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1、教学对象合班 1：专业班合计人合班 2：专业班合计人合班 3：专业班合计人授课日期地点教学内容课题第二章 导数与微分第一节导数的概念计划学时2 教学目的通过学习，学生能够：1.理解导数概念，会用定义求函数在一点处的导数；2.理解导数的几何意义，会求曲线的切线；3.理解可导与连续的关系。具体目标如下：知识目标：1.理解导数的概念；2.理解导数的几何意义；3.把握可导与连续的关系。技能目标：1 会用定义求函数在一点处的导数；2 会求曲线的切线。素养目标：1培养学生的数学思维能力和解决问题的能力；2培养学生严谨、求实的作风。教学重点难点重点： 导数的定义。难点： 理解导数的几何意义。教学资源教材、例
2、子幻灯片、课件。教学后记对培养方案、大纲修改意见对授课计划修改意见对本教案修改意见需增加资源其他教研室主任：系主任：教务处：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页教学活动流程教学步骤与内容教学目标教学方法时间A.复习内容 1极限的定义 2.极限的计算方法对前面的知识进行复习与稳固，并为新知识和新技能的学习奠定必要的基础。简述6mins B.板书课题，明确学习目标及主要学习内容略。详见教案首页板书 (或 PPT展示) 课题明确本次课的内容重点及目标简介辅以PPT展示2mins C.讲授新知导数与微分是微积分的基本概念，要更
3、好地理解导数的概念，应从解决实际问题的背景出发，在解决问题的过程中自然抽象出导数的概念。导数与微分在理论上和实践中都有非常广泛的应用。一、瞬时速度、曲线的切线斜率1. 变速直线运动的瞬时速度设一质点作变速直线运动，质点的运行路程s与时间t的关系为( )ss t，求质点在0t时刻的瞬时速度分析：如果质点做匀速直线运动，给时间一个增量t，那么质点在时刻0t与时刻0tt间隔内的平均速度也就是质点在时刻0t的瞬时速度为0vv00()( )s tts tt在匀速直线运动中，这个比值是常数，但是如果质点作变速直线运动，它的运行速度时刻都在发生变化，为了计算瞬时速度， 首先在时刻0t任给时间一个增量t，考虑
4、质点由0t到0tt这段时间的平均速度：00()( )s tts tvt引入导数概念讲解辅以 PPT展示20mins 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页当时间间隔t很小时，其平均速度就可以近似地看作时刻0t的瞬时速度且t越小，接近的程度就越好因此，当0t时，如果平均速度st的极限存在，那么，就把这 个 极 限 称 为 物 体 在0t时 刻 的 瞬 时 速 度 ， 即 ：00000()( )limlimtts tts tvvt2.曲线切线的斜率定义设点 P0是曲线L上的一个定点， 点 P是曲线L上的动点，当点P沿曲线L趋
5、向于点P0时，如果割线PP0的极限位置P0T存在，则称直线 P0T为曲线L在点 P0处的切线设曲线方程为y =f(x)在点 P0(x0，y0)处的附近取一点),(00yyxxP那么割线P0 P 的斜率为xxfxxfxy)()(tan00如果当点P沿曲线趋向于点P0 时，割线P0P 的极限位置存在，即点P0处的切线存在，此刻,0 x，割线斜率tan趋向切线P0T 的斜率tan a，即，.)()(limtan000 xxfxxfx二、导数的定义定义: 设函数)(xfy在点0 x的一个邻域内有定义。在0 x处给x以增量xx仍在上述邻域内)，函数y相应地有增量)()(00 xfxxfy，如果xyx0l
6、im存在，则称此极限值为函数)(xfy在点0 x处的导数 .记作：)( xf或0 xxy或0 xxdxdy，即xxfxxfxfx)()(lim)( 000此时也称函数f ( x) 在点x0处可导 . 如果上述极限不存在，则称f ( x) 在x0处不可导 . 例 1、求函数 f (x) = x2在 x0= 1 处的导数， 即 f /(1). 总 结 概 括 导 数定义讲解5mins 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页解: 第一步求y：222)(21)1()1()1(xxxfxfy第二步求xy：).0(2)(22xxxx
7、xxy第三步求极限：2)2(limlim00 xxyxx所以，2)1 ( f三、导数的几何意义函数y = f ( x) 在点x0处的导数的几何意义就是曲线 y = f ( x) 在点 ( x0， f ( x0) 处的切线的斜率, 即：)( tan0 xf，图 P46 由此可知曲线y = f (x)上点P0处的切线方程为：)( 000 xxxfyy法线方程为：)0)()()(10000 xfxxxfyy，其中y0 = f ( x0).例 2求曲线y = x2在点(1, 1) 处的切线和法线方程. 解：从例 1 知2)(12xx即点(1, 1) 处的切线斜率为 2 ，所以 , 切线方程y 1 =
8、2(x - 1).，即 y = 2 x - 1.法线方程).1(211xy，即2321xy四、导数的物理意义对于不同的物理量有着不同的物理意义. 例如变速直线运动路程s = s(t) 的导数，就是速度，即)()( 00tvts. 我们也常说路程函数s(t) 对时间的导数就是速度.五、导函数一般地，函数f (x) 的导函数xxfxxfxfx)()(lim)(0例 4求 f (x) = sin x 的导函数(),(x).会 用 定 义 求 函数 在 一 点 处 的导数理 解 导 数 的 几何意义会 求 曲 线 的 切线了 解 导 数 的 物理意义理 解 导 函 数 的定义讲解讲解讲练结合简单介绍讲
9、解7mins 10mins 7mins 3mins 5mins 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页解：xxfxxfxyxfxx)()(limlim)(00 xxxxxsin)sin(lim0 xxxxx2sin2cos2lim0 xxxxxxcos22sin2coslim0，即 ： x.cos(sin x)类似可得：sin x.- x)(cos定义如果xxfxxfx)()(lim000存在 ，则称此极限值为 f (x) 在点 x0处的左导数 ，记作f (x0)；同样 ，如果xxfxxfx)()(lim000存在， 则
10、称此极限值为f (x) 在点x0处的右导数 ，记作f +(x0) . 显然， f (x) 在 x0处可导的充要条件是f -(x0) 及 f +(x0) 存在且相等.定义如果函数f (x) 在区间I 上每一点可导， 则称 f (x) 在区间I 上可导 . 如果 I 是闭区间 a, b，则端点处可导是指f +(a)、 f -(b) 存在.六、可导与连续的关系定理如果函数y = f (x) 在点x0 处可导 , 则 f (x) 在点x0 处连续 ，其逆不真 .。D.课堂小结一、导数的定义二、导数的几何意义三、可导与连续的关系E.布置作业导 函 数 的 计 算方法理 解 左 导 数 和右导数的概念理 解 可 导 与连续的关系建 立 系 统 的知识结构，明确 本 节 的 重点，对重点内容 进 行 复 习与提高。稳 固 所 学 的知识，培养自学能力讲解讲解讲解10mins 8mins 8mins 7mins 2mins 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页