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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第学习必备欢迎下载学时14 次课2 上次课复习：上次我们学习了函数的微分的定义以及初等函数的微分公式与微分法就,把握了微分与导数的关系以及微分形式的不变性；dy f xdxdu v du dv,dCu Cdu,du v vdu udv ,duvdu2udvdx v0,dy y xdx f uxdxvvdy f udu 或 dy y u du本次课题（或教材章节题目）：第三章中值定理与导数应用第一节中值定理教学要求： 1. 懂得中值定理,特殊是拉格朗日中值定理的分析意义和几何意义 ; 2. 会证明中值定理,特殊是学会构造帮助函数证明问题的方法；3
2、. 初步具有应用中值定理论证问题的才能 . 重 点：罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理帮助函数的构造难 点：帮助函数的构造教学手段及教具：以讲授为主,使用电子教案讲授内容准时间安排：罗尔定理2. 4.5.6.10.11 1.12. 15 分钟拉格朗日中值定理25 分钟柯西中值定理25 分钟中值定理的应用举例35 分钟作业： P166课后作业参考资料注：本页为每次课教案首页名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一节 中值定理中值定理1罗尔定理就至少存在一点不妨设有一最如fx满意：（1）在a ,
3、b连续 . （2）在,ab可导 . （3）fafb, a,b, 使f/0证明： 1 假如 fx是常函数就 f x 0定理的结论明显成立2 假如 fx不是常函数就 fx在a b内至少有一个最大值点或最小值点大值点a b于是fflim xfx f0xfflim xfxf0x所以 f x=0. 罗尔定理的几何意义连续曲线弧除端点外到处具有不垂 直于 x 轴的切线,且两个端点纵坐标 相等,就在弧上至少有一点该点处曲a b 线的切线水平；名师归纳总结 例 1 设gxxx12x1,就00有 1 个根 . F/Ff/000；第 2 页,共 37 页在区间（ -1 ,0）内,方程g/x0有 2 个实根；g/x
4、例 2 设fx在0 ,1 可导,且f0f10,证明存在0, 1,使f证： 设Fxxfx在a,b可导,F0F1；存在0, 1使F/0即f/f0. 0, 1,使F/例 3 设fx在0 ,1 可导,且f0f10, 证明存在解: 设Fxexfx,且F0F1由罗尔定理,存在0, 1, 使,即efe/f0,e0 ,f/f2、拉格朗日中值定理b, 使fbfaf/ba. 如满意：在 a,b连续；在（ a,b ）连续,就存在a ,证明引进帮助函数x fxfbfaxba- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 简洁验证函数x适合罗尔定理的条件学习必备欢迎下载a b内可导ab 0x
5、在闭区间 a b 上连续在开区间依据罗尔定理且x f xfbfa即ba可知在开区间 a b内至少有一点使 0f fbfa0由此得bafbfa f ba即fb fa f b a定理证毕拉格朗日中值定理的几何意义连续曲线弧除端点外到处具有不垂直于 x 轴的切线,就在弧上至少有一点该点处曲线的切线平行于弦AB b a 拉格朗日中值公式的其它形式设 x 为区间 a b内一点xx 为这区间内的另一点 x0 或x0或xxx x0应用拉格朗日中值公式得这就是说fxx fx f xxx 0 1假如记 fx为 y就上式又可写为y f xxx 0 1试与微分 d y f xx 比较d yf xx 是函数增量y 的
6、近似表达式而f xxx 是函数增量y 的精确表达式推论：假如在区间I 上f/x0,就fxc. 证在区间 I 上任取两点x1 x2x1x2应用拉格朗日中值定理就得fx2 fx1 f x2 x1 x1 x2由假定f 0所以 fx2 fx1 0即fx2 fx1由于 x1 x2 是 I 上任意两点所以上面的等式说明fx在 I 上的函数值总是相等的fx在区间 I 上是一个常数名师归纳总结 例 4 证明对任意满意x1的 x,都有0arctg1x1arcsinxx4. 第 3 页,共 37 页1x21x1arcsinx证明：设fxarctg211x212 xf/x1111 1x21x1x221fxx1x24
7、11x2011x1x2221x21x2cff4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例5 设x0,证明1xxln1xx学习必备欢迎下载. 证明：设ftln1xxx,就ft在区间 0, x 上满意拉格朗日中值条件,就有fxf0f0, 01.x又由于f00,f11,所以上式即为xxln1x,又由于0x,有1xx,即1xxln1x. 1x3 柯西中值定理假如函数 fx及 Fx在闭区间 a b上连续在开区间 a b内可导且 F x在a b内的每一点处均不为零那么在 a b内至少有一点使等式f b f afF b F a F成立明显假如取 Fx x那么 Fb Fa
8、b a F x 1 因而柯西中值公式就可以写成fb fa f b a a 0xn1解x limlnxx limx n nx1x lim1n0xnnx例 6求x limxnn 为正整数0ex解x limxnx limnxn1x limn n21xn2exexexx limn.x0ne- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 其它类型未定式0、学习必备欢迎下载0 或 0型未定式来运算、0 0、1 、0 都可以转化为1 0 01 , 101 1 0 02 0 0 0 03 y 0 0 ln y 0 ln 0 0 型 04 y 1 , y（解法同 3）n例 7
9、求 limx 0 x ln x n01n解 lim x 0 x nln x lim x 0 lnx n xx lim 0 nx xn 1 xlim 0 n x0例 8 求 lim sec x tan x x2解 lim sec x tan x lim1 sin xlim cos x0x2 x2 cos x x2 sin xx例 9 求 lim xx 0x x ln x 0解 lim x 0 x x lim 0 e e 1 依据例 7洛必达法就是求未定式的一种有效方法 但最好能与其它求极限的方法结合使用 例如能化简时应尽可能先化简 可以应用等价无穷小替代或重要极限时 应尽可能应用 这样可以使运算
10、简捷例 10 求 lim x 0 tanx 2sin xx x2解 lim x 0 tanx 2sin xx xlim x 0 tanx x3 xlim x 0 sec3 x x2 122 sec x tan x 1 2 tan x 1lim x 0 6 x 3 lim x 0 sec xx 3最终 我们指出 本节定理给出的是求未定式的一种方法 当定理条件满意时 所求的极限当然存在（或为）但定理条件不满意时 所求极限却不肯定不存在例 11 求x lim x sinx x解 由于极限x lim x sinx x x lim 1 cos1 x 不存在所以不能用洛必达法就名师归纳总结 - - - -
11、 - - -第 8 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - x limxsinxx lim 1sinx学习必备欢迎下载1xx求极限的方法小结（ 1）单调有界序列必有极限（ 2）用夹逼定理（ 3）用极限运算法就（ 4）用函数的连续性（ 5）用两个重要极限（ 6）无穷小乘有界函数仍是无穷小7 等价无穷小替换（ 8）用洛必达法就补充例题例 11 求极限xlim 0axxbxa0 b0a1bxlnbln aln b lna ba22a解xlim 0axxbxxlim 0axbxxlim 0axlnx 例 12 xlim 0sinxxcosxxlim 0sinxxxcosxxl
12、im 0sinxxxcosx sin3x33xlim 0cosxcosxxsinx1xlim 0sinx13x23x311limcos23x例 13 limtgxlimtgxlim2 cos3xtg3x tg3x3cos2xx2x2x2x23 x2 cos1lim6cos3xsin3 x32cosxsinxx2limsin6xlim6cos6x3sin2x2cos2x11x2x2x2例 14 求极限xlim x lnxaa 0xa解：xlim xlnxaxlimlnxaxlimxaxax 1a2axlimxa1x2x2x1名师归纳总结 例 15 xlimxx第 9 页,共 37 页- - -
13、- - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解：设xlimx1A就 lnA=xlim1学习必备欢迎下载10ln xxlimlnxxlimxxxx1于是11lnxe 0 11lnxxlim 1ln11x1xlim 1xlnx11xlimxxxlimex例 16 xlim 1x11xlim 1xx xlnxx1lnxxxxxlim 1lnx11112注：用洛必达法就有时不能求结果,此时需用以前的方法；例求以下极限名师归纳总结 （1）xlim 0x2sin1= xlim 0x2sin1= xlim 0xsin10第 10 页,共 37 页xxxxsinx（2）xlimexex=x
14、lim1e2x1exex1e2x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第学习必备欢迎下载次课学时上次课复习：上次我们学习了未定式“0 ” 的极限,“0” 的极限,未定式“0” ,“ 1 ” ,“0 0 ” ,“” 的极限 . 中值定理与导数应用第三节泰勒公式本次课题（或教材章节题目）：第三章教学要求：1. 把握泰勒定理,懂得泰勒公式的意义; 的麦克劳林绽开式；2. 熟记函数x e ,sinx,cosx,11x3. 会求函数的麦克劳林绽开式. 重点：泰勒定理麦克劳林绽开式难 点：泰勒定理教学手段及教具：以讲授为主,使用电子教案讲授内容准时间安排：泰勒定理及其
15、证明 麦克劳林绽开式40 分钟 30 分钟30 分钟函数x e ,sinx,cos ,的麦克劳林绽开式课后作业作业： P1772. 5.6. 参考资料注：本页为每次课教案首页名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第三节 泰勒公式一 泰勒公式对于一些较复杂的函数 为了便于争论 往往期望用一些简洁的函数来近似表达 由于用多项式表示的函数 只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算 便能求出它的函数值 因此我们常常用多项式来近似表达函数设函数 fx在含有 x0的开区间内具有直到n 1阶导数现在我们期望做的是
16、找出一个关于 x x0 的 n 次多项式 2 p nx a 0 a 1x x0 a 2x x0 a n x x0 n并给出误差 | f xp n x|的详细表达来近似表达fx要求 p nx与 fx之差是比 x x0 n 高阶的无穷小式我们自然期望p nx与 fx在 x0 的各阶导数 直到 n 1阶导数 相等这样就有 2 p nx a 0 a 1x x0 a 2x x0 a n x x0 np n x a 1 2 a 2x x0 na n x x0 n 1 p n x 2 a 2 3 2a 3x x0 n n 1a n x x0 n 2p nx 3.a 34 3 2a 4x x0 n n 1n
17、2a n x x0 n 3p n nx n. a n于是pn x0 a 0p n x0 a 1p nx0 2. a 2 p nx 3. a 3p n nx n. a n按要求有fx0 p nx0 a0 f x0 p n x0 a 1fx0 p nx0 2. a 2fx0 p nx0 3.a 3, fnx0 p n nx0 n. a n从而有a 0 fx0 a 1 f x0 a 21 .2fx 0f kx 0a31f x0a n1fn x 0.3n .a k1 k .k 0 1 2n于是就有名师归纳总结 - - - - - - -pnx fx0 f x0 x x01f0xx x 0 2 1fnx
18、0 x x0n.2n .泰勒中值定理： 假如函数 fx在含有 x0的某个开区间 a b内具有直到 n 1的阶导数就当 x 在ab内时fx可以表示为 x x0 的一个 n 次多项式与一个余项Rnx之和f x fx 0fx 0xx 01 .2fx 0xx 021 n .fnx 0xx 0nR nx 其中R n x f n1 xx 0 n1介于 x0与 x 之间 n1 .这里多项式p n x fx 0fx 0xx 01 .2fx 0xx 0 21 n .fnx 0xx 0n称为函数fx第 12 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 按x x0 的幂绽开的n 次近似多项式学
19、习必备欢迎下载公式fx f x 0fx 0xx 01f x0xx 0 21fn x 0xx 0 nR nx x 0 n1 介于 x 与 x0.2n .称为 fx按x x0 的幂绽开的n 阶泰勒公式而 R nx的表达式R n x f n1 x n1 .之间 称为拉格朗日型余项注：当 n 0 时泰勒公式变成拉格朗日中值公式x0M就有估量式fx fx0 f x x0 在 x0 与 x 之间 因此泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广假如对于某个固定的n当 x 在区间 a b内变动时 |fn 1x|总不超过一个常数|R nx |fn1xx 0n1|M|xx 0| n1及lim x x 0R nxn0n1
20、 .n1 .xx 0n可见当 xx0时误差 |R nx|是比 x x0 n 高阶的无穷小即R n x ox x0 n在不需要余项的精确表达式时n 阶泰勒公式也可写成fx f x 0fx 0xx 01f x0xx 0 21fn x 0xx 0no x.2n . 当 x00 时的泰勒公式称为麦克劳林公式就是fx f 0f0xf0x2f n 0xnR nx .2n .或fx f 0f0xf0x2fn 0xno xn.2n .其中R nx f n1 x n1 n1 .由此得近似公式fx f 0 f 0 xf 0x2f n 0 x n.2n .误差估量式变为|R nx |M|x| n1 n1 .二 .
21、常见函数的泰勒展式 例 1 写出函数 fx e x 的 n 阶麦克劳林公式解由于fx f x fxf nx ex所以 f0 f 0 f0f n0 10于是e x1x1x 21x nexxn1.2n . n1 .并有e x1x1x 21 n .x n.2这时所产性的误差为名师归纳总结 |R nx| |exxn 1|ex| x |n 1第 13 页,共 37 页n1 . n1 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 x 1 时可得 e的近似式ex11学习必备1欢迎下载12 .n .其误差为|Rn |ne n31 .1 .例 2 求 fx sin x 的 n
22、 阶麦克劳林公式解由于x x 5f x cos xfxsinx fxcos xf 4 xsinxfnx sinxn2f 0 0 f 0 1 f0 0 f01 f 40 0于是sinxx1x 31x51m1x2m1R 2m .3.5 2 m1 .当 m 1、2、3 时有近似公式1sin x xsinxx1x 3sinxx1x3.3.3.5例 3 求 fx sin x 的 n 阶麦克劳林公式解由于x x 5f x cos xfxsinx fxcos xf 4 xsinxfnx sinxn2f 0 0 f 0 1 f0 0 f01 f 40 0于是sinxx1x 31x51m1x2m1R 2m .3.5 2 m1 .当 m 1、2、3 时有近似公式1sin x xsinxx1x 3sinxx1x3.3.3.5例 4. 求 fx cos x 的 n 阶麦克劳林公式名师归纳总结 解由于fx1cosx fx sin x2R 2m1x. 第 14 页,共 37 页f x -sin xf 4xcosxfnxcosxnf0 0 f 40 1f 0 1, f 0 0 f0于是cosx11x21x41x61mx2m2 .4 .6 .2 m.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 第学习必备欢迎下载