此得ab)a(f)b(f f ( ) 即f(b) f(a) f ( )(b a)定理证毕拉格朗日中值定理的几何意义连续曲线弧除端点外处处具有不垂直于 x 轴的切线，则在弧上至少有一点该点处曲线的切线平行于弦AB a b拉格朗日中值公式的其它形式设 x 为区间 a b内一点xx 为这区间内的另一点( x0 或x0)或xxx (x0)应用拉格朗日中值公式得f(xx) f(x)
6、f (xx)x (0 1)如果记 f(x)为 y则上式又可写为y f (xx)x (0 1)试与微分d y f (x)x 比较d yf (x)x 是函数增量y 的近似表达式而f (xx)x是函数增量y 的精确表达式推论：如果在区间I 上0 xf/，则cxf. 证在区间 I 上任取两点x1x2(x1x2)应用拉格朗日中值定理就得f(x2) f(x1) f ( )(x2 x1) (x1 x2)由假定f ( ) 0所以 f(x2) f(x1) 0即f(x2) f(x1)因为 x1x2是 I 上任意两点所以上面的等式表明f(x)在 I 上的函数值总是相等的这就是说f(x)在区间 I 上是一个常数例 4
7、 证明对任意满足1x的x，都有42111xarcsinxxarctg. 证明：设xarcsinxxarctgxf21112211211211211111xxxxxxxf/0 x121x12x1x12x121222cxf40f4xf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 37 页学习必备欢迎下载例5 设0 x，证明xxlnxx11. 证明：设)xln()t(f1，则)t (f在区间 0,x 上满足拉格朗日中值条件，则有. x),x)(f)( f)x( f000又由于1100)(f,)(f，所以上式即为11x)xln(，又由于x0，
8、有xxxx11，即xxlnxx11. 3 柯西中值定理如果函数 f(x)及 F(x)在闭区间 a b上连续在开区间 (a b)内可导且 F (x)在(a b)内的每一点处均不为零那么在 (a b)内至少有一点使等式)()()()()()(FfaFbFafbf成立显然如果取 F(x) x那么 F(b) F(a) b a F (x) 1 因而柯西中值公式就可以写成f(b) f(a) f ( )(b a) (a 0)解nxxxlnlim11nxnxxlim01nxnxlim例 6求xnxexlim(n 为正整数0)解xnxexlimxnxenx1limxnxexnn221)(lim0 xnxen!l
9、im精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 37 页学习必备欢迎下载3. 其它类型未定式0、00、1 、0都可以转化为00或型未定式来计算1) 01100,2) 000001013)(lnylny型000004) 01y,y（解法同3）例 7求xxnxlnlim0(n0)解xxnxlnlim0nxxxlnlim0101nxnxxlim00nxnxlim例 8求)tan(seclimxxx2解)tan(seclimxxx2xxxcossinlim1202xxxsincoslim例 9求xxx0lim解xxx0lim100eexxx
10、lnlim(根据例 7)洛必达法则是求未定式的一种有效方法但最好能与其它求极限的方法结合使用例如能化简时应尽可能先化简可以应用等价无穷小替代或重要极限时应尽可能应用这样可以使运算简捷例 10求xxxxxsintanlim20解xxxxxsintanlim2030 xxxxtanlim22031xxxseclimxxxx6220tanseclim313120 xxxxtanseclim最后我们指出本节定理给出的是求未定式的一种方法当定理条件满足时所求的极限当然存在（或为）但定理条件不满足时所求极限却不一定不存在例 11求xxxxsinlim解因为极限)()sin(limxxxx11xxcosli
11、m不存在所以不能用洛必达法则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 37 页学习必备欢迎下载xxxxsinlim11)sin(limxxx求极限的方法小结（ 1）单调有界序列必有极限（ 2）用夹逼定理（ 3）用极限运算法则（ 4）用函数的连续性（ 5）用两个重要极限（ 6）无穷小乘有界函数仍是无穷小(7) 等价无穷小替换（ 8）用洛必达法则补充例题例 11 求极限0 xlimxbaxx(a0 b0)解0 xlimxbaxx0 xlim)()(xbaxx0 xlim1lnlnbbaaxxln aln b lnba例 12 0 xl
12、imxxxx3sincossin0 xlim3cossinxxxx0 xlim)()cos(sin3xxxx0 xlim23sincoscosxxxxx310 xlimxxsin31例 13 2xlimxtgtgx32xlim)3()(xtgtgx2xlimxx3cos3cos122312xlimxx22cos3cos312xlimxxxxsincos23sin3cos62xlimxx2sin6sin2xlimxx2cos26cos63例 14 求极限xlimx lnaxax(a 0)解：xlimxlnaxaxxlimxaxax1lnxlim2111xaxax2axlim222axx2a例 1
13、5 xlimxx1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 37 页学习必备欢迎下载解：设xlimxx1A则 lnA=xlimx1ln xxlimxxlnxlim11x0于是xlimxx1xlimxxeln1e 0 1例 16 1xlim(xln111x)1xlimxxxxln) 1(ln11xlimxxxx1ln111xlim1ln1xxxx1xlim11ln1x21注：用洛必达法则有时不能求结果，此时需用以前的方法。例求下列极限（1）0 xlimxsinxsinx12= 0 xlimxxsinx12= 0 xlim01xsin
14、x（2）xlimxxxxeeee=xlim11122xxee精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 37 页学习必备欢迎下载第次课学时注：本页为每次课教案首页上次课复习：上次我们学习了未定式“00”的极限，“”的极限，未定式“0” ， “1” ，“00” ， “”的极限 . 本次课题（或教材章节题目）：第三章中值定理与导数应用第三节泰勒公式教学要求：1. 掌握泰勒定理，理解泰勒公式的意义; 2. 熟记函数xe，xsin,xcos，x11的麦克劳林展开式；3. 会求函数的麦克劳林展开式. 重点：泰勒定理麦克劳林展开式难点：泰勒定
15、理教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案讲授内容及时间分配：泰勒定理及其证明40 分钟麦克劳林展开式30 分钟函数xe，xsin，,xcos，的麦克劳林展开式30 分钟课后作业作业： P1772. 5.6. 参考资料精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 37 页学习必备欢迎下载第三节泰勒公式一 泰勒公式对于一些较复杂的函数为了便于研究往往希望用一些简单的函数来近似表达由于用多项式表示的函数只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算便能求出它的函数值因此我们经常用多项式来近似表达函数设函数 f(x)在含有 x0的开区间内具有直
16、到(n 1)阶导数现在我们希望做的是找出一个关于 (x x0)的 n 次多项式pn(x) a 0a 1(x x0) a 2(x x0) 2 an(x x0)n来近似表达f(x)要求 pn(x)与 f(x)之差是比 (x x0)n高阶的无穷小并给出误差 | f (x)pn (x)|的具体表达式我们自然希望pn(x)与 f(x)在 x0的各阶导数 (直到 (n 1)阶导数 )相等这样就有pn(x) a 0a 1(x x0) a 2(x x0) 2 an(x x0)npn(x) a 12 a 2(x x0)nan(x x0)n 1 pn(x) 2 a 2 3 2a 3(x x0)n (n 1)an(
17、x x0)n 2pn(x) 3!a 34 3 2a 4(x x0) n (n 1)(n 2)an(x x0)n 3pn (n)(x) n! an于是pn(x0) a 0pn(x0) a 1pn(x0) 2! a 2pn(x) 3!a 3pn (n)(x) n! an按要求有f(x0) pn(x0) a0f (x0) pn(x0) a 1f(x0) pn(x0) 2! a 2f(x0) pn(x0) 3!a 3 ， f(n)(x0) pn (n)(x0) n! an从而有a 0f(x0) a 1f (x0)(! 2102xfa)(! 3103xfa)(!10)(xfnann)(!10)(xfka
18、kk(k 0 1 2n)于是就有pn(x) f(x0) f (x0) (x x0)(! 210 xf(x x0) 2 )(!10)(xfnn(x x0)n泰勒中值定理： 如果函数f(x)在含有 x0的某个开区间(a b)内具有直到 (n 1)的阶导数则当 x 在(ab)内时f(x)可以表示为 (x x0)的一个 n 次多项式与一个余项Rn(x)之和)()(!1)(! 21)()()(00)(200000 xRxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(介于 x0与 x 之间 )这里多项式nnnxxxfnxxxfxxxfxfxp)(!1)(! 2
19、1)()()(00)(200000称为函数f(x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 37 页学习必备欢迎下载按(x x0)的幂展开的n 次近似多项式公式200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf)()(!100)(xRxxxfnnnn称为 f(x)按(x x0)的幂展开的n 阶泰勒公式而 Rn(x)的表达式10)1()()!1()()(nnnxxnfxR( 介于 x 与 x0之间 )称为拉格朗日型余项注：当n 0 时泰勒公式变成拉格朗日中值公式f(x) f(x0) f ( )(x x0) ( 在 x0与
20、 x 之间 )因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广如果对于某个固定的n当 x 在区间 (a b)内变动时 |f(n 1)(x)|总不超过一个常数M则有估计式1010) 1(|)!1(|)()!1()(| )(|nnnnxxnMxxnfxR及000n)x(nxx)xx(Rlim可见当 xx0时误差 |Rn(x)|是比 (x x0)n高阶的无穷小即Rn (x) o(x x0)n在不需要余项的精确表达式时n 阶泰勒公式也可写成200000)(! 21)()()(xxxfxxxfxfxf)()(!1000)(nnnxxoxxxfn 当 x00 时的泰勒公式称为麦克劳林公式就是)(!)0(! 2)0
21、()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn或)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf其中1)1()!1()()(nnnxnfxR由此得近似公式nnxnfxfxffxf!)0(! 2)0()0()0()()(2误差估计式变为1|)!1(| )(|nnxnMxR二 . 常见函数的泰勒展式例 1 写出函数f(x) ex的 n 阶麦克劳林公式解因为f(x) f (x) f(x)f( n)(x) ex所以f(0) f (0) f(0)f( n)(0) 1于是12)!1(!1! 211nxnxxnexnxxe(0)并有nxxnxxe!1! 2112这时所产性
22、的误差为|Rn(x)| |)!1(nexxn 1|)!1(|nex| x |n 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 37 页学习必备欢迎下载当 x 1 时可得 e的近似式!1!2111nex其误差为|Rn|0 在0 x右侧0 xf/0则xf在0 x处取得极大值 , 如果0 xf/=0，且在0 x左侧0 xf/0 则xf在0 x处取得极小值, 如果0 xf/=0，且在0 x左侧与右侧0 xf/符号相同则xf在0 x处不取极值。. 第二充分条件：0 xf/=0，0 xf/，0)(xf0)(xf0/0/0 xf/时，不一定是极
23、值. 3 确定极值点和极值的步骤(1)求出导数f (x)(2)求出 f(x)的全部驻点和不可导点(3)列表判断 (考察 f(x)的符号在每个驻点和不可导点的左右邻近的情况以便确定该点是否是极值点如果是极值点还要确定对应的函数值是极大值还是极小值)(4)确定出函数的所有极值点和极值例 1 求函数59323xxx)x(f的极值 . 解：)x)(x(xx)x(f/3139632，列表如下：(1) 11 3 3 3) f (x) 0 0 f(x) 极大值 10 极小值22例 2 求函数1132)x()x(f的极值 . 解：(1) f (x) 6 x (x21)2(2) 令 f (x) 0 求得驻点x1
24、1 x20 x31(3) f(x) 6(x21)(5x21)(4) 因 f(0) 6 0所以 f (x)在 x 0 处取得极小值极小值为f(0) 0(5) 因 f( 1) f(1) 0用定理 3 无法判别因为在1 的左右邻域内f (x) 0所以 f(x)在1处没有极值同理f(x)在 1 处也没有极值极小值极大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 37 页学习必备欢迎下载第次课学时注：本页为每次课教案首页上次课复习：函数单调性的判别法，极值的必要条件，第一充分条件，第二充分条件本次课题（或教材章节题目）：第三章中值定理与导数
25、应用第六节最大值与最小值问题第七节曲线的凹凸性与拐点教学要求：1. 掌握函数最大值与最小值的求法; 2. 掌握曲线的凹凸性的概念；3. 会判定曲线的凹凸性与拐点. 重点：曲线的凹凸与拐点，最大值、最小值的求解难点：最大值、最小值的求解教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案讲授内容及时间分配：求函数最大值与最小值的步骤15 分钟具体问题的最大值、最小值的求解35 分钟曲线的凹凸与拐点30 分钟例题20 分钟课后作业作业： P1941.（ 2） ，(3), 3. 5. 6. 7. 8. P2001.（1） ， (4), 2.(1),(3),(6), 3.(1),(3), 4.(1) 7. 8.
26、参考资料精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 37 页学习必备欢迎下载第六节最大值与最小值问题最大值最小值问题在工农业生产、工程技术及科学实验中常常会遇到这样一类问题在一定条件下怎样使“产品最多”、 “用料最省”、 “成本最低” 、 “效率最高”等问题这类问题在数学上有时可归结为求某一函数（通常称为目标函数）的最大值或最小值问题极值与最值的关系设函数f(x)在闭区间 ab上连续则函数的最大值和最小值一定存在函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得如果最大值不在区间的端点取得则必在开区间 (a b)内取得在这种情况下最大值一
27、定是函数的极大值因此函数在闭区间 a b上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者同理函数在闭区间 a b上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者最大值和最小值的求法设 f(x)在(a b)内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为 x1x2xn则比较f(a) f(x 1)f(xn) f(b) 的大小其中最大的便是函数f(x) 在 a b 上的最大值最小的便是函数f(x) 在a b 上的最小值例 1 求函数f(x)|x23x2| 在 3 4 上的最大值与最小值解)2, 1(23 4, 2 1, 323)(22xxxxxxxf)2, 1 (32)4,
28、 2() 1, 3(32)(xxxxxf在(3 4) 内f(x) 的驻点为23x不可导点为x1 和x2由于f(3)20f(1)041)23(ff(2)0f(4)6比较可得f(x) 在x3 处取得它在 3 4 上的最大值20在x1 和x2 处取它在 3 4 上的最小值0例 2 工厂铁路线上AB段的距离为100km 工厂C距A处为 20km AC垂直于 AB 为了运输需要要在 AB线上选定一点D向工厂修筑一条公路已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比 3:5为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省问D点应选在何处？解：设AD x (km)则DB100 x 2220 xCD2400 x
29、设从B点到C点需要的总运费为y那么 y5k CD3k DB (k是某个正数 )即24005xky3k(100 x) (0 x100)现在问题就归结为x在0 100 内取何值时目标函数y的值最小先求y对x的导数DC20kmAB100km精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 37 页学习必备欢迎下载)34005(2xxky2400 xCD解方程y0得x15(km)由于y|x0400ky|x15380k2100511500k|yx其中以y|x15380k为最小因此当ADx15km时总运费为最省注f(x) 在一个区间 ( 有限或无限
30、开或闭 ) 内可导且只有一个驻点x0并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点那么当f(x0) 是极大值时f(x0) 就是f(x) 在该区间上的最大值当f(x0)是极小值时f(x0)就是f(x) 在该区间上的最小值应当指出实际问题中往往根据问题的性质就可以断定函数f(x) 确有最大值或最小值而且一定在定义区间内部取得这时如果f(x) 在定义区间内部只有一个驻点x0那么不必讨论f(x0) 是否是极值就可以断定f(x0) 是最大值或最小值例 3 把一根直径为d的圆木锯成截面为矩形的梁问矩形截面的高h和宽b应如何选择才能使梁的抗弯截面模量W (261bhW) 最大 ? 解：b与h有下面的关系 h 2d
31、2b 2因而)(6122bdbW(0b0则 f(x)在a b上的图形是凹的(2)若在 (a b)内 f(x)0则 f(x)在a b上的图形是凸的证明 : 只证 (1)设21, xxx1x2a b且 x1x2记2210 xxx由拉格朗日中值公式得2)()()()(21101101xxfxxfxfxf011xx2)()()()(12202202xxfxxfxfxf220 xx两式相加并应用拉格朗日中值公式得2)()()(2)()(1212021xxffxfxfxf02)(1212xxf21即)2(2)()(2121xxfxfxf所以 f(x)在a b上的图形是凹的3. 确定曲线y f(x)的凹凸区
32、间和拐点的步骤(1)确定函数y f(x)的定义域(2)求出在二阶导数f(x)x1x 2yxO 221xx221xxf2)()(21xfxff(x2) f(x1) x1x 2yxO 221xx221xxf2)()(21xfxff(x2) f(x1) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 37 页学习必备欢迎下载(3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点(4)判断或列表判断确定出曲线凹凸区间和拐点例 1判断曲线y ln x 的凹凸性解xy121xy因为在函数y ln x 的定义域 (0)内y 0所以曲线y ln x 是凸的
33、例 2判断曲线y x3的凹凸性解y3x 2y6x由 y0得 x 0因为当 x0 时 y 0 时 y 0所以曲线在 0)内为凹的例 3求曲线 y 2x 33x 22x 14 的拐点解y 6x 26x 12)21(12612xxy令 y0得21x因为当21x时 y0当21x时 y0 所以点 (212120)是曲线的拐点例 4求曲线 y 3x 44x31 的拐点及凹、凸的区间解 (1)函数 y 3x 44x31 的定义域为 ()(2)231212xxy)32(3624362xxxxy(3)解方程 y0 得01x322x(4)列表判断在区间 (0)和 2/3上曲线是凹的在区间 02/3上曲线是凸的点(
34、0 1)和(2/311/27)是曲线的拐点例 5 问曲线 y x 4是否有拐点？解: y4x 3y12x 2当 x0 时 y 0在区间 ()内曲线是凹的因此曲线无拐点例 6求曲线3xy的拐点解 : (1)函数的定义域为()(2) 3231xy3292xxy(3)无二阶导数为零的点二阶导数不存在的点为x 0(4)判断当 x0当 x0 时 y 0相反时 s0dxds21y于是 ds21 ydx这就是弧微分公式2、曲率及其计算公式曲线弯曲程度的直观描述设曲线 C是光滑的在曲线 C 上选定一点M0作为度量弧s 的基点设曲线上点 M 对应于弧 s 在点 M 处切线的倾角为曲线上另外一点N 对应于弧ss在
35、点 N 处切线的倾角为我们用比值|s即单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段MN的平均弯曲程度记sK称 K 为弧段 MN 的平均曲率记sKs0lim称 K 为曲线 C 在点 M 处的曲率在0limssdsd存在的条件下dsdK曲率的计算公式设曲线的直角坐标方程是y f(x)且 f(x)具有二阶导数（这时f (x)连续从而曲线是光滑的）因精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 37 页学习必备欢迎下载为 tan y所以sec 2dy dxdxyydxydxyd2221tan1sec又知 ds21ydx从而得曲率的计算公式232
36、)1(|yydsdK注： . 若曲线的参数方程为x(t), y(t) 则2/322)()(| )()()()(|ttttttK例 1. 计算等双曲线x y1 在点 (1 1)处的曲率解由xy1得21xy32xy因此y |x 11y |x 12曲线 xy1 在点 (1 1)处的曲率为232)1 (|yyK232)1(1 (22221例 2抛物线 y ax 2b x c 上哪一点处的曲率最大？解由 y a x 2b x c得y2a xb y2a代入曲率公式得232)2(1|2|baxaK显然当 2ax b 0 时曲率最大曲率最大时xab2对应的点为抛物线的顶点因此抛物线在顶点处的曲率最大最大曲率为
37、K |2a| 3. 曲率圆与曲率半径设曲线在点M(xy)处的曲率为K (K 0)在点 M 处的曲线的法线上在凹的一侧取一点D使|DM|K1以 D 为圆心为半径作圆这个圆叫做曲线在点M 处的曲率圆曲率圆的圆心D 叫做曲线在点M 处的曲率中心曲率圆的半径叫做曲线在点M 处的曲率半径设曲线在点M 处的曲率为K(K 0) 在曲线凹的一侧作一个与曲线相切于M 且半径为K1的圆则这个圆叫做曲线在点M 处的曲率圆其圆心叫做曲率中心其半径叫做曲率半径曲线在点M 处的曲率 K(K0)与曲线在点M 处的曲率半径有如下关系K1K1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
38、 -第 28 页，共 37 页学习必备欢迎下载第次课学时注：本页为每次课教案首页上次课复习：学习了渐近线的定义，会讨论渐近线; 掌握描绘函数图形的基本步骤；准确地描绘函数图形. 掌握弧微分及曲率的概念，了解曲率的计算公式; 本次课题（或教材章节题目）：第三章习题课教学要求：1. 巩固第三章内容；2. 掌握解题方法与技巧；重点：中值定理导数的应用中值定理有关命题的证明函数图形的描绘难点：中值定理有关命题的证明教学手段及教具：以讲授为主，使用电子教案讲授内容及时间分配：总结第三章内容25 分钟解决作业中出现的习题40 分钟课外典型题讲解35 分钟课后作业作业： P2231.3.4.5.6.7.8.
39、9.10.11.12.13.15.16.17. 参考资料精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 37 页学习必备欢迎下载小结1 罗尔定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒中值定理。2 函数的极值，用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3 用二阶导数判断函数图形的凹凸性，求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，描绘函数的图形。4 用洛必达法则求未定式极限。5 弧微分公式，曲率和曲率半径的概念。一.中值定理1.罗尔定理：如xf满足：在b,a连续，在b, a可导，bfaf， 则至少存在
40、一点b, a使0f/. 2. 拉格朗日中值定理：如xf满足：在 a,b连续；在（ a,b ）连续，则存在b,a使abfafbf/. 推论：如果在区间I 上0 xf/，则cxf. 3.柯西中值定理：如果函数f(x)及 F(x)在闭区间 a b上连续在开区间 (a b)内可导且 F (x)在(a b)内的每一点处均不为零那么在 (a b)内至少有一点使等式)()()()()()(FfaFbFafbf成立4.泰勒中值定理：如果函数f(x)在含有 x0的某个开区间(a b)内具有直到 (n 1)的阶导数则当 x 在(ab)内时f(x)可以表示为 (x x0)的一个 n 次多项式与一个余项Rn(x)之和
41、)()(!1)(! 21)()()(00)(200000 xRxxxfnxxxfxxxfxfxfnnn其中10)1()()!1()()(nnnxxnfxR(介于 x0与 x 之间 )例 1 设xf在0 ，1 可导，且01f0f，证明存在1 , 0，使0ff/。证：设xxfxF在a,b可导，1F0F存在1 ,0使0F/即0ff/例 2 设xf在0 ，1 可导，且01f0f, 证明存在0FF/。解: 设xfexFx，且1F0F由罗尔定理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 37 页学习必备欢迎下载存在使0F/即0fefe/，亦即
42、0ff/例 3 证明对任意满足1x的 x，都有4xarcsin21x1x1arctg. 证明：设xarcsin21x1x1arctgxf，0 x1121x12x1x121x1x111xf22/0 x121x12x1x12x121222cxf40f4xf例 4 当ba0，试证即证：aababb1lnln1证：设xlny，在b,a连续，)b, a(可导，由拉格朗日中值定理)(1lnlnabab，存在b,a使abfafbf/. 即baabab1lnlnaababb1lnln1例 5 设0 x，证明xxxx)1ln(1aababbabln精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
43、- - - - - - -第 31 页，共 37 页学习必备欢迎下载证：设)tln()t(f1在x, 0连续，)x,(0可导则存在x,0使00 xffxf/，即x)xln()(f/111，x0.因为x0，所以11111x，即1111x)xln(x，即xxxx)1ln(1.二、洛必达法则1. 如果：0)(lim)(xfxax, 0)(lim)(xgxax，在某个邻域),(aN内（Xx后）有导数 f和g，且0)( xg；)( )( lim)(xgxfxax存在（或无穷） ，则成立：)()(lim)(xgxfxax=)( )( lim)(xgxfxax例 1 1) bxaxxsinsinlim0=b
44、xbaxaxcoscoslim0ba.2)30sinlimxxxx=2031xxxcoslim=220321xxxlim=61. 3) 123lim2331xxxxxx=12333221xxxxlim=4326361xxxxlim.例 2 1) xxx12arctanlim=22111xxxlim=11112xxlim. 2) (n0)nxxxlnlim=nxnx1lim=0. 2 其它类型1) 011,00精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 37 页学习必备欢迎下载2) 000001013)0(0ln0ln00型yy 4
45、) 0,1yy解法同 3）例 ： 1) )(lnlim00nxxnx=nxxxlnlim0101nxnxxlim=nxnx10lim=+2) )tan(seclimxxx2=xxxxcossincoslim12=xxxcossinlim12=xxxsincoslim2=03) xxx0lim=xxxelnlim0=xxxelnlim0=10 xxxelnlim=201xxxelim=0三. 函数的性态1、极值1）可能极值点，xf/不存在的点与0 xf/的点。 （驻点）2）判别方法、导数变号、0 xf/，0)f(x0)f(x00例 1 设xfy满足关系式0y4y2y/，且0 xf, 0 xf0/
46、，则xf在0 x点处 A A、取得极大值 B、取得最小值 C、在0 x某邻域内单增 D、在0 x某邻域内单减例 2 已知函数xf对一切x满足x2/e1xfx3xxf如0 xf0/，0 x0，则 A A、0 xf是xf的极小值极小值极大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 37 页学习必备欢迎下载B、 B、0 xf是xf的极大值 C、00 xfx、是曲线的拐点D、0 xf不是xf的极值，00 xfx、也不是曲线xfy的拐点。例3设函数xf在0 x的某邻域内可导，00f/，21xsin(x)flim/0 x，则0f是xf的极大
47、 值。2 函数的最大值与最小值（1）求出ba，内可能的极值点，不需判别极大还是极小，求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较，其中最大的（小）为最大（小）值。（2）在ba，内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；如是极大值则为最大值。（3）如)()(),0(0bfaff分别为最小 , 最大值。例1、在抛物线2x4y上的第一象限部分求一点P，过 P 点作切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形面积最小。解：设切点为yxP，切线方程为xXx2x4Y2即三角形面积：32x0(x)S/38y,32x令0)32(S/（唯一）)3832(，为所求点14xY2x4xX222x0),x168x(x412x4)(
48、x21S(x)322)x16-8(3x41(x)S22/精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 37 页学习必备欢迎下载3、曲线的凹凸、拐点及渐近线可能的拐点0 xf/和xf/不存在的点例 1231xxxf，试讨论xf的性态。解：4/32/x1)-6(x(x)f,x2)(x1)-(x(x)f1x0(x)f-2,x1,x0(x)f/,x (- ,-2) -2 (-2,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ) y+ 0 - 间断+ 0 + y- - - - 0 + y 单调增上凸极大值2f427单减上凸单增上凸拐点(1,0) 单增下
49、凸四证明不等式（1）利用中值定理（R，L） ；（2）利用函数单调性；（3）利用最值；（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；（5）利用函数凹凸性；（6）利用泰勒公式。例. 当ba0，试证即证：aababb1lnln1证：设xlny，在b,a连续，)b, a(可导，由拉格朗日中值定理aababbabln精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 37 页学习必备欢迎下载)(1lnlnabab即baabab1lnlnaababb1lnln1例 2 设0 x，证明xxxx)1ln(1证：设)x1ln(x)x(f，xxxxf1111
50、)(/)x(f单增，当0 x0)0(f)x(f)x1ln(x设xxxxf1)1ln()(，0)1 (2)1 (111)(22/xxxxxf)x(f单增，当0 x0)0(f)x(fxxx1)1ln(例 3 当0 x证明xln1x2证：令)0 x(xln1x)x(f2，xxxf12)(2/令0)x(f/得21x（驻点唯一） ，01)(2/xxxf)21(f为极小值又由驻点唯一，所以)21( f为最小值即02ln212321)(0fxfx例 4 当1x01p证明1x1x2ppp1证: 设ppx1xxf1x0，1p1p/x1ppxxf令0 xf/ ,21x（ 驻点唯一）精选学习资料 - - - - -