《2022年高等数学电子教案12 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学电子教案12 .pdf（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组第十二章无穷级数教学目的：1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。2、了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。3、掌握几何级数和p-级数的收敛性。4、掌握正项级数的比较审敛法、比值审敛法和根值审敛法。5、掌握交错级数的莱布尼茨定理，会估计交错级数的截断误差。6、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与条件收敛的关系。7、 理解函数项级数的收敛性、收敛域及和函数的概念，了解函数项级数的一致收敛性概念，了解函数项级数和函数的性质。8、掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法，了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。9、会
2、利用幂级数的性质求和10、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。11、会利用基本初等函数的麦克劳林展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。12、理解函数展开为傅里叶级数的狄利克雷条件。13、掌握将定义在区间( ，)上的函数展开为傅里叶级数的方法。14、会将定义在区间0， 上的函数展开为正弦或余弦级数。15、会将定义在区间(l， l)上的函数展开为傅里叶级数。教学重点：1、级 数 收 敛 的 定 义 及 条 件 2 、判 定 正 项 级 数 的 收 敛 与 发 散 3 、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法； 4 、泰 勒 级 数 5 、函 数 展 开 成 傅 立 叶 级 数 。教学难点 ：
3、1、 级 数 收 敛 的 定 义 及 条 件2、 判 定 正 项 级 数 的 收 敛 与 发 散3、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组4、 泰 勒 级 数 ；5、 函 数 展 开 成 傅 立 叶 级 数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组 12 1 常数项级数的概念和
4、性质一、常数项级数的概念常数项无穷级数一般地，给定一个数列u1u2u3un则由这数列构成的表达式u1 u2u3un 叫做常数项)无穷级数简称常数项)级数记为1nnu即3211nnnuuuuu其中第 n 项 un叫做级数的一般项级数的部分和作级数1nnu的前 n 项和nniinuuuuus3211称为级数1nnu的部分和级数敛散性定义如果级数1nnu的部分和数列ns有极限 s即ssnnlim则称无穷级数1nnu收敛这时极限s叫做这级数的和并写成3211nnnuuuuus精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 44 页高等数学教案第
5、十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组如果ns没有极限则称无穷级数1nnu发散余项当级数1nnu收敛时其部分和sn是级数1nnu的和 s 的近似值它们之间的差值rns snun 1un 2叫做级数1nnu的余项例 1 讨论等比级数(几何级数 ) 20nnnaqaqaqaaq的敛散性其中 a 0 q 叫做级数的公比解：如果 q 1则部分和qaqqaqaqaaqaqaqasnnnn11112当 |q| 1 时因为qasnn1lim所以此时级数nnaq0收敛其和为qa1当 |q|1 时因为nnslim所以此时级数nnaq0发散如果 |q| 1则当 q 1 时 snna因此级数nnaq0
6、发散当 q1 时级数nnaq0成为a a a a时 |q| 1 时因为 sn随着 n 为奇数或偶数而等于a 或零精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组所以 sn的极限不存在从而这时级数nnaq0也发散综上所述如果 |q| 1则级数nnaq0收敛其和为qa1如果 |q| 1则级数nnaq0发散仅当 |q| 1 时几何级数nnaq0a 0)收敛其和为qa1例 2 证明级数1 3 5 2n-1是发散的证 此级数的前n 项部分和为135(21)(1)nsnn n
7、显然nnslim因此所给级数是发散的例 3 判别无穷级数)1(1431321211nn的收敛性解 由于111) 1(1nnnnun因此)1(1431321211nnsn111)111()3121()211 (nnn从而1)111 (limlimnsnnn所以这级数收敛它的和是1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组提示111) 1(1nnnnun二、收敛级数的基本性质性质 1 如果级数1nnu收敛于和s 则它的各项同乘以一个常数k 所得的级数1nnku也
8、收敛且其和为ks证明：设1nnu与1nnku的部分和分别为sn与n则)(limlim21nnnnkukukuksskuuuknnnnlim)(lim21这说明级数1nnku收敛且和为 ks说明：级数的每一项同乘以一个不为零常数后，它的收敛性不会改变。性质 2 如果级数1nnu、1nnv分别收敛于和s、则级数)(1nnnvu也收敛且其和为s证明：如果1nnu、1nnv、)(1nnnvu的部分和分别为sn、n、n则)()()(limlim2211nnnnnvuvuvu)()(lim2121nnnvvvuuussnnn)(lim说明：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。性质 3 在级数中去掉、加上或
9、改变有限项不会改变级数的收敛性比方级数) 1(1431321211nn是收敛的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组加一项后级数111198951 22 33 4(1)n n也是收敛的减一项后级数) 1(1541431nn也是收敛的性质 4 如果级数1nnu收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛且其和不变注意如果加括号后所成的级数收敛则不能断定去括号后原来的级数也收敛例如级数1 1)+1 1) +收敛于零但级数 1 1 1 1却是发散的推论如果加
10、括号后所成的级数发散则原来级数也发散级数收敛的必要条件性质 5 如果1nnu收敛则它的一般项un趋于零即0lim0nnu证 ： 设级数1nnu的部分和为sn且ssnnlim则0limlim)(limlim110ssssssunnnnnnnnn注意级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件例如调和级数13121111nnn尽管它的一般项1lim0nn，但它是发散的因为假假设级数11nn收敛且其和为s sn是它的部分和显然有ssnnlim及ssnn2lim于是0)(lim2nnnss但另一方面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共
11、44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组212121212121112nnnnnnssnn故0)(lim2nnnss矛盾这矛盾说明级数11nn必定发散 12 2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法定义：各项都是正数或零的级数称为正项级数，称为正项级数。正项级数是一类非常重要的级数，关于正项级数有列重要结论：定理 1 正项级数1nnu收敛的充分必要条件它的部分和数列sn有界证设级数u1u2un是一个正项级数。其部分和为sn 显然 sn是一个单调增加数列，假设部分和数列sn有界则根据单调有界数列必有极限的准则，可知级数un收敛；反之假设级数un收敛，则部分和
12、数列sn有极限，根据有极限的数列是有界数列的性质可知sn有界定理 2 (比较审敛法 ) 设1nnu和1nnv都是正项级数且 unvn(n 1 2 )假设级数1nnv收敛则级数1nnu收敛反之假设级数1nnu发散则级数1nnv发散证设级数1nnv收敛于和则级数1nnu的部分和snu1u2unv1v2vn (n 1, 2, )即部分和数列 sn 有界由定理 1 知级数1nnu收敛反之设级数1nnu发散则级数1nnv必发散精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组
13、因为假设级数1nnv收敛由上已证明的结论将有级数1nnu也收敛与假设矛盾推论设1nnu和1nnv都是正项级数如果级数1nnv收敛且存在自然数N使当n N 时有unkvn(k 0)成立则级数1nnu收敛如果级数1nnv发散且当 n N 时有 unkvn(k 0)成立则级数1nnu发散例 1 讨论 p 级数1413121111pppppnnn的收敛性其中常数p 0解 设 p 1这时nnp11而调和级数11nn发散由比较审敛法知当 p 1 时级数pnn11发散设 p 1此时有1) 1(1111111111ppnnpnnppnnpdxxdxnn(n 2, 3, )对于级数1) 1(1112ppnnn其
14、部分和111111) 1(11) 1(113121211 ppppppnnnns因为1) 1(11 limlim1pnnnns所以级数1) 1(1112ppnnn收敛从而根据比较审敛法的推论1 可知级数pnn11当精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组p 1 时收敛综上所述p 级数pnn11当 p 1 时收敛当 p 1 时发散提示级数1) 1(1112ppnnn的部分和为111111) 1(11) 1(113121211 ppppppnnnns因为1)
15、1(11 limlim1pnnnns所以级数1) 1(1112ppnnn收敛p 级数的收敛性p 级数pnn11当 p 1时收敛当 p 1 时发散例 2 证明级数1) 1(1nnn是发散的证 因为11) 1(1) 1(12nnnn而级数113121111nnn是发散的根据比较审敛法可知所给级数也是发散的定理 3 (比较审敛法的极限形式) 设1nnu和1nnv都是正项级数(1)如果lvunnnlim(0 l)且级数1nnv收敛则级数1nnu收敛精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学
16、数理学院高等数学课程建设组(2)如果nnnnnnvulvulim0lim或且级数1nnv发散则级数1nnu发散证明由极限的定义可知对l21存在自然数N当 n N 时有不等式llvullnn2121即nnnlvulv2321再根据比较审敛法的推论1即得所要证的结论例 3 判别级数11tannn的收敛性解 因为1tanlim11nnn而级数11nn发散根据比较审敛法的极限形式级数11tannn发散例 4 判别级数11(21)(21)nnn的收敛性解 因为211(21)(21)lim14nnnn而级数211nn收敛根据比较审敛法的极限形式级数11(21)(21)nnn收敛定理 4 (比值审敛法达朗贝
17、尔判别法) 假设正项级数1nnu的后项与前项之比值的极限等于nnnuu1lim精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组则当1 时级数收敛当1(或nnnuu1lim)时级数发散当1 时级数可能收敛也可能发散例 5 证明级数) 1(32113211211111n是收敛的解 因为101lim321)1(321limlim1nnnuunnnnn根据比值审敛法可知所给级数收敛例 6 判别级数10!10321102110132nn的收敛性解 因为101lim!101
18、0)!1(limlim11nnnuunnnnnnn根据比值审敛法可知所给级数发散例 7 判别级数112(21)nnn的收敛性解12(21)limlim1(21) (22)nnnnunnunn这时1比值审敛法失效必须用其它方法来判别级数的收敛性因为211(21) 2nnn而级数211nn收敛因此由比较审敛法可知所给级数收敛定理 5 (根值审敛法柯西判别法 ) 设1nnu是正项级数如果它的一般项un的 n 次根的极限等于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设
19、组nnnulim则当1 时级数收敛当1(或nnnulim)时级数发散当1 时级数可能收敛也可能发散例 8 证明级数13121132nn是收敛的并估计以级数的部分和sn近似代替和s 所产生的误差解 因为01lim1limlimnnunnnnnnn所以根据根值审敛法可知所给级数收敛以这级数的部分和sn近似代替和s 所产生的误差为) 3(1)2(1) 1(1|321nnnnnnnr) 1(1) 1(1) 1(1321nnnnnnnnn)1(1例 9 判定级数12) 1(2nnn的收敛性解 因为21) 1(221limlimnnnnnnu所以根据根值审敛法知所给级数收敛定理 6 (极限审敛法 ) 设1
20、nnu为正项级数(1)如果)lim(0limnnnnnulnu或则级数1nnu发散(2)如果 p 1而)0(limllunnpn则级数1nnu收敛例 7 判定级数12)11ln(nn的收敛性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组解 因为)(1)11ln(22nnn故11lim)11ln(limlim22222nnnnunnnnn根据极限审敛法知所给级数收敛例 8 判定级数)cos1 (11nnn的收敛性解 因为222232321)(211lim)cos
21、1(1limlimnnnnnnnunnnnn根据极限审敛法知所给级数收敛二、交错级数及其审敛法交错级数交错级数是这样的级数它的各项是正负交错的交错级数的一般形式为11)1(nnnu或1( 1)nnnu其中0nu例如1)1(11nnn是交错级数但cos1) 1(11nnnn不是交错级数定理 7莱布尼茨定理如果交错级数11) 1(nnnu满足条件(1)unun 1 (n 1 2 3)(2)0limnnu则级数收敛且其和 s u1其余项 rn的绝对值 |rn| un1证明设前 2n 项部分和为s2n由 s2n(u1u2) (u3u4)(u2n 1u2n)及s2nu1(u2u3) (u4u5)(u2n
22、 2u2n 1) u2n看出数列 s2n单调增加且有界(s2nu1)所以收敛设 s2ns(n)则也有s2n 1s2nu2n 1s(n)所以 sns(n)从而级数是收敛的且snu1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组因为|rn| un 1un 2也是收敛的交错级数所以 |rn| un 1例 9 证明级数1)1(11nnn收敛并估计和及余项证这是一个交错级数因为此级数满足(1)1111nnunnu(n 1, 2,)(2)01limlimnunnn由莱布尼
23、茨定理级数是收敛的且其和 s u11余项11|1nurnn三、绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛假设级数1|nnu收敛则称级数1nnu绝对收敛假设级数1nnu收敛而级数1|nnu发散则称级1nnu条件收敛例如级数1211)1(nnn是绝对收敛的而级数111)1(nnn是条件收敛的定理 8 如果级数1nnu绝对收敛则级数1nnu必定收敛证明略注意如果级数1|nnu发散我们不能断定级数1nnu也发散但是如果我们用比值法或根值法判定级数1|nnu发散则我们可以断定级数1nnu必定发散这是因为此时 |un|不趋向于零从而 un也不趋向于零因此级数1nnu也是发散的精选学习资料 - - - - - -
24、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组例 11 判别级数41sinnnan的收敛性解 因为 |44sin1|nann而级数411nn是收敛的所以级数41sin|nnan也收敛从而级数41sinnnan绝对收敛例 12 判别级数12)11 (21) 1(nnnnn的收敛性解由2)11 (21|nnnnu有121)11 (lim21|limenunnnnn可知0limnnu因此级数12)11 (21)1(nnnnn发散 12 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数给定一个定义在区间I 上的
25、函数列：u1(x) ， u2(x) ，u3(x)， un(x) 由这函数列构成的表达式u1(x) u2(x) u3(x)un(x)称为定义在区间I 上的 (函数项 )级数记为1)(nnxu对于区间I 内的一定点x0假设常数项级数10)(nnxu收敛则称点 x0是级数1)(nnxu的收敛点假设常数项级数10)(nnxu发散则称精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组点 x0是级数1)(nnxu的发散点。函数项级数1)(nnxu的所有收敛点的全体称为它的收敛
26、域所有发散点的全体称为它的发散域在收敛域上函数项级数1)(nnxu的和是 x 的函数 s(x)s(x)称为函数项级数1)(nnxu的和函数并写成1)()(nnxuxs un(x)是1)(nnxu的简便记法以下不再重述在收敛域上函数项级数un(x)的和是 x 的函数 s(x)s(x)称为函数项级数un(x)的和函数并写成 s(x) un(x)这函数的定义就是级数的收敛域。函数项级数 un(x)的前 n 项的部分和记作sn(x)即sn(x) u1(x) u2(x) u3(x)un(x)在收敛域上有)()(limxsxsnn或 sn(x)s(x)(n) 函数项级数1)(nnxu的和函数s(x)与部分
27、和sn(x)的差rn(x) s(x) sn(x) 叫做函数项级数1)(nnxu的余项函数项级数un(x)的余项记为rn(x)它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差rn(x) s(x) sn(x)在收敛域上有0)(limxrnn二、幂级数及其收敛性幂级数函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数这种形式的级数称为幂级数它的形式是a0a1x a2x2anxn其中常数a0a1a2an叫做幂级数的系数例如一下级数1 x x2x3xn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技
28、大学数理学院高等数学课程建设组!1! 2112nxnxx注幂级数的一般形式是a0a1(x x0) a2(x x0)2an(x x0)n经变换 t x x0就得 a0a1t a2t2antn幂级数1 x x2x3xn可以看成是公比为x 的几何级数当|x| 1 时它是收敛的当|x| 1 时它是发散的因此它的收敛域为( 1 1)在收敛域内有11132nxxxxx由此例可得：定理 1 (阿贝尔定理 ) 如果级数0nnnxa当 x x0 (x00)时收敛则适合不等式|x| |x0|的一切 x 使这幂级数绝对收敛反之如果级数0nnnxa当 x x0时发散则适合不等式 |x| |x0|的一切 x 使这幂级数
29、发散证先设 x0是幂级数0nnnxa的收敛点即级数0nnnxa收敛根据级数收敛的必要条件有0lim0nnnxa于是存在一个常数M使| anx0n | M(n 0, 1, 2, )这样级数0nnnxa的的一般项的绝对值nnnnnnnnnnxxMxxxaxxxaxa| |00000因为当 |x| |x0|时等比级数nnxxM|00收敛所以级数0|nnnxa收敛也就是级数0nnnxa绝对收敛定理的第二部分可用反证法证明倘假设幂级数当x x0时发散而有一点x1适合 |x1|x0|使精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 44 页高等数
30、学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组级数收敛则根据本定理的第一部分级数当 x x0时应收敛这与所设矛盾定理得证推论如果级数0nnnxa不是仅在点x 0 一点收敛也不是在整个数轴上都收敛则必有一个完全确定的正数R 存在使得当 |x| R 时幂级数绝对收敛当 |x| R 时幂级数发散当 x R 与 xR 时幂级数可能收敛也可能发散收敛半径与收敛区间正数R通常叫做幂级数0nnnxa的收敛半径开区间 ( RR)叫做幂级数0nnnxa的收敛区间再由幂级数在xR 处的收敛性就可以决定它的收敛域幂级数0nnnxa的收敛域是 ( R, R)(或 R, R)、( R, R、 R, R之一
31、规定假设幂级数0nnnxa只在 x 0 收敛则规定收敛半径R 0 假设幂级数0nnnxa对一切x 都收敛则规定收敛半径R这时收敛域为(, )关于幂级数的收敛半径求法，有以下定理：定理 2 如果|lim1nnnaa其中 an、an 1是幂级数0nnnxa的相邻两项的系数则这幂级数的收敛半径0010R简要证明|lim|lim111xxaaxaxannnnnnnn(1)如果 0则只当|x| 1 时幂级数收敛故1R(2)如果0则幂级数总是收敛的故 R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大
32、学数理学院高等数学课程建设组(3)如果则只当 x 0 时幂级数收敛故 R 0例 1 求幂级数11)1(nnnnx的收敛半径与收敛域解因为1111lim|lim1nnaannnn所以收敛半径为11R当 x 1 时幂级数成为111) 1(nnn是收敛的当 x1 时幂级数成为1)1(nn是发散的因此收敛域为 ( 1, 1例 2 求幂级数0!1nnxn!1! 31! 21132nxnxxx的收敛域解因为0)!1(!lim!1)!1(1lim|lim1nnnnaannnnn所以收敛半径为R从而收敛域为 (, )例 3 求幂级数0!nnxn的收敛半径解 因为!)!1(lim|lim1nnaannnn所以收
33、敛半径为R 0即级数仅在x 0 处收敛例 4 求幂级数022!)()!2(nnxnn的收敛半径解 级数缺少奇次幂的项定理 2 不能应用可根据比值审敛法来求收敛半径精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组幂级数的一般项记为nnxnnxu22) !()!2()(因为21|4|)()(|limxxuxunnn当 4|x|21 即21|x时级数收敛当 4|x|21 即21|x时级数发散所以收敛半径为21R提示2222) 1(221) 1() 12)(22() !
34、()!2()!1()!1(2)()(xnnnxnnxnnxuxunnnn例 5 求幂级数12) 1(nnnnx的收敛域解 令 t x 1上述级数变为12nnnnt因为21) 1(22|lim11nnaannnnn所以收敛半径R 2当 t 2 时级数成为11nn此级数发散当 t2 时级数成为1) 1(nn此级数收敛因此级数12nnnnt的收敛域为2 t 2因为2 x 1 2即1 x 3所以原级数的收敛域为 1, 3)三、幂级数的运算设幂级数 anxn及 bnxn分别在区间 ( R, R)及( R , R )内收敛则在 ( R, R)与( R , R )中较小的区间内有加法anxnbnxn(anb
35、n)xn减法 anxnbnxn(anbn)xn乘法)()(00nnnnnnxbxaa0b0(a0b1a1b0)x (a0b2a1b1a2b0)x2(a0bna1bn 1anb0)xn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组除法：000nnnnnnnnna xc xb x这里假定00b。为了决定系数nc，可以将0nnnb x与0nnnc x相乘，然后比较与0nnna x的同次幂项系数得出。关于幂级数，有以下的重要性质性质 1 幂级数0nnnxa的和函数s(
36、x)在其收敛域I 上连续如果幂级数在x R (或 xR)也收敛则和函数s(x)在( R, R(或 R, R)连续性质 2 幂级数0nnnxa的和函数s(x)在其收敛域I 上可积并且有逐项积分公式01000001)()(nnnnxnnxnnnxxnadxxadxxadxxs(xI )逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径性质 3 幂级数0nnnxa的和函数s(x)在其收敛区间( R R)内可导并且有逐项求导公式1100)()()(nnnnnnnnnxnaxaxaxs(|x| R)逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径例 6 求幂级数011nnxn的和函数解 求得幂级数的收敛域
37、为 1 1)设和函数为s(x)即011)(nnxnxsx 1 1)显然 s(0) 1在0111)(nnxnxxs的两边求导得xxxnxxsnnnn11)11( )(001对上式从0 到 x 积分得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组)1ln(11)(0 xdxxxxsx于是当 x0 时有)1ln(1)(xxxs从而011|0)1ln(1)(xxxxxs因为xnnnndxxnxnxxs001011111)()1ln(11000 xdxxdxxxxnn所
38、以当 x 0 时有)1ln(1)(xxxs从而011|0)1ln(1)(xxxxxs提示应用公式)0()()(0FxFdxxFx即xdxxFFxF0)()0()(11132nxxxxx例 7 求级数01) 1(nnn的和解考虑幂级数011nnxn此级数在 1, 1)上收敛设其和函数为 s(x)则01) 1() 1(nnns在例 6 中已得到xs(x) ln(1 x)于是s( 1) ln221ln) 1( s即21ln1) 1(0nnn 12 4 函数展开成幂级数一、泰勒级数问题给定函数f(x)要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”就是说是否能找到这样一个幂级数它在某区间内收敛且其和恰好就是
39、给定的函数f(x)如果能找到这样精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组的幂级数我们就说函数 f(x)在该区间内能展开成幂级数或简单地说函数f(x)能展开成幂级数而该级数在收敛区间内就表达了函数f(x)以前学过泰勒多项式如果 f(x)在点 x0的某邻域内具有各阶导数则在该邻域内f(x)近似等于)(! 2)()()()(200000 xxxfxxxfxfxf)()(!)(00)(xRxxnxfnnn其中10) 1()()!1()()(nnnxxnfxR(
40、介于 x 与 x0之间 )泰勒级数如果 f(x)在点 x0的某邻域内具有各阶导数f (x) f (x)f (n)(x)则当 n时 f(x)在点 x0的泰勒多项式nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(! 2)()()()(00)(200000成为幂级数)(! 3)()(!2)()()(300200000 xxxfxxxfxxxfxf)(!)(00)(nnxxnxf这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数显然当 x x0时 f(x)的泰勒级数收敛于f(x0)但是除了 x x0外f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛它是否一定收敛于f(x)? 对此，有以下定理：定理设函数 f(x)在点
41、x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当 n0 时的极限为零即)(0)(lim0 xUxxRnn证明先证必要性设 f(x)在 U(x0)内能展开为泰勒级数即)(!)()(! 2)()()()(00)(200000nnxxnxfxxxfxxxfxfxf又设 sn 1(x)是 f(x)的泰勒级数的前n 1 项的和则在 U(x0)内 sn 1(x) f(x)(n)而 f(x)的 n 阶泰勒公式可写成f(x) sn 1(x) Rn(x)于是 Rn(x) f(x) sn 1(x)0(n)再证充分性设 Rn(x)0(
42、n)对一切 x U(x0)成立因为 f(x)的 n 阶泰勒公式可写成f(x) sn 1(x) Rn(x)于是 sn 1(x) f(x) Rn(x)f(x)即 f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛并且收敛于f(x)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组在泰勒级数中取x00得!)0(! 2)0()0()0()(2nnxnfxfxff此级数称为f(x)的麦克劳林级数展开式的唯一性如果 f(x)能展开成 x 的幂级数那么这种展式是唯一的它一定与 f(x)的麦克
43、劳林级数一致这是因为如果 f(x)在点 x00 的某邻域 ( R R)内能展开成x 的幂级数即f(x) a0a1x a2x2anxn那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导有f (x) a12a2x 3a3x2nanxn1f(x) 2!a23 2a3xn (n 1)anxn2 f(x) 3!a3n (n 1)(n 2)anxn3 f(n)(x) n!an(n 1)n(n 1) 2an 1x于是得a0f(0) a1f (0)! 2)0(2fa!)0()(nfann注意如果 f(x)能展开成x 的幂级数那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数但是反过来如果 f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内
44、收敛它却不一定收敛于f(x)因此如果 f(x)在点 x00 处具有各阶导数则 f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来但这个级数是否在某个区间内收敛以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察二、函数展开成幂级数展开步骤第一步求出 f (x)的各阶导数f (x) f (x)f(n)(x)第二步求函数及其各阶导数在x 0 处的值f(0) f (0) f (0)f(n)( 0)第三步写出幂级数!)0(! 2)0()0()0()(2nnxnfxfxff并求出收敛半径R精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青
45、岛科技大学数理学院高等数学课程建设组第四步考察在区间 ( R R)内时是否Rn(x)0(n)1) 1()!1()(lim)(limnnnnnxnfxR是否为零如果 Rn(x)0(n)则 f(x)在( R R)内有展开式!)0(! 2)0()0()0()()(2nnxnfxfxffxf( R x R)例 1 将函数 f(x) ex展开成 x 的幂级数解 所给函数的各阶导数为f (n)(x) ex(n 1 2)因此 f (n)(0) 1(n 1 2)于是得级数!1! 2112nxnxx它的收敛半径R对于任何有限的数x、 ( 介于 0 与 x 之间 )有)!1(|)!1(| )(|1|1nxexne
46、xRnxnn而0)!1(|lim1nxnn所以0| )(|limxRnn从而有展开式)(!1! 2112xxnxxenx例 2 将函数 f(x) sin x 展开成 x 的幂级数解 因为)2sin()()(nxxfn(n 1 2)所以 f (n)(0)顺序循环地取0 1 01 (n 0 1 2 3)于是得级数)!12() 1(! 5! 312153nxxxxnn它的收敛半径为R对于任何有限的数x、 ( 介于 0 与 x 之间 )有)!1(|)!1(2) 1(sin| )(|11nxxnnxRnnn0 (n)因此得展开式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
47、- - - -第 26 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组)()!12()1(! 5! 3sin12153xnxxxxxnn)(!1! 2112xxnxxenx例 3 将函数 f(x) (1x)m展开成 x 的幂级数其中 m 为任意常数解 f(x)的各阶导数为f (x) m(1 x)m1f(x) m(m 1)(1 x)m2f(n)(x) m(m 1)(m 2)(m n 1)(1 x)m n所以f(0) 1 f (0) m f(0) m(m 1) f(n)(0) m(m 1)(m 2)(m n 1)于是得幂级数!)1() 1(! 2) 1(12nx
48、nnmmmxmmmx可以证明) 11(!) 1()1(! 2)1(1)1 (2xxnnmmmxmmmxxnm间接展开法例 4 将函数 f(x) cos x 展开成 x 的幂级数解已知)!12()1(! 5! 3sin12153nxxxxxnn(x)对上式两边求导得)()!2()1(! 4! 21cos242xnxxxxnn例 5 将函数211)(xxf展开成 x 的幂级数解 因为) 11(1112xxxxxn把 x 换成x2得) 1(1112422nnxxxx( 1 x 1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 44 页高等
49、数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组注收敛半径确实定由 1x21 得 1 x 1例 6 将函数 f(x) ln(1 x) 展开成 x的幂级数分析因为xxf11)(而x11是收敛的等比级数0) 1(nnnx( 1 x 1)的和函数) 1(11132nnxxxxx所以将上式从0到 x 逐项积分得) 11(1)1(432)1ln(1432xnxxxxxxnn解f(x) ln(1x)xxdxxdxx0011 )1ln(01001) 1()1(nnnxnnnnxdxx( 1 x 1)上述展开式对x 1 也成立这是因为上式右端的幂级数当x 1 时收敛而 ln(1 x)在 x 1
50、处有定义且连续例 7 将函数 f(x) sin x 展开成)4(x的幂级数解因为)4sin()4cos(22)4(4sinsinxxxx并且有)()4(! 41)4(! 211)4cos(42xxxx)()4(! 51)4(! 31)4()4sin(53xxxxx所以)()4(! 31)4(! 21)4(122sin32xxxxx例 8 将函数341)(2xxxf展开成 (x 1)的幂级数解 因为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 44 页高等数学教案第十二章无穷级数青岛科技大学数理学院高等数学课程建设组)411 (81)