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1、1 / 11 经济数学基础作业1 （微分学部分第1 章函数第2 章极限、导数与微分）知识要点：1函数概念：函数Dxxfy),(的两个要素定义域和对应关系。要求：会求函数的定义域和函数值；会判断两函数是否相同。2函数的性质：了解函数的四个性质，掌握函数奇偶性的判别。3基本初等函数和函数的复合运算：记住五类基本初等函数的表达式，知道它们的图形特征。掌握函数的复合与“分解”。 4极限的概念：知道Axfxx)(lim0的意义；知道Axfxx)(lim0的充分必要条件是Axfxx)(lim0且Axfxx)(lim05 . 无穷小量的概念和性质：了 解 无 穷 小 量 的 概 念 ： 在 某 个 变 化
2、过 程 中 ， 以0 为 极 限 的 函 数 。 例 如 若0)(lim0 xfxx，则称当0 xx时，)(xf为无穷小量。了解无穷小量与无穷大量的关系：无穷大量的倒数为无穷小量；非零的无穷小量的倒数为无穷大量。知道无穷小量的性质：无穷小量与有界变量的乘积为无穷小量。例如,0lim0 xx11sinx，因此01sinlim0 xxx6 函 数 连 续 的 概 念 和 性 质 ： 了 解 函 数)(xfy在 点0 x处 连 续 的 概 念 ：)()(lim00 xfxfxx；了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点。7导数的概念：牢记导数定义的极限表达式
3、xyxfx00lim)(；知道函数在某点导数的几何意义：)(0 xf表示曲线)(xfy在点)(,(00 xfx处的切线的斜率；会求曲线的切线方程，曲线)(xfy在0 x处的切线方程：)()(000 xxxfxfy。了解导数的经济意义。8微分的概念：函数)(xfy的微分：dxydy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页2 / 11 9高阶导数的概念，特别是二阶、三阶导数的概念，比如二阶导数)(yy10函数极限、连续、可导与可微的关系：可微可导连续极限存在。11掌握求简单极限的常用方法求极限的常用方法有（1）利用极限的四则
4、运算法则；（2）利用重要极限第一重要极限：1sinlim0 xxx特点：当0 x时，）分子、分母的极限为0；）分子或分母中有一个含有正弦函数关系式。第一重要极限的扩展形式：1)()(sinlim0)(xxx（3）利用无穷小量的性质（有界变量乘以无穷小量还是无穷小量）；（4）利用连续函数的定义。12熟练掌握求导数或微分的方法。具体方法有：（1）利用导数（或微分）的基本公式；（2）利用导数（或微分）的四则运算法则；（3）利用复合函数求导或微分法；（4）利用隐函数求导法则。作业解答：一填空题1xxxxsinlim0 . 解：当0 x时，分子、分母的极限均为0，且1sinlim0 xxx因此xxxxs
5、inlim0011)sin1(lim0 xxx2设0,0, 1)(2xkxxxf在0 x处连续，则k解：由函数的连续定义知：若)(xfy在0 x处连续，则)0()(lim0fxfx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页3 / 11 因为)(lim0 xfx1)1(lim20 xxkf)0(因此，若)(xf在0 x处连续，则k1。3曲线1xy在（ 1，2）的切线方程是解：根据导数的几何意义有，曲线1xy在（ 1，2）的切线方程是：) 1)(1(2xyy而21) 1(211xxy故切线方程是：)1(212xy，即2321
6、xy4设, 52) 1(2xxxf则)(xf。解：先求)(xf的表达式令1xt，则1tx，因为, 52)1(2xxxf则45) 1(2) 1()(22ttttf则4)(2xxfxxf2)( 5设,sin)(xxxf则)2(f解：)2(f2)(xxf,cossin)(sinsin)(xxxxxxxxf,sincoscos)(coscos)(sin)(xxxxxxxxxxf =,sincos2xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页4 / 11 22sin22cos2)2(f二单项选择题：1当x时，下列变量为无穷小量的
7、是（）A. )1ln( xB. 12xxC. x1eD. xxsin解：无穷小量的概念：在某个变化过程中，以0 为极限的函数。A中：因为x时，)1ln( x，故x时，)1ln( x不是无穷小量；B中：因为x时，12xx，故x时，12xx不是无穷小量C中：因为x时，01x，1e1x，故x时，x1e不是无穷小量。D中：因为x时，0sin1sinxxxx，故当x时，xxsin是无穷小量。因此正确的选项是D。 2 下列极限计算正确的是（）。A.1lim0 xxx， B.1lim0 xxxC., 11sinlim0 xxx D., 1sinlimxxx解： A 不正确。注意到：0,0,xxxxx，因此：
8、1limlim00 xxxxxx，1limlim00 xxxxxxxxx0lim不存在。B正确。C不正确。因为,0lim0 xx11sinx，由无穷小量的运算质量得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页5 / 11 ,01sinlim0 xxxD不正确。因为0sin1limsinlimxxxxxx因此正确的选项是B。3设,2lgxy则dy（） . A . dxx21 B.dxx10ln1Cdxx10lnDdxx1解：因为dxxdxxxdxydy10ln1)2(10ln21因此正确的选项是B。 4函数)(xf在点0 x
9、处可导，则（）是错误的 . A . 函数)(xf在点0 x处有定义 B,)(0Axfxlim但)(0 xfAC函数)(xf在点0 x处连续 D函数)(xf在点0 x处可微。解：注意到函数极限、连续、可导与可微的关系：可微可导连续极限存在。正确的选项是B。 5 若xxf)1(，则)(xf（） . A .21x B21x Cx1Dx1解：令xt1，则tx1因为xxf)1(，则ttf1)(，xxf1)(21)(xxf因此正确的选项是B。三解答题1. 求下列极限：（1）123lim221xxxx；解：该极限属00型，先因式分解消去零因子，再利用四则运算法则计算精选学习资料 - - - - - - -
10、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页6 / 11 123lim221xxxx=) 1)(1()2)(1(lim1xxxxx= 12lim1xxx=21（2）8665lim222xxxxx解：该极限属00型，先因式分解消去零因子，再利用四则运算法则计算)4)(2()3)(2(lim8665lim2222xxxxxxxxxx43lim2xxx214232（3）xxx11lim0；解：该极限属00型，分子有理化消去零因子，再利用四则运算法则计算xxx11lim0) 11() 11)(11(lim0 xxxxx =)11(11lim0 xxxx=21111lim0
11、xx（4）42353222xxxxxlim解：该极限属型，注意到)0(01limxx分子、分母同除以2x，再利用四则运算法则计算42353222xxxxxlim=22423532xxxxxlim=32003002（5）xxx5sin3sinlim0解：该极限属00型，注意到：1)()(sinlim0)(xxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页7 / 11 分子、分母分别除以xx 5,3，利用重要极限公式计算xxx5sin3sinlim0=xxxxxxx53.55sin33sinlim0=53（6）)2sin(4li
12、m22xxx解：该极限属00型，利用重要极限公式计算)2sin(4lim22xxx=)2sin()2)(2(lim2xxxx=)2.(2)2sin(1lim2xxxx=4 2 设0,sin0,0,1sin)(xxxxaxbxxxf问：（ 1）当ba,为何值时，)(xf在0 x处有极限存在？（2）当ba,为何值时，)(xf在0 x处连续？解：（ 1）因为要使)(xf在0 x处有极限存在，则要)(xf0 xlim和)(xf0 xlim存在且相等，因为)(xf0 xlim)1sin(bxx0 xlim=b)(xf0 xlimxxsin0 xlim=1因此当1b，a取任意实数时，函数)(xf在0 x处
13、有极限存在。（2）因为要使)(xf在0 x处连续，则要)(xf0 xlim)(xf0 xlim=)0(f)0(f=a结合（ 1）知：当1ba时，)(xf在0 x处连续。3求下列导数或微分：（1）2222log2xxxy，求y；解：利用导数代数和运算法则知识要点：导数的基本公式：eeaaaxxcxxxx)(ln)()(01xxxxxx21cos1)(tansin)(coscos)(sin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页8 / 11 2ln12ln22)2()(log)2()(222xxxyxxx（2）dcxbaxy
14、,求 y ；解：2)()()()(dcxdcxbaxdcxbaxy=2)()()(dcxcbaxdcxa=2)(dcxbcad（3）531xy求y；解：21)53( xy=)53()53(21121xx =23)53(23x（4）xxexy,求y；解：)()(xxexexxy=)(2121xxxeex=)(21xxxeex（5）bxeyaxsin，求dy；解：)(sinsin)(bxebxeyaxax知识要点：2)(vvuvuvu知识要点：)()()(),()(1xufyxuxfyxxx知识要点：xxeexxcos)(sin)(知识要点：vuvuuveexxxxxx)()()(,121精选学习
15、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页9 / 11 =bbxebxaeaxaxcossin = )cossin(bxbbxaeaxdxbxbbxaedxydyax)cossin(（6）xxeyx1，求dy；解：231xeyx，)()(231xeyx=21123)1(xxex =2112231xexxdxxexdxydyx)231(2112（7）2cosxexy，求dy；解：)()(cos2xexy=)()(sin22xexxx=22sin21xxexx（8）nxxynsinsin，求y；解：)(sin)(sinnxxyn=)(
16、cos)(sinsin1nxnxxxnn =nxnxxnncoscossin1（9）),1ln(2xxy求y；解：)1(1122xxxxy知识要点：12122)()1 (11)(lnxxxxxx知识要点：xxeexxxxxxxxx)()(1112321知识要点：1)()(sinsinxxxxnn知识要点：xxxxx21)()(sin)(cos21dxxexxdxydyx)2sin21(2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页10 / 11 =)1 (121111222xxxx=xxxx212111122=211x（10
17、）,212321sinxxxyx求y。解：2261211sinxxyx)2()()()2(61211sinxxyx =06121)1(sin2ln265231sinxxxx =65231sin6121)1(1cos2ln2xxxxx =65231sin261211cos2ln21xxxxx4 下列各方程中y是x的隐函数，试求y或dy（1）, 1322xxyyx求dy解： 方程两边对x求导数得：,1)3()()()(22xxyyx03)(22yxyxyyx0322yxyyyxxyxyy232dxxyxydxydy232（2）xeyxxy4)sin(，求y解：方程两边对x求导数：)4()sin(x
18、eyxxy4)()()cos(xyeyxyxxy知识要点：aaaxxxxxxxxln)(,16121323221精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页11 / 11 4)()1()cos(yxyxeyyxxy4)()1()cos(yxyeyyxxy)cos(4)cos(yxyeyxeyxxyxyxyxyxeyxyxyey)cos()cos(45 求下列函数的二阶导数（1）)1ln(2xy，求y解：（ 1）)1(1122xxy=212xx2222)1()1 (2)1()2()(xxxxxyy =222)1 (22)1(2xxxx=222)1(22xx（2）xxy1，求y及) 1(y解：2121xxy，21232121xxy，)2121(2123xxy=2325)21(21)23(21xx=23254143xx12325)4143() 1(xxxy=14143精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页