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1、3.4函数的应用(一)课后篇巩固提升基础巩固1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是()A.甲比乙先出发B.乙比甲跑的路程多C.甲、乙两人的速度相同D.甲先到达终点解析由题图知甲所用时间短,甲先到达终点.答案D2.用长度为24 m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的长度为()A.3 mB.4 mC.5 mD.6 m解析设隔墙长为x m,则矩形场地长为24-4x2=(12-2x)m.所以矩形面积为S=x(12-2x)=-2x2+12x=-2(x-3)2+18,即当x=3 m时,矩形面积最大.答案A3.某商品价格前两年每年
2、递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情况是()A.升高7.84%B.降低7.84%C.降低9.5%D.不增不减解析设该商品原价为a,四年后的价格为a(1+0.2)2(1-0.2)2=0.921 6a.(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a,即比原来降低7.84%.答案B4.某工厂生产某产品x吨所需费用为P元,而卖出x吨的价格为每吨Q元,已知P=1 000+5x+110x2,Q=a+xb,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为150吨时利润最大,此时每吨的价格为40元,则有()A.a=45,b=-30B.a=30,b=-45C.a=-30,b=45
3、D.a=-45,b=-30解析设生产x吨产品全部卖出所获利润为y元,则y=xQ-P=xa+xb-1 000+5x+110x2=1b-110x2+(a-5)x-1 000,其中x(0,+).由题意知当x=150时,y取最大值,此时Q=40.-a-521b-110=150,a+150b=40,整理得a=35-300b,a=40-150b,解得a=45,b=-30.答案A5.某汽车在同一时间内速度v(单位:km/h)与耗油量Q(单位:L)之间有近似的函数关系Q=0.002 5v2-0.175v+4.27,则车速为 km/h时,汽车的耗油量最少.解析Q=0.002 5v2-0.175v+4.27=0.
4、002 5(v2-70v)+4.27=0.002 5(v-35)2-352+4.27=0.002 5(v-35)2+1.207 5.故v=35 km/h时,耗油量最少.答案356.一个水池有2个进水口,1个出水口.2个进水口的进水速度分别如图甲、乙所示,出水口的排水速度如图丙所示.某天0时到6时,该水池的蓄水量如图丁所示.给出以下3个论断:0时到3时只进水不出水;3时到4时不进水只出水;4时到6时不进水不出水.其中,一定正确的论断序号是.解析从0时到3时,2个进水口的进水量为9,故正确;由排水速度知正确;4时到6时可以是不进水,不出水,也可以是开1个进水口(速度快的)、1个排水口,故不正确.答
5、案7.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率R与管道半径r的四次方成正比.(1)写出函数解析式;(2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量速率为400 cm3/s,求该气体通过半径为r cm的管道时,其流量速率R的解析式;(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5 cm,计算该气体的流量速率.解(1)由题意,得R=kr4(k是大于0的常数).(2)由r=3 cm,R=400 cm3/s,得k34=400,解得k=40081,所以函数解析式为R=40081r4.(3)因为R=40081r4,所以当r=5 cm时,R=40081543 086(cm3/s),即该气体的流
6、量速率约为3 086 cm3/s.8.如图所示,已知边长为8 m的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中AE=4 m,CD=6 m.为了合理利用这块钢板,将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE上.(1)设MP=x m,PN=y m,将y表示成x的函数,求该函数的解析式及定义域;(2)求矩形BNPM面积的最大值.解(1)如图所示,延长NP交AF于点Q,则PQ=8-y,EQ=x-4.在EDF中,EQPQ=EFFD,x-48-y=42.y=-12x+10,定义域为4,8.(2)设矩形BNPM的面积为S,则S=xy=x10-x2=-12(x-10)2+50.又x4,8,所以当x=8时,S
7、取最大值48.所以当MP=8 m时,矩形BNPM的面积取得最大值,且为48 m2.能力提升1.如图,点P在边长为1的正方形边上运动,设M是CD的中点,则当P沿A-B-C-M运动时,点P经过的路程x与APM的面积y之间的函数y=f(x)的图象大致是()解析依题意,当0x1时,SAPM=121x=12x;当10 x2时,SAPM=S梯形ABCM-SABP-SPCM=121+121-121(x-1)-1212(2-x)=-14x+34;当2x52时,SAPM=S梯形ABCM-S梯形ABCP=121+121-12(1+x-2)1=34-12x+12=-12x+54.y=f(x)=12x(0x1),-1
8、4x+34(1x2),-12x+542x52.再结合题图知应选A.答案A2.有甲、乙两种商品,经营销售这两种商品所能获得的利润依次为Q1万元和Q2万元,它们与投入的资金x万元的关系是Q1=15x,Q2=35x.今年有3万元资金投入使用,则对甲、乙两种商品如何投资才能获得最大利润?解设对甲种商品投资x万元,则对乙种商品投资(3-x)万元,总利润为y万元,则Q1=15x,Q2=353-x.所以y=15x+353-x(0x3).令t=3-x(0t3),则x=3-t2,所以y=15(3-t2)+35t=-15t-322+2120.当t=32时,ymax=2120=1.05(万元),这时x=34=0.7
9、5(万元),所以3-x=2.25(万元).由此可知,为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总共获得利润为1.05万元.3.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资A类产品的收益与投资额成正比(f1(x)=k1x),投资B类产品的收益与投资额的算术平方根成正比(f2(x)=k2x).已知投资16万元时,A,B两类产品的收益分别为2万元和4万元.(1)分别写出A,B两类产品的收益与投资额的函数关系式.(2)该家庭有32万元资金,全部用于理财投资A,B两类产品,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益(f(x)=f1(x)+f2(x),其最大收益是多少万元?解(1)由题意得,f1(16)=16k1=2,解得k1=18,由f2(16)=4k2=4,解得k2=1.f1(x)=18x,x0,+),f2(x)=x,x0,+).(2)设投资B类产品x万元,则投资A类产品为(32-x)万元,则f(x)=18(32-x)+x=4-18x+x.f(x)=-18(x-4)2+6,当x=16时,f(x)max=6.答:投资A,B两类产品各16万元时,能使资金获得最大收益,最大收益为6万元.