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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -竞赛讲座 18-数学归纳法基础学问数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法在数学竞赛中占有很重要的位置1数学归纳法的基本形式（ 1）第一数学归纳法设 P n 是一个与正整数有关的命题，假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 nn0 （ n0N ）时，P n 成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 nk kn0 , kN 成立，由此推得nk1 时，P n 也成立，那么，依据可编辑资料 - -
2、 - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对一切正整数nn0 时，P n 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）其次数学归纳法设 P n 是一个与正整数有关的命题，假如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 nn0 （ n0N ）时，P n 成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 nk kn0 , kN 成立，由此推得nk1 时，P n 也成立，那么，依据可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对一切正
3、整数nn0 时，P n 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2数学归纳法的其他形式（ 1）跳动数学归纳法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 n1,2,3, l 时，P1, P 2, P3, P l 成立，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 nk 时 Pk 成立， 由此推得 nkl 时，P n 也成立，那么，依据对一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结切正整数 n1 时，P n 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）反
4、向数学归纳法设 P n 是一个与正整数有关的命题，假如 P n 对无限多个正整数n 成立。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假设 nk 时，命题P k 成立，就当nk1 时命题P k1 也成立，那么依据可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对一切正整数n1 时，Pn 成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3应用数学归纳法的技巧可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - -
5、 - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 1）起点前移：有些命题对一切大于等于1 的正整数正整数n 都成立，但命题本身对可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结n0也成立，而且验证起来比验证n1 时简单，因此用验证n0 成立代替验证n1 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且简单验证就可以因而为了便于起步，有意前移起点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2）起点增多：有些命题在由nk 向 nk1跨进时，需要经其他特别情形作为基可编辑资料 - - -
6、 欢迎下载精品名师归纳总结础，此时往往需要补充验证某些特别情形，因此需要适当增多起点（ 3）加大跨度：有些命题为了削减归纳中的困难，适当可以转变跨度，但留意起点也应相应增多可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）挑选合适的假设方式：归纳假设为肯定要拘泥于“假设nk 时命题成立”不行，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结需要依据题意实行第一、其次、跳动、反向数学归纳法中的某一形式，敏捷挑选使用（ 5）变换命题：有些命题在用数学归纳证明时，需要引进一个帮助命题帮忙证明，或者需要转变命题即将命题一般化或加强命题才能满意归纳的需要，才能顺当进行证明5归纳、猜想和证明在数学中
7、常常通过特例或依据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种不严格的推理方法称为不完全归纳法不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必需进一步检验或证明，常常采纳数学归纳法证明不完全归纳法是发觉规律、解决问题极好的方法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1用数学归纳法证明：例题分析可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1111 11 47113n23 3n1 （ nN * , n1 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2已知对任意nN * ，n1 ，an0 且 a 33na1a2
8、a 2 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1aa23n求证： ann 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3假如正整数n 不是 6 的倍数，就1986n1 不是 7 的倍数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4设a1 , a2 , ana1a 2都是正数，证明na nna1 a 2an 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5 已知函数f x的定义域为a , b，对于区间 a, b 内的任意两数c, d 均有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下
9、载精品名师归纳总结f cd 21 f2cf d 求证：对于任意x1 , x2 , xna, b ，均有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x1x2nxn 1 f n x1 f x2 f xn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6 试证：对一切大于等于1 的自然数 n 都有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1cos 2cos2cosnsin 2n122 sin2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7 试证：对一切自然数n （ n1）都有
10、2 n2n 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -例 8证明：任一正方形可以剖分成任意个数多于5 个的正方形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 9设 0a1 ， a11a ， an 11a ，求证：对一切n a nN 均有 an1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 10已知 a1a21 ， an 22n 1a1
11、n 1an，求证：对一切nN ， an 都是整数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 11 设f n111231 ，是否存在关于正整数n 的函数ng n使等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1f 2f n1g nf n1 对于 n2 的一切自然数都成立？并证明你可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的结论例12设整 数数列 an 满足a11，a212，a320，且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
12、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结an 32an 22an 1an 证明：任意正整数n ， 14an an1 是一个整数的平方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例13设x1 , x2 , xn为正数（n2），证明：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x21xxx21232x2x22x3 x42xn 1xx2n 1n x12xnx2nx1 x2n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 14已知 a1
13、1 ， an 1an1（N * , nan2n1 ），求证：a9000130 a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 15整数列 an （ nN * , n1）满意 a12, a27 ，且有an 12nan 12 求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证： n2 时，an 是奇数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1证明 n23N 时， 1222训练题5 n21能被 31 整除可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2设 n 不小于 6 的自然数，证
14、明：可以将一个正三角形分成n 个较小的正三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3用数学归纳法证明：11121n 1242111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4设 n 为自然数，求证：1222322 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5对于自然数n （ n3 ），求证：nn 1n1 n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6已知a1a21 ， an 22n 1a1n 1an，求证：对于一切n*N， an 是整数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7设有2n 个球分成了很多堆，
15、我们可以任意选甲、乙两堆来依据以下规章移动：如甲可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -戴盆望天的球数p 不小于乙堆的球数q ，就从甲堆拿q 个球放堆乙堆， 这样算是移动一次 证明：可以经过有限次移动把全部的球合并成一堆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8已知数列 an 满意：a13 ， a28 ， 4an 1an 2 3an5n224n20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（ n3 ），试证：ann2n 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载