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1、 命题与证明命题与证明 (一一)上派中学上派中学 陈晓远陈晓远 电视里正在播放精彩的乒乓球比赛，奶奶边电视里正在播放精彩的乒乓球比赛，奶奶边看比赛边说：打得好！打得好！可惜播音员不识看比赛边说：打得好！打得好！可惜播音员不识数数孙子听了不解地问：人家咋不识数？孙子听了不解地问：人家咋不识数？ 奶奶说：明明是两个人在打球，他却说奶奶说：明明是两个人在打球，他却说单打单打；明明是四个人在打球，他却说明明是四个人在打球，他却说双打双打，你说他识数，你说他识数不识数？不识数？例如例如: :1 1、“具有中华人民共和国国籍的人具有中华人民共和国国籍的人, ,叫做叫做中华人中华人民共和国公民民共和国公民”
2、 ” 是是“中华人民共和国公民中华人民共和国公民”的定义的定义; ;2 2、 “ “两点之间两点之间 线段的长度线段的长度, ,叫做这叫做这两点之间的距离两点之间的距离” ” 是是“ ”“ ”的定义的定义; ;两点之间的距离两点之间的距离请说出下列名词的定义：请说出下列名词的定义：无理数：无理数：直角三角形：直角三角形：一次函数：一次函数：无限不循环小数叫做无理数。无限不循环小数叫做无理数。有一个角是直角的三角形叫做有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。直角三角形。一般地，形如一般地，形如ykxb（k、b都是常数都是常数且且k0）叫做一次函数。）叫做一次函数。 判断一件事情的语句，判断一件事情
3、的语句，叫做叫做命题。命题。 我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出我们日常讲话中，有些话是对某件事情作出判断判断的，有些话只是对事物进行的，有些话只是对事物进行描述描述的，如：的，如： （1） 两条直线相交，只有一个交点；两条直线相交，只有一个交点； （2）画线段）画线段AB= 3 厘米；厘米； 判断一件事情的语句，叫做命题判断一件事情的语句，叫做命题 注意：命题的定义包含两层含义：注意：命题的定义包含两层含义：1、命题必须是一个完整的句子；命题必须是一个完整的句子；2、这个句子必须对事情做出判断。、这个句子必须对事情做出判断。 下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了下列语句在表述形式上，哪
4、些是对事情作了判断？哪些没有对事情作出判断？判断？哪些没有对事情作出判断？1 1、对顶角相等；、对顶角相等；2 2、画一个角等于已知角；、画一个角等于已知角；3 3、两直线平行，同位角相等；、两直线平行，同位角相等；4 4、a a、b b两条直线平行吗？两条直线平行吗？5 5、温柔的李明明；、温柔的李明明；6 6、玫瑰花是动物；、玫瑰花是动物；7 7、若、若a a2 24 4，求，求a a的值；的值；8 8、若、若a a2 2b b2 2，则，则a ab b。否是否否是否是是 下列语句中，哪些是命题？哪些不是？下列语句中，哪些是命题？哪些不是？ 1.1.直线直线ab;ab; 2. 2.同位角都
5、相等吗？同位角都相等吗？ 3.3.如果如果1+2=901+2=90, , 那么那么11与与22互余；互余； 4.“0”4.“0”不能做分母；不能做分母； 5.5.如果邻补角相等，那么它们的公共边与如果邻补角相等，那么它们的公共边与 另一边垂直另一边垂直. .不是不是是是不是不是是是是是 题设题设：已知事项：已知事项 结论结论：由已知事项推出的事项：由已知事项推出的事项 每个命题都是由题设、结论每个命题都是由题设、结论 两部分组成两部分组成. .例：指出下列命题的题设、结论：例：指出下列命题的题设、结论： 1)如果两直线相交，那么它们只有一个交点；如果两直线相交，那么它们只有一个交点；2)两条直
6、线被第三条直线所截，如果同旁内两条直线被第三条直线所截，如果同旁内 角互补，角互补， 那么这两条直线平行；那么这两条直线平行；3)如果如果1=2 , 2=3，那么，那么1=3；4)两条平行线被第三条直线所截，内错角相两条平行线被第三条直线所截，内错角相 等等.5)5)如果如果1+2=90,那么那么1与与2互余；互余；6)如果邻补角相等，那么它们的公共边与另如果邻补角相等，那么它们的公共边与另 一边垂直一边垂直.三、命题的一般形态三、命题的一般形态 通常一个命题都可以写成形式：通常一个命题都可以写成形式：“如果如果，那么，那么。”“若若，则，则。” 把下列命题写成把下列命题写成“如果如果那么那么
7、”的形式，并指出哪是题设？哪是结论？的形式，并指出哪是题设？哪是结论？1)对顶角相等；对顶角相等；2)两直线平行，同位角相等；两直线平行，同位角相等；3)和为和为0的两个数互为相反数；的两个数互为相反数；4)若若ab，bc，则，则ac；5)等角的余角相等；等角的余角相等；6)垂直于同一直线的两直线平行；垂直于同一直线的两直线平行；1) 如果两个角是对顶角， 那么这两个角相等.2) 如果两条平行线被第三条直线所截，那么截得的同位角相等.3) 如果两个数的和为0， 那么这两个数互为相反数.4) 如果ab，bc, 那么ac.5) 如果两个角相等， 那么这两个角的余角也相等.6) 如果两条直线都垂直于
8、同一直线， 那么这两条直线平行.四、命题的分类四、命题的分类 真命题真命题：如果题设成立，那：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。么结论一定成立的命题。 假命题假命题：如果题设成立时，：如果题设成立时，不能保证结论总是成立的命不能保证结论总是成立的命题。题。例例. .判断下列命题的真假：判断下列命题的真假：1)1)如果如果x=0,x=0,那么那么xy=0;xy=0;2)2)如果如果x x2 2=y=y2 2, ,那么那么x=y;x=y;3)3)对顶角相等；对顶角相等；4)4)相等的角是对顶角；相等的角是对顶角；5)5)如果如果x x=2,=2,那么那么x=2;x=2;6)6)- -a a表示
9、的一定是负数表示的一定是负数. .真命题真命题假命题假命题真命题真命题假命题假命题假命题假命题假命题假命题 下列句子哪些是命题？是命题的，指出下列句子哪些是命题？是命题的，指出是真命题还是假命题？是真命题还是假命题？1、猪有四只脚；猪有四只脚；2、三角形两边之和大于第三边；三角形两边之和大于第三边；3、画一条曲线；画一条曲线；4、四边形都是菱形；四边形都是菱形；5、你的作业做完了吗？你的作业做完了吗？ 6、同位角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；7、对顶角相等；对顶角相等；8、多边形的内角和等于多边形的内角和等于180度；度；9、过点过点P做线段做线段MN的垂线。的垂线。（1）“两负数
10、之积为正数两负数之积为正数” 题设是题设是 ， 结论是结论是 ；（2 2）两点之间，线段最短两点之间，线段最短 改写成改写成“如果如果 ， 那么那么 ”试一试试一试：两个负数相乘两个负数相乘结果为正数结果为正数过两点画线过两点画线 这些线中，线段最短这些线中，线段最短假假 数学中有些命题的正确性是人们在数学中有些命题的正确性是人们在长期实长期实践中总结践中总结出来的，并把它们出来的，并把它们作为判断其他命题作为判断其他命题真假的原始依据真假的原始依据，这样的真命题叫做，这样的真命题叫做公理公理。 有些命题可以从公理或其他真命题出发，有些命题可以从公理或其他真命题出发，用用逻辑推理逻辑推理的方法
11、判断它们是正确的，并且可的方法判断它们是正确的，并且可以以进一步作为判断其他命题真假的依据进一步作为判断其他命题真假的依据，这样，这样的真命题叫做的真命题叫做定理定理。公理公理和和定理定理都可作为判断其他命题真假的都可作为判断其他命题真假的依据依据。公理举例：公理举例：经过两点有且只有一条直线。经过两点有且只有一条直线。2、线段公理：、线段公理：两点的所有连线中，线段最短。两点的所有连线中，线段最短。4、平行线判定公理：、平行线判定公理：同位角相等，两直线平行。同位角相等，两直线平行。5、平行线性质公理：、平行线性质公理：两直线平行，同位角相等。两直线平行，同位角相等。1、直线公理：、直线公理
12、：3、平行公理：、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。直线与已知直线平行。同角或等角的补角相等。同角或等角的补角相等。2、余角的性质：、余角的性质：同角或等角的余角相等。同角或等角的余角相等。4、垂线的性质：、垂线的性质：过一点有且只有一条直线过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；与已知直线垂直；5、平行公理的推论：、平行公理的推论： 如果两条直线都和第三条如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直直线平行，那么这两条直线也互相平行。线也互相平行。1、补角的性质：、补角的性质：3、对顶角的性质：、对顶角的性质：对顶角相等。对顶角相等。垂线段最
13、短。垂线段最短。定理举例：定理举例：内错角相等，两直线平行。内错角相等，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。同旁内角互补，两直线平行。6、平行线的判定定理：、平行线的判定定理：7、平行线的性质定理：、平行线的性质定理：两直线平行，内错角相等。两直线平行，内错角相等。两直线平行，同旁内角互补。两直线平行，同旁内角互补。定理举例：定理举例：课堂小结课堂小结1 1、命题：判断一件事情的语句叫、命题：判断一件事情的语句叫命题命题。2 2、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他、公理：人们长期以来在实践中总结出来的，并作为判断其他命题真假的根据的命题，叫做命题真假的根据的命题，叫做公理公
14、理。3 3、定理：经过推理论证为正确的命题叫、定理：经过推理论证为正确的命题叫定理定理。也可作为继续推。也可作为继续推理的依据。理的依据。4 4、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用、判断一个命题是真命题，可以从公理或定理出发，用逻辑推逻辑推理理的方法证明（的方法证明（公理和定理都是真命题公理和定理都是真命题）；）； 判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为成立就可以了，这种方法称为举反例举反例。（1 1）正确的命题称为）正确的命题称为真命题真命题，错误的命题称为，错误的命题称为假命题假命题。（
15、2 2）命题的结构：命题由）命题的结构：命题由题设题设和和结论结论两部分构成，常可写成两部分构成，常可写成“如果如果，那么，那么”的形式。的形式。 命题真命题假命题公理定理反例：具有命题条件，但不具有命题结论的例子。具有命题条件，但不具有命题结论的例子。证明公理公理:公认的真命题称为公理公认的真命题称为公理.定理定理:经过证明的真命题称为定理经过证明的真命题称为定理. 证明所需的定义、公理和其它定证明所需的定义、公理和其它定 理都要编写在这个定理的前面理都要编写在这个定理的前面. 判断一个命题是假命题，只要举判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立就可出一个例子，说明该命题不成立就可以了，这种方法称为以了，这种方法称为举反例举反例。