《竞赛讲座-类比、归纳、猜想.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《竞赛讲座-类比、归纳、猜想.docx（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -竞赛专题讲座类比、归纳、猜想数学解题与数学发觉一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相像的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相像的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，仍须经过严格的规律论证运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：可见，运用类比法的关键是查找一个合适的类比对象按
2、查找类比对象的角度不同，类比法常分为以下三个类型（ 1）降维类比将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比【例 1】如图，过四周体 V-ABC的底面上任一点 O分别作 OA1 VA，OB1 VB，OC1 VC，A1， B1， C1 分别是所作直线与侧面交点求证：+为定值分析 考虑平面上的类似命题：“过 ABC（底）边 AB 上任一点 O分别作 OA1AC，OB1BC，分别交 BC、AC于 A1、B1，求证+为定值”这一命题利用相像 三角形性质很简洁推出其为定值1另外，过 A、O分别作 BC垂线，过 B、O分别作AC垂线，就用面积法也不难证明定值为 1于是类比到空间
3、围形，也可用两种方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -证明其定值为 1证明：如图，设平面OA1 VABC M，平面 OB1 VBAC N，平面 OC1 VCAB=L，就有MOA1 MAV，NOB1 NBV， LOC1 LCV得+=+。在底面 ABC中，由于 AM、BN、CL交于一点 O，用面积法易证得：+=1。+=1。【例 2】以棱长为 1
4、的正四周体的各棱为直径作球，S 是所作六个球的交集证明S中没有一对点的距离大于【分析】考虑平面上的类比命题： “边长为 1 的正三角形， 以各边为直径作圆， S是所作三个圆的交集”，通过探究 S的类似性质， 以寻求此题的论证思路如图， 易知 S包含于以正三角形重心为圆心，以为半径的圆内因此S内任意两点的距离不大于以此方法即可获得解此题的思路证明：如图，正四周体ABCD中， M、 N 分别为 BC、AD的中点， G为 BCD的中心，MNAG O明显 O是正四周体 ABCD的中心易知 OG=AG=，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - -
5、- -第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -并且可以推得以O为球心、 OG为半径的球内任意两点间的距离不大于，其球 O必包含 S现证明如下依据对称性，不妨考察空间区域四周体OMCG设 P 为四周体 OMCG内任一点，且P不在球 O内，现证 P 亦不在 S 内如球 O交 OC于 T 点。TON中，ON=，OT=，cosTON=cos - TOM=-。由余弦定理：222TN=ON+OT+2ONOT=， TN=。又在 RtAGD中， N 是 AD的中点，
6、GN=。由 GN= NT， OG OT， ON=ON，得 GON TON。 TON GON，且均为钝角可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是明显在 GOC内，不属于球O的任何点 P，均有 PON P 点在 N 为球心， AD为直径的球外， P 点不属于区域 STON，即有 PNTN= ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由此可见，球O包含六个球的交集S，即 S 中不存在两点，使其距离大于（ 2）结构类比某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观看，凭借结构上的相像性等查找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决【例 3】任给 7 个实数 xk
7、（k=1，2，, ， 7）证明其中有两个数xi ， xj ，满意不等式 0【分析】如任给7 个实数中有某两个相等，结论明显成立如7 个实数互不相等，就难以下手但认真观看可发觉：与两角差的正切公式在结构上极为相像，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为类比问题作代换：xk=tg k（ kl ，2，, ，
8、 7），证明必存在i ，j ，满意不等式0tg i - j 证明： 令 xk=tg k（k l ， 2，, ， 7）， k（ -，），就原命题转化为：证明存在两个实数 i ， j （ -，），满意 0tg i - j 由抽屉原就知， k 中必有 4 个在0 ，）中或在（-，0）中，不妨设有 4 个在0 ，）中留意到tg0 0，tg=，而在0 ，）内， tgx 是增函数，故只需证明存在 i ，j ，使 0i - j j ，就 0 i - j ，故 0tg i - j 这样，与相应的xi =tg i 、xj =tg j ，便有 0（ 3）简化类比简化类比， 就是将原命题类比到比原命题简洁的类比命题
9、，通过类比命题解决思路和方法的启示，寻求原命题的解决思路与方法比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特别问题等【例 4】已知 xi 0（ i 1， 2，, ， n），且 xl +x2+,+xn=1。求证： 1+,+【分析】我们可先把它类比为一简洁的类比题：“已知 xl 0，x2 0，且 xl +x2 =1，求证 1+”本类比题的证明思路为：2xl +x2 l ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精
10、品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2021，就 1xl +x2+22，即 1+ 2， 1+这一证明过程中用到了基本不等式和配方法这正是要查找的证明原命题的思路和方法证明：由基本不等式有 02 xi +xj ，就02n -1 x l +x2+,+x n=n-121xl +x2+,+x n +2n，即 1 + +,+ n1 + +,+ 所谓归纳，是指通过对特例的分析来引出普遍结论的一种推理形式它由推理的前提和结论两部分构成：前提是如干已知的个别事实，是个别或特别的判定、陈述，结论是从前提中通过推理而获得的猜想，是普遍性的陈述、判定其思维模式是：
11、设 Mi （i 1，2，, ， n）是要讨论对象M的特例或子集，如Mi （i 1，2，, ， n）具有性质 P，就由此猜想M也可能具有性质P假如 M，这时的归纳法称为完全归纳法由于它穷尽了被讨论对象的一切特例，因而结论是正确牢靠的完全归纳法可以作为论证的方法，它又称为枚举归纳法假如是 M的真子集，这时的归纳法称为不完全归纳法由于不完全归纳法没有穷尽全部被讨论的对象，得出的结论只能算猜想，结论的正确与否有待进一步证明或举反例本节主要介绍如何运用不完全归纳法获得猜想，对于完全归纳法，将在以后结合有关内容（如分类法）进行讲解【例 5】证明：任何面积等于1 的凸四边形的周长及两条对角线的长度之和不小于
12、4十 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -【分析】四边形的周长和对角线的长度和混在一起令人棘 手，我们可以从特例考察起：先考虑面积为1 的正方形，其周长恰为4，对角钱之和为2即其次考察面积为 1 的菱形，如两对角线长记为l 1、l 2，那么菱形面积S=l 1l2 ，知l 1+ l 22=2=，菱形周长：l 42=4。由此，可以猜想：对一般的凸四
13、边形也可将其周长和对角线长度和分开考虑【证明】设ABCD为任意一个面积为1 的凸四边形，其有关线段及角标如图就SABCD=eg+gf+fh+hesine+fg+h，e+f+g+h2，即对角线长度之和不小于a bcd4，即周长不小于4 综上所述，结论得证，【例 6 】在始终线上从左到右依次排列着1988 个点 P1，P2，, ， P1988，且 Pk 是线段 Pk-1 Pk+1 的 k 等分点中最靠近Pk+1 的那个点（ 2k1988）， P1P2=1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 8 页 - - - -
14、 - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1984P1987 P 1988=l 求证： 2l3。【分析】此题初看复杂，难以入手不妨先从特别值动身，通过特别值的运算，以便分析、归纳出一般性的规律当 k=1 时， P1P2=1（已知）。当k= 2 时， P 2 是 P1P3 的中点，故P2 P3 = P1P2= 1。当 k=3时， P 3 是 P2P4 的三等分点中最靠近的那个分点，即P3P4=P 2 P4=P2P3+ P3P4 =P2P3+P 3 P4，故 P3P4=P 2P3 =由此可推得4
15、 P 5=， P5P6 = 由、，可归纳以下猜想：PkPk+1=Pk-1 Pk 。【证明】于是有：令 k=1987，就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1984故 2l3。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载