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1、第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念课后篇巩固提升基础巩固1.函数f(x)=x+1x-1的定义域是()A.-1,1)B.-1,1)(1,+)C.-1,+)D.(1,+)解析由x+10,x-10,解得x-1,且x1.答案B2.下列四个函数:y=x+1;y=x-1;y=x2-1;y=1x,其中定义域与值域相同的是()A.B.C.D.解析y=x+1,定义域为R,值域为R,y=x-1,定义域为R,值域为R,y=x2-1,定义域为R,值域为-1,+),y=1x,定义域为(-,0)(0,+),值域为(-,0)(0,+),故的定义域与值域相同.答案B3.若函数y=f(x)的定义
2、域是0,2,则函数g(x)=f(2x)x-1的定义域是()A.0,1)(1,2B.0,1)(1,4C.0,1)D.(1,4解析由题意,得02x2,x-10,即0x0C.x|0x5D.x52x0,x10-2x,x52.故此函数的定义域为x52x5.答案D5.函数f(x)=x2-2x,x-2,-1,0,1的值域为.解析因为f(-2)=(-2)2-(-2)=6,f(-1)=(-1)2-2(-1)=3,f(0)=02-20=0,f(1)=12-21=-1.所以f(x)的值域为6,3,0,-1.答案6,3,0,-16.若函数f(x)满足f(2x-1)=x+1,则f(3)=.解析令2x-1=3,则x=2,
3、故f(3)=2+1=3.答案37.若函数f(x)=ax2-1,a为正常数,且f(f(-1)=-1,则a的值是.解析f(-1)=a(-1)2-1=a-1,f(f(-1)=a(a-1)2-1=a3-2a2+a-1=-1.a3-2a2+a=0,a=1或a=0(舍去).故a=1.答案18.求函数y=x+26-2x-1的定义域,并用区间表示.解要使函数有意义,则x+20,6-2x0,6-2x1,解得x-2,x3,x52,即-2x3,且x52.故函数的定义域为x-2x3,且x52,用区间表示为-2,5252,3.9.已知函数f(x)=1+x21-x2.(1)求f(x)的定义域;(2)若f(a)=2,求a的
4、值;(3)求证:f1x=-f(x).(1)解要使函数f(x)=1+x21-x2有意义,只需1-x20,解得x1,所以函数的定义域为x|x1.(2)解因为f(x)=1+x21-x2,且f(a)=2,所以f(a)=1+a21-a2=2,即a2=13,解得a=33.(3)证明由已知得f1x=1+1x21-1x2=x2+1x2-1,-f(x)=-1+x21-x2=x2+1x2-1,所以f1x=-f(x).能力提升1.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,例如解析式为y=2x2+1,值域为9的“孪生函数”有三个:y=2x2+1,x-2;y=2x2+1,x2;y=2
5、x2+1,x-2,2.那么函数解析式为y=2x2+1,值域为1,5的“孪生函数”共有()A.5个B.4个C.3个D.2个解析y=2x2+1,值域为1,5的孪生函数,分别为:y=2x2+1,x0,2;y=2x2+1,x0,-2;y=2x2+1,x0,2,-2共3个,故选C.答案C2.若f(x)=5xx2+1,且f(a)=2,则a=.解析由f(a)=5aa2+1=2,得2a2-5a+2=0,解得a=12或a=2.答案12或23.已知函数y=f(2x+1)的定义域为1,2,则函数y=f(2x-1)的定义域为.解析因为函数y=f(2x+1)的定义域为1,2,即1x2,所以32x+15.所以函数y=f(
6、x)的定义域为3,5.由32x-15,得2x3,所以函数y=f(2x-1)的定义域为2,3.答案2,34.(1)y=2x+1x-3的值域为.(2)y=2x-x-1的值域为.解析(1)(分离常数法)y=2x+1x-3=2(x-3)+7x-3=2+7x-3,显然7x-30,故y2.故函数的值域为(-,2)(2,+).(2)(换元法)令t=x-1,则x=t2+1,且t0,y=2(t2+1)-t=2t-142+158.由t0,再结合函数的图象(如图所示),可得函数的值域为158,+.答案(1)(-,2)(2,+)(2)158,+5.已知函数f(x)=x2-2x,x0,b,且该函数的值域为-1,3,求b
7、的值.解作出函数f(x)=x2-2x(x0)的图象如图所示.由图象结合值域-1,3可知,区间右端点b必为函数最大值3的对应点的横坐标.所以f(b)=3,即b2-2b=3,解得b=-1或b=3.又-10,b,所以b=3.6.若函数f(x)=3x-1mx2+mx+3的定义域为R,求m的取值范围.解要使原函数有意义,必须mx2+mx+30.由于函数的定义域是R,故mx2+mx+30对一切实数x恒成立.当m=0时,30恒成立,故m=0满足条件;当m0时,有=m2-12m0,解得0m12.故由可知m的取值范围是0,12).7.已知函数f(x)=x2x2+1.(1)求f(1),f(2)+f12的值;(2)
8、证明:f(x)+f1x等于定值;(3)求f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)+f12+f13+f12 019的值.(1)解f(1)=1212+1=12;f(2)=2222+1=45,f12=122122+1=15,所以f(2)+f12=45+15=1.(2)证明f1x=1x21x2+1=1x2+1,所以f(x)+f1x=x2x2+1+1x2+1=1,为定值.(3)解由(2)知,f(x)+f1x=1.所以f(1)+f(2)+f(3)+f(2 019)+f12+f13+f12 019=f(1)+f(2)+f12+f(3)+f13+f(2 019)+f12 019=12+1+1+12 018=4 0372.